超级全能生·名校交流2025届高三第一次联考数学试题（含答案）

超级全能生·名校交流2025届高三第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据：，，，，，，，的下四分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知点到抛物线的准线的距离为，则的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知过作与圆相切的两条直线，，切点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的倍，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若且，则，均为纯虚数
10.记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则( )
A. B.
C. D. 满足的的最大值为
11.已知双曲线的离心率为，且过点点为上一动点，过点分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，坐标原点为，则下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 四边形可能为正方形
C. 当直线的斜率存在时，直线与直线的斜率之积为定值
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.名女志愿者与名男志愿者完成了年巴黎奥运会的服务工作后合影留念若这人站成一排，其中名男志愿者中间站一名女志愿者，则不同的站法有 种
13.在函数的图象与直线的交点中，任取两点与原点组成三角形，这些三角形的面积的最小值为，则 ．
14.已知函数的最小值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某校组织了奥运知识过关比赛，比赛共设置三道题目，有两种答题方案：
方案一：三道题目都回答，至少回答正确两道题目过关
方案二：在三道题目中，随机选择两道题目，都回答正确过关．
已知小明正确回答这三道题目的概率分别为，，，且回答三道题正确与否互相独立．
若小明选择方案一，设表示小明回答正确的题目个数，求的分布列与数学期望
若你是小明，选择哪种方案并说明理由．
为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，认为性别与满意度有关，求样本容量的最小值．
附：，其中．
18.本小题分
已知函数，为的导函数．
当时，求曲线在处的切线方程
若的两个极值点分别，，
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)证明：．
19.本小题分
已知椭圆的两个焦点与两个顶点四点共圆，且长轴长与焦距之差为．
求椭圆的方程
按下面方法进行操作：过点作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，记的坐标为．
(ⅰ)若为等比数列，证明：为等比数列
(ⅱ)若，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
解：由余弦定理得
，
又，
所以，
即，，
所以由正弦定理得．
因为的面积为，
所以，解得，
则，
所以，则，
所以的周长为．
16.解：证明：因为为等边三角形，为的中点，所以，
过作，垂足为，因为底面为直角梯形，
，，，，所以，则，
由得，所以．
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，又，
又，，平面，所以平面．
解：由可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则令，
则，
由可知，轴平面，不妨取平面的法向量为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：的可能取值为，，，，
则
，
所以的分布列为
则．
若选择方案一，则过关的概率为
若选择方案二，则过关的概率为，
因为，所以选择方案一．
根据上表可知，，
根据小概率值的独立性检验，认为性别与满意度有关，所以，解得，
由题意可知，为的整数倍，故的最小值为．

18.解：因为，所以，
则．
又，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
，由题意可知，，是方程的两根，
即，，
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且．
当时，，且，时，
要使方程的两根，则，
故实数的取值范围为．
证明：由不妨设，
当时，切线恒在曲线的下方．
下面证明：令，
则，
设，则，
当时，，
当时，，所以在上递减，在上递增，
时，，且，
所以在上恒成立，
因此在上单调递减，，
所以．
设在切线上，则，所以，
又，所以，所以，
要证，需证，即证，
由知，所以，又，所以．
故．
19.解：易知焦点和长轴顶点共线，不共圆，故焦点和短轴顶点共圆，所以．
由长轴长与焦距之差为得，即．
由及，解得，．
故椭圆的方程为．
易知直线与的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，，则的斜率，
联立方程组
整理得，
则，，
所以，，
同理可知，，
又，所以，，
因为，，三点共线，
所以，
所以，
因为为等比数列，设其公比为，则通项公式为，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列．
解：由的结论以及可知，为首项为，公比为的等比数列，
所以．
所以，
则，
故．
第1页，共1页