江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷（含答案）

江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则对任意实数，有( )
A. B.
C. D.
4.是函数的值域为的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5.已知，都是锐角，，，求( )
A. B. C. D.
6.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
7.在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据，，，是公差为的等差数列，去掉首末两项，后得到一组新数据，则
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
11.在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是( )
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．
13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，若函数，则函数的值为__________．
14.已知函数，若，，且，则的最小值是_____
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
求角的大小；
若，边上的高为，求三角形的周长．
16.本小题分
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．
Ⅰ求质点移动次后移动到的位置的概率
Ⅱ设移动次中向右移动的次数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
设函数
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值．
18.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于．
Ⅰ求证：
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
证明：
参考答案
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15.解：因为，，为的内角，
所以，
因为，
所以可化为：，
即，
即，
因为，解得：．
由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，，
所以的周长为．
16.解：Ⅰ设质点移动到为事件，则向左移动次，向右移动次，．
Ⅱ的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望
17.解：因为，，
所以
，，
则
，
故函数的最小正周期为；
因为，，
所以
，
所以
，
当时，，
故，即时，取得最大值，
此时函数取得最大值．
18.Ⅰ证明：因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以；
Ⅱ解：过作，交于，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，于是，
取中点，中点，连接交于，连接、，
所以，，，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，，于是平面，
因为，所以，又平面，所以，
因为，为平面中的两条相交直线，所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以二面角余弦值为．
19.解：，，，，
，
当时，，
，函数在上单调递增，
恒成立，满足条件；
当时，对于方程，其，
方程有两个不相等的实数根，
，，
，
当时，，此时函数单调递减，
对，，不满足条件，舍去，
综上可得：实数的取值范围是；
证明：由可知：取时，函数在上单调递增，
在上恒成立，
令，则，，
，
，
．
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