中小学教育资源及组卷应用平台
第15章 分式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 东安县期中）下列式子：，，，，，其中分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】，的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选．
2．（2023秋 江口县校级期中）若分式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】分式有意义，
，解得．
故选．
3．（2023秋 西乡塘区校级期中）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．
故选．
4．（2023秋 乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘后的式子为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解方程去分母，两边同乘后的式子为：，
故选．
5．（2023春 惠山区期中）将分式中的，的值都变为原来的2倍，则该分式的值
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．不变 D．变为原来的一半
【答案】
【解析】，
故选．
6．（2023秋 正定县期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
运算的结果为整式，
□中式子一定含有的单项式，
故只有项符合．
故选．
7．（2023秋 周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，则，
分式方程可变为：，
去分母得：，
整理得：，
故选．
8．（2023秋 龙口市期中）设，，则，的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】；
，
则可以看出，
即．
故选．
9．（2023秋 道里区校级期中）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“”，设实际每天铺设管道米，则可得方程，根据此情景，题中用“”表示的缺失的条件应补为
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
【答案】
【解析】设实际每天铺设管道米，原计划每天铺设管道米，方程，则表示实际用的时间原计划用的时间天，
那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．
故选．
10．（2023秋 文登区期中）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【答案】
【解析】原分式方程可化为，
方程两边同乘得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，
原分式方程的解为非负数，
，，
即，，
解得且，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 新会区校级期中）若分式的值为零，则的值为 7 ．
【答案】7．
【解析】由题可知，
，
解得．
故答案为：7．
12．（2023秋 齐河县校级期中）约分： ．
【答案】．
【解析】，
故答案为：．
13．（2023秋 赫山区校级期中）分式和的最简公分母是 ．
【答案】．
【解析】分式的分母，都是单项式，
分式与的最简公分母是，
故答案为：．
14．（2023秋 东昌府区期中）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 或． ．（写出一个分式即可）
【答案】或．
【解析】和都是符合题意的最简分式，
故答案为：或．
15．（2023秋 麻阳县校级期中）已知关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】．
【解析】去分母得，，
分式方程有增根，
，即，
，
，
故答案为：．
16．（2023秋 祁阳县期中）有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第次运算的结果 ．（用含有和的式子表示）
【答案】
【解析】把代入得：，
把代入得：，
依此类推，得到，
故答案为：
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 高唐县校级期中）通分：
（1），，；
（2），，．
【解析】（1），
，
；
（2），
，
．
18．（2023秋 襄都区期中）已知分式．
（1）当为何值时，该分式无意义；
（2）当为何整数值时，该分式的值为正整数．
【解析】（1）分式无意义，
，
解得：，
即当时，分式无意义．
（2）分式的值为正整数，且也为整数，
或，
解得：或，
即当或时，分式的值为正整数．
19．（2023秋 东营区校级期中）先化简，再求值：
，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
【解析】原式
，
，，
，，，
，
原式．
20．（2023秋 云溪区期中）解方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1）方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，
原分式方程的解是；
（2）方程两边同时乘，
得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程无解．
21．（2023秋 永兴县期中）已知关于的分式方程．
（1）若方程的增根为，求的值；
（2）若方程无解，求的值．
【解析】去分母，得，
整理，得，
（1）将代入，
解得；
（2）方程无解，
当时，；
将代入，
解得，
当时，，
满足条件的的值有或或．
22．（2023秋 同心县校级期中）根据下列材料，回答问题：
，，，
请根以上各式完成下列题目：
（1） ；
（2） 为正整数）；
（3）用简便方法计算：．
【解析】（1），
故答案为：．
（2）为正整数），
故答案为：．
（3）根据题意，得
．
23．（2023春 邓州市期中）阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，，，．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
【解析】（1），
，
，
；
（2），
．
24．（2023秋 定兴县校级期中）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买品牌垃圾桶的数量是用4800元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该校决定再用不超过6000元购进，两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按上一次购买时售价的九折出售，品牌比上一次购买时售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【解析】（1）设一个品牌的垃圾桶需要元，则一个品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
答：购买一个品牌需要80元，购买一个品牌的垃圾桶需120元．
（2）设该学校此次购买个品牌垃圾桶，则购买个品牌垃圾桶．根据题意，得，
，
解得：，
取整数，
的最大值为23，
答：该学校此次最多可购买23个品牌垃圾桶．
25．（2023秋 株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【解析】（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3）原式，
分式的值为整数，
或，
或或11或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第15章 分式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 东安县期中）下列式子：，，，，，其中分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋 江口县校级期中）若分式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023秋 西乡塘区校级期中）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（2023秋 乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘后的式子为
A． B． C． D．
5．（2023春 惠山区期中）将分式中的，的值都变为原来的2倍，则该分式的值
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．不变 D．变为原来的一半
6．（2023秋 正定县期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B． C． D．
7．（2023秋 周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
8．（2023秋 龙口市期中）设，，则，的关系是
A． B． C． D．
9．（2023秋 道里区校级期中）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“”，设实际每天铺设管道米，则可得方程，根据此情景，题中用“”表示的缺失的条件应补为
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
10．（2023秋 文登区期中）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 新会区校级期中）若分式的值为零，则的值为 ．
12．（2023秋 齐河县校级期中）约分： ．
13．（2023秋 赫山区校级期中）分式和的最简公分母是 ．
14．（2023秋 东昌府区期中）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可）
15．（2023秋 麻阳县校级期中）已知关于的分式方程有增根，则 ．
16．（2023秋 祁阳县期中）有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第次运算的结果 ．（用含有和的式子表示）
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 高唐县校级期中）通分：
（1），，；
（2），，．
18．（2023秋 襄都区期中）已知分式．
（1）当为何值时，该分式无意义；
（2）当为何整数值时，该分式的值为正整数．
19．（2023秋 东营区校级期中）先化简，再求值：
，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
20．（2023秋 云溪区期中）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2023秋 永兴县期中）已知关于的分式方程．
（1）若方程的增根为，求的值；
（2）若方程无解，求的值．
22．（2023秋 同心县校级期中）根据下列材料，回答问题：
，，，
请根以上各式完成下列题目：
（1） ；
（2） 为正整数）；
（3）用简便方法计算：．
23．（2023春 邓州市期中）阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，，，．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
24．（2023秋 定兴县校级期中）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买品牌垃圾桶的数量是用4800元购买品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该校决定再用不超过6000元购进，两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按上一次购买时售价的九折出售，品牌比上一次购买时售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
25．（2023秋 株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真”或“假” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
