安徽省“九师联盟”2025届高三核心模拟卷(上)数学(二)试题（含答案）

安徽省“九师联盟”2025届高三核心模拟卷(上)数学(二)试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.半径为，圆心角为的扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.平面内三个单位向量，，满足，则( )
A. B.
C. D.
4.函数在一个周期内的图象如图所示，则
A. B. C. D.
5.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘的矩形中每个小方格都是单位正方形中，若马在处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”若马从图中的处跳到处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设向量，的夹角为，定义：若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值用可以表示为
A. B. C. D.
8.已知集合，，，则满足的集合的个数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中为奇函数的有( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，四边形中，，，，为的中点，动点从点出发，沿逆时针方向运动到点，在此过程中，若满足为定值的点恰有个，则的值可能为
A. B. C. D.
11.“奔驰定理”若是内的一点，，，的面积分别为，，，则是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标识很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，则下列说法正确的有
A. 若，则到三边距离之和为定值
B. 若，则的面积与的面积之比为
C. 若，，，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，角与角均以射线为始边，它们的终边关于轴对称，点在角的终边上．若，则_________．
13.如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则 ，塔高
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，，垂足为在边上且异于端点，设，且满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知为锐角，．
求的值；
若，且，求的值．
16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，，为边上的一点，且．
求；
若，，求的长．
17.（15分）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点．
延长交于点如图，若，求的值；
过点的直线与边，分别交于点，如图，设，．
(ⅰ)求证：为定值；
(ⅱ)设的面积为，的面积为，求的最小值．
18.（17分）已知函数，．
若将图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到的图象在上单调递增，求的取值范围；
若函数在内恰有两个零点，求的取值范围．
19.（17分）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
若集合，，集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
参考答案
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15.解：，从而．
．
由及，得．
又，，
，
．
，．
16.解：因为，
由正弦定理得，
即，
所以，因为，
所以，即，
因为，所以．
因为 ， ， ，
根据余弦定理得：
，
．
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．

17.解：因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为，，三点共线，所以，解得，
即，所以，所以，
即，
所以，即；
证明：根据题意，，
同理可得，
由可知，，所以，
因为，，三点共线，所以，化简得，
即为定值，且定值为．
解：，，
所以，
由可知，则，
所以，
所以当时，有最小值，此时．
18.解：因为，
若将图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到
再向右平移个单位长度，得到，
因为，则，
且，，
由题可得得，解得，
所以的取值范围为．
因为
，
设，
当时，函数的图象如图所示．
则，又，
令，，
当的一个零点为时，，此时仅有一个零点，对应一个，不符题意；
当的一个零点为时，，此时仅有一个零点，对应两个，符合题意；
当的一个零点为时，，此时有两个零点，由图象可知各对应一个，符合题意；
当的零点在时，若方程有两根，则必有，与矛盾．
当的零点在时，若方程有两个相等实根，则，即，由可知，不符合题意；
当在上有一根，在或上有一根，
则或，即或，此时不等式组无解；
综上所述，实数的取值范围是．

19.解：依题意得，．
当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
要使是一个与无关的定值，则
因为，
所以与的终边关于轴对称或关于原点对称，
所以
又，，
则当时，
当时，．
故，或，时，集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．
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