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期中复习专项04 八上期中真题压轴题专训
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 安次区校级期中）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【解析】五边形的内角和为，
所以正五边形的每一个内角为，
如图，延长正五边形的两边相交于点，则，
，
已经有3个五边形，
，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选．
2．（2023秋 惠城区校级期中）已知，
（1）如图1，若点是和的角平分线的交点，则；
（2）如图2，若点是和外角的角平分线的交点，则；
（3）如图3，若点是外角和的角平分线的交点，则．
上述说法正确的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】（1）若点是和的角平分线的交点，
则，
则
在中利用内角和定理得到：
，
故成立；
（2）当是等腰直角三角形，时，结论不成立；
（3）若点是外角和的角平分线的交点，
则，
又
，
在中利用内角和定理得到：
，
故成立．
说法正确的个数是2个．
故选．
3．（2023秋 拱墅区校级期中）如图：，分别是的边、上的点，若，，则
A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值
C．当为定值时，为定值 D．当为定值时，为定值
【答案】
【解析】由得，
由得，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
，，
即，，代换得．
故选．
4．（2023秋 潮南区期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
，，
点在的角平分线上，故①正确；
②，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，
，，
，故④正确，
故选．
5．（2023秋 东港区校级期中）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】，
，
在和中，
，
，
，，
故①正确；
设交于点，
，
故②正确；
作于点，于点，
，
，
，
点在的平分线上，
平分，
故④正确；
假设，则，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，与已知条件相矛盾，
，
故③错误，
①②④这3个结论正确，
故选．
6．（2023秋 沅陵县校级期中）如图，在△，，为上的一点，，在的右侧作△，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
△是等边三角形，
，
，
，
．
故选．
7．（2023秋 临湘市期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：
①；
②若，则；
③当时，则为中点；
④当为等腰三角形时，；
正确的有_____个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】①，，
，
，
，
由三角形内角和定理知：，故①正确；
②，
，
由①知：，
，
，
，故②正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
为中点，故③正确；
④，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
当时，，
，
故④不正确．
正确的有①②③，共3个，
故选．
8．（2023春 万源市校级期中）如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】
【解析】△是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
△、△是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
以此类推：．
故选．
9．（2023秋 新会区校级期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【答案】
【解析】设运动的时间为 ，
在中，，，
点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，
当是等腰三角形时，，
，
即，
解得．
故选．
二．填空题（共10小题）
10．（2023秋 定西期中）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点．设．则：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1），（2）．
【解析】（1）是的平分线，是的平分线，
，，
又，，
，
，
，
；
（2）同理可得，
所以．
故答案为：（1），（2）．
11．（2023秋 润州区期中）如图交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③
【解析】，，
①正确）
，，
，②正确）
，，
③正确）
④不正确）．
所以正确结论有①②③．
故填①②③．
12．（2023秋 滨海新区校级期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ①②③④ ．
【答案】①②③④．
【解析】为的角平分线，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，
，，
，
，
故②正确；
，，，
，
，
，
，
故③正确；
在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故答案为：①②③④．
13．（2023秋 岳阳楼区校级期中）如图，在中，，，，为边上的高．
（1）若，则 （用含的代数式表示）；
（2）点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
【答案】（1）；
（2）2或5．
【解析】（1），
，
为边上的高，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）过点作的垂线交直线于点，
，
在和中，
，
，
，
①如图，当点在射线上移动时，，
点从点出发，在直线上以的速度移动，
移动了：；
②当点在射线上移动时，，
点从点出发，在直线上以的速度移动，
移动了：；
综上所述，当点在射线上移动或时，；
故答案为：2或5．
14．（2023秋 和林格尔县校级期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 4秒或0秒 时，和全等．
【答案】4秒或0秒．
【解析】当4秒或0秒时，和全等，
理由是：，，
，
①当时，
在和中，
，
，
②当时，
在和中，
，
，
点的运动速度为每秒钟，
，
当运动时间为4秒或0秒时，和全等．
故答案为：4秒或0秒．
15．（2023秋 咸丰县期中）如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是 ①④ （填序号）
【答案】①④．
【解析】如图，作于点，
平分，，
，
平分，，
，
，
平分，
故①正确；
，，
，
故②错误；
，，
，
，
，
故③错误；
，，，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
故④正确，
故答案为：①④．
16．（2023秋 汨罗市期中）如图，在四边形中；，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）
【答案】③⑤⑥．
【解析】、分别是、上的任意点，
与不一定相等，
故①错误；
于点，于点，
，
，
的另一个条件是，
与不一定相等，
与不一定全等，
故②错误；
延长到点，使，连接，则，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
故③正确，⑤正确；
，
，
不平分，
故④错误；
，且，
，
故⑥正确，
故答案为：③⑤⑥．
17．（2023秋 站前区校级期中）如图，，点在上，且，按下列要求画图：
以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；
再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；
再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；
这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 9 ．
【答案】9
【解析】由题意可知：，，，
则，，，
，
，，，，，
，
解得．
由于为整数，故．
故答案为：9．
18．（2023秋 乌兰察布期中）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 ．
【答案】．
【解析】过作交于．
，是等边三角形，
，是等边三角形，
，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
19．（2023秋 奉化区校级期中）如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是 ．
【答案】．
【解析】过点作于，延长到，使，连接，交于，连接，
此时的值最小．
连接，由对称性可知，
，
，，
，
是边的中点，
，
根据勾股定理可得．
故答案为：．
三．解答题（共16小题）
20．（2023秋 大观区校级期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
（1）若，，则 115 ， ；
（2）若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数 ．
【解析】（1），，
，
，
，
，，
，
；
又，
，
；
故答案为：115，25；
（2）、的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：，，
；
；
（3）设，则，
平分，平分，
，，
，，
因为中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当时，，
，
②当时，，
，
③当时，，
，
④当时，，
，
综上①②③④可知或或或．
故答案为：或或或．
21．（2023秋 庐阳区校级期中）已知：在中，平分，、相交于点．
（1）如图①，若，，，求的大小．
（2）如图②，若平分，且，求的大小．
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系．
【解析】（1），
，
，
又平分，
，
；
（2）平分，平分，
，，
，
，
又，，
，
，
解得：；
（3），
设，，
，
平分，
设，则，
是的外角，
，
即，
是的外角，
，
即，
，
，
整理得：
．
22．（2023秋 千山区期中）已知，中，，点、分别是边，上的点，点是斜边上一动点．令，，．
（1）如图①所示，当点运动至时，则 ；
（2）如图②所示，当运动至上任意位置时，试探求，，之间的关系，并说明理由．
【解析】（1）在四边形中，根据四边形内角和，可得
．
又，
．
故答案为；
（2）在四边形中，，
．
又，
．
，
即．
23．（2023秋 平南县期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）点，在运动过程中，的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数；
（3）如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数．
【解析】（1），，
，
，分别是和的平分线，
，，
；
（2）的大小不发生变化．
，分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
；
（3）设，
平分，
，，
为锐角，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，，
，，
在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，
有以下四种情况：
①当时，则，解得，不合题意舍去；
②当时，则，解得，不合题意舍去；
③当时，则，解得，不合题意舍去；
④当时，，解得，
此时．
综上所述：在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍时，．
24．（2023秋 合肥期中）“8字”的性质及应用：
（1）如图1，，相交于点，得到一个“8字” ，试说明的理由；
（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；
（3）如图2，和的平分线相交于点，利用（1）中的结论试说明的理由．
【解析】（1），，又，
；
（2）图2中有：、、共计3个“8字”；
（3）平分，平分，
，，
，，
．
25．（2023秋 香洲区期中），点，分别在、上运动（不与点重合）．
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动， 135 ；
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则 ；
②随着点，的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的4倍，求的度数．
【解析】（1），点，在，上，
，
，分别是和的平分线，
，，
，
；
故答案为：135．
（2）①，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
；
故答案为：45．
②不发生变化，始终为，理由如下：
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
（3）设，则，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
设，交于点，如图所示：
，，
又，
，
即，
．
平分，平分，
，，
，
即，
，
在中，有一个角是另一个角的4倍，
有以下四种情况：
①当时，即，
解得：，
，
②当时，即，
解得：，
，
，不合题意，舍去；
③当时，即，
解得：，
，
④当时，即，
解得：，
，
，不合题意，舍去．
综上所述：的度数为：或．
26．（2023秋 东港区校级期中）如图①，，点、在的两条边上运动，与的平分线交于点．
（1）点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
（3）若，请直接写出 ； ．
【解析】（1）的大小不变．
在中，由，得，
因为、分别平分和，
所以，，
所以，
所以；
（2）的大小不变．
证明：因为、分别平分和，
所以，，
所以，
即，
所以，
又由（1）可知，
所以，
在中，由，，得
；
（3），．
理由：因为、分别平分和，
所以，，
所以，
所以；
因为、分别平分和，
所以，，
因为是的外角，
所以，
是的外角，
．
故答案为：，．
27．（2023秋 齐齐哈尔期中）将纸片沿折叠使点落在点处
【感知】如图①，点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是 ；
【探究】如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点落在四边形的外部，若，，则的大小为 ．
【解析】（1）如图①，．
理由如下：由折叠知识可得：；
，
．
（2）如图②，．
理由如下：，
，
，
由折叠知识可得：，
．
（3）如图③，
，，
，
，
解得．
故答案为：；．
28．（2023秋 台山市校级期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若与相交于点，，请直接写出、所满足的数量关系式；
（3）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由．
【解析】（1），
．
（2）
理由：如图1，连接，
由（1）有，，
、分别平分四边形的外角和，
，，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
，
，
（3）平行，
理由：如图2，延长交于，
由（1）有，，
、分别平分四边形的外角和，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
29．（2023秋 澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【解析】（1），，
；
（2），，
；
（3）根据图中可得出规律，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了度，
则．
30．（2023秋 金安区校级期中）在锐角中，，将的顶点放置在边上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合）．设，．
（1）【发现】
若．
①如图1，当点与点重合，时， 30 ；
②如图2，当点，均不与点重合时， ；
（2）【探究】
判断，和之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由．
【解析】（1）①，，
，
，
；
故答案为：30；
②如图2，，
，
中，①，
中，②，
，
，
①②得：，
，，
，
故答案为：90；
（2），理由是：
中，①，
中，②，
①②得：，
．
31．（2023秋 绥阳县期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状．
【解析】证明：（1）直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，，
；
（2）成立．
，
，
，
在和中
，
，
，，
；
（3）是等边三角形．
由（2）知，，
，，
和均为等边三角形，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
为等边三角形．
32．（2023秋 海淀区校级期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点、．
（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点、都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线与直线不垂直且交点、在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
【解析】（1）．
（2）成立．
（方法一）：在上截取，连接．
平分，
，
又，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
．
，
，．
（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点．作，垂足为点．
由（1）得，
，，
，
，，
，，
，
，
．
，
．
（方法三）
延长交于，
（等腰三角形）
，
（等腰三角形三线合一）
（3）不成立．
存在．当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图①，．
当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图②，．
33．（2023秋 娄底期中）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且．
（1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则 ； （填“”，“ ”或“” ；
②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【解析】（1）①，，
，，
，
在和中，
，
，
；．
②所填的条件是：．
证明：在中，．
，
．
又，
，
又，，
，，
又，
．
（2）猜想：．
证明过程：
，，，，
，
又，
．
，，
．
34．（2023秋 河东区期中）如图，以的两边，为边向外作等边和，，相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．
【解析】（1）和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，，，
；
；
（2），
，
，
；
（3）不变化，为，
理由：由（2）可得；
和大小无关．
35．（2023秋 桃源县期中）（1）如图①，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明△△，再证△△，可得出结论，他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图②，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【延伸拓展】
（3）如图③，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【解析】（1）．理由：
如图1，延长到点，使，连接，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
△△，
．
故答案为：；
（2）结论仍成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
△△，
，，
，，
△△，
；
（3）．
证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
△△，
，，
，，
△△，
，
，
，
，
即，
．
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期中复习专项04 八上期中真题压轴题专训
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 安次区校级期中）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023秋 惠城区校级期中）已知，
（1）如图1，若点是和的角平分线的交点，则；
（2）如图2，若点是和外角的角平分线的交点，则；
（3）如图3，若点是外角和的角平分线的交点，则．
上述说法正确的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023秋 拱墅区校级期中）如图：，分别是的边、上的点，若，，则
A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值
C．当为定值时，为定值 D．当为定值时，为定值
4．（2023秋 潮南区期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023秋 东港区校级期中）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋 沅陵县校级期中）如图，在△，，为上的一点，，在的右侧作△，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2023秋 临湘市期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：
①；
②若，则；
③当时，则为中点；
④当为等腰三角形时，；
正确的有_____个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023春 万源市校级期中）如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为
A．6 B．12 C．32 D．64
9．（2023秋 新会区校级期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
二．填空题（共10小题）
10．（2023秋 定西期中）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点．设．则：
（1） ；
（2） ．
11．（2023秋 润州区期中）如图交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
12．（2023秋 滨海新区校级期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．
13．（2023秋 岳阳楼区校级期中）如图，在中，，，，为边上的高．
（1）若，则 （用含的代数式表示）；
（2）点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
14．（2023秋 和林格尔县校级期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 时，和全等．
15．（2023秋 咸丰县期中）如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是 （填序号）
16．（2023秋 汨罗市期中）如图，在四边形中；，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： ．（填写正确的序号）
17．（2023秋 站前区校级期中）如图，，点在上，且，按下列要求画图：
以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；
再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；
再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；
这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 ．
18．（2023秋 乌兰察布期中）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 ．
19．（2023秋 奉化区校级期中）如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是 ．
三．解答题（共16小题）
20．（2023秋 大观区校级期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
（1）若，，则 ， ；
（2）若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数 ．
21．（2023秋 庐阳区校级期中）已知：在中，平分，、相交于点．
（1）如图①，若，，，求的大小．
（2）如图②，若平分，且，求的大小．
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系．
22．（2023秋 千山区期中）已知，中，，点、分别是边，上的点，点是斜边上一动点．令，，．
（1）如图①所示，当点运动至时，则 ；
（2）如图②所示，当运动至上任意位置时，试探求，，之间的关系，并说明理由．
23．（2023秋 平南县期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）点，在运动过程中，的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数；
（3）如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数．
24．（2023秋 合肥期中）“8字”的性质及应用：
（1）如图1，，相交于点，得到一个“8字” ，试说明的理由；
（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；
（3）如图2，和的平分线相交于点，利用（1）中的结论试说明的理由．
25．（2023秋 香洲区期中），点，分别在、上运动（不与点重合）．
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动， ；
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则 ；
②随着点，的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的4倍，求的度数．
26．（2023秋 东港区校级期中）如图①，，点、在的两条边上运动，与的平分线交于点．
（1）点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
（3）若，请直接写出 ； ．
27．（2023秋 齐齐哈尔期中）将纸片沿折叠使点落在点处
【感知】如图①，点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是 ；
【探究】如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点落在四边形的外部，若，，则的大小为 ．
28．（2023秋 台山市校级期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若与相交于点，，请直接写出、所满足的数量关系式；
（3）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由．
29．（2023秋 澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
30．（2023秋 金安区校级期中）在锐角中，，将的顶点放置在边上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合）．设，．
（1）【发现】
若．
①如图1，当点与点重合，时， ；
②如图2，当点，均不与点重合时， ；
（2）【探究】
判断，和之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由．
31．（2023秋 绥阳县期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状．
32．（2023秋 海淀区校级期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点、．
（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点、都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线与直线不垂直且交点、在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
33．（2023秋 娄底期中）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且．
（1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则 ； （填“”，“ ”或“” ；
②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
34．（2023秋 河东区期中）如图，以的两边，为边向外作等边和，，相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．
35．（2023秋 桃源县期中）（1）如图①，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明△△，再证△△，可得出结论，他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图②，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【延伸拓展】
（3）如图③，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
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