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第14章 整式的乘法与因式分解 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 龙岗区校级期中）化简所得的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．
故选．
2．（2023秋 道外区校级期中）多项式的公因式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】多项式的公因式是：．
故选．
3．（2024春 项城市校级期中）已知，那么的值是
A． B．4 C． D．2
【答案】
【解析】，
，
故选．
4．（2023秋 丰泽区校级期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不合题意；
、是整式的乘法，故不合题意；
、是整式的乘法，故不合题意；
、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意；
故选．
5．（2023秋 宝山区校级期中）如果，那么的值是
A．4 B．8 C．64 D．16
【答案】
【解析】，，
，
．
故选．
6．（2023春 环翠区期中）若是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，则的值为
A． B．16 C．或 D．4或16
【答案】
【解析】是完全平方式，不含的一次项，
，，
解得：或，，
当，时，；
当，时，，
则或16，
故选．
7．（2024春 兰州期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得：，
，
，
故选．
8．（2024春 临湘市期中）已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，
，
，
因为，
所以．
故选．
9．（2024春 拱墅区校级期中）对于任何整数，多项式都能
A．被9整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
【答案】
【解析】原式，
则对于任何整数，多项式都能被整除．
故选．
10．（2024春 岳阳期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为
A．3 B．19 C．21 D．28
【答案】
【解析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，，
，
，
点为的中点，
，
图2的阴影部分面积，
，
，
图1的阴影部分面积
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 桂平市期中）分解因式： ．
【答案】．
【解析】公有因式为，
原式，
故答案为：．
12．（2023秋 营山县校级期中）计算 ．
【答案】．
【解析】
，
故答案为：．
13．（2024春 市北区期中）计算 1 ．
【答案】1．
【解析】原式
．
故答案为：1．
14．（2023秋 铜梁区校级期中）在计算结果中，不含项，则值为 ．
【答案】．
【解析】
，
不含项，
，
解得，
故答案为：．
15．（2023春 锦江区校级期中）如果二次三项式可以分解为，那么的值为 ．
【答案】．
【解析】二次三项式可以分解为，
，
即：，
，
故答案为：．
16．（2022春 薛城区期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ①② ．（请填上正确的序号）
【答案】①②．
【解析】在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，
故可得：，可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 海淀区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
18．（2024春 句容市期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
19．（2023春 崂山区校级期中）化简求值：，其中，．
【解析】原式
，
当，时，原式．
20．（2023春 江都区期中）已知的展开式中不含和项．
（1）求与的值．
（2）在（1）的条件下，求的值．
【解析】，
根据展开式中不含和项得：，
解得：．
即，；
（2）
，
当，时，
原式．
21．（2023秋 武山县期中）（1）已知，，求的值．
（2）已知，，求：和的值．
【解析】（1），，
；
（2），，
，，
，，
，．
22．（2023秋 偃师市校级期中）下面是一道例题的部分解答过程，其中，是两个多项式．
请仔细观察下面的例题及解答过程，解答下列问题：
例题：（A）（B）．
解：从左到右，逐个去掉括号，原式 ；
（1）填写出例题的化简结果，多项式为 ，多项式为 ；
（2）求多项式与的平方差．
【解析】（1）从左到右，逐个去掉括号，原式；
多项式为，
多项式为，
故答案为：，，；
（2）多项式与的平方差：
．
23．（2023秋 泽州县期中）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
任务一．搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式；其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列： ． 任务二．竖式计算： 例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是 ． ．数形结合 ．类比 ．方程 任务三．学以致用 （3）的商式是 ，余式是 ．
【解析】（1）按的指数从大到小排列可得：，
故答案为：；
（2）多项式除法运算仿照了除法运算法则，
故选；
（3）
的商式是：，余式是：，
故答案为：，．
24．（2023秋 蓬江区校级期中）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式．
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【解析】（1）
；
（2）设，
；
（3）是等腰三角形．理由如下：
，
，
，
，，，
得，，，．
，
是等腰三角形．
25．（2023秋 榆树市校级期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ．
（2）若满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
【解析】【教材原题】：观察图①可得，，
故答案为：；
【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和，
，
故答案为：；
【应用】：（1），
故答案为：90；
（2），
的值是5；
【拓展】：，，，
，，
种花区域的面积和为，
，
，
，
，
种草区域的面积和．
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第14章 整式的乘法与因式分解 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 龙岗区校级期中）化简所得的结果是
A． B． C． D．
2．（2023秋 道外区校级期中）多项式的公因式是
A． B． C． D．
3．（2024春 项城市校级期中）已知，那么的值是
A． B．4 C． D．2
4．（2023秋 丰泽区校级期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
5．（2023秋 宝山区校级期中）如果，那么的值是
A．4 B．8 C．64 D．16
6．（2023春 环翠区期中）若是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，则的值为
A． B．16 C．或 D．4或16
7．（2024春 兰州期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为
A． B． C． D．
8．（2024春 临湘市期中）已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
9．（2024春 拱墅区校级期中）对于任何整数，多项式都能
A．被9整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
10．（2024春 岳阳期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为
A．3 B．19 C．21 D．28
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 桂平市期中）分解因式： ．
12．（2023秋 营山县校级期中）计算 ．
13．（2024春 市北区期中）计算 ．
14．（2023秋 铜梁区校级期中）在计算结果中，不含项，则值为 ．
15．（2023春 锦江区校级期中）如果二次三项式可以分解为，那么的值为 ．
16．（2022春 薛城区期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 海淀区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2024春 句容市期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（2023春 崂山区校级期中）化简求值：，其中，．
20．（2023春 江都区期中）已知的展开式中不含和项．
（1）求与的值．
（2）在（1）的条件下，求的值．
21．（2023秋 武山县期中）（1）已知，，求的值．
（2）已知，，求：和的值．
22．（2023秋 偃师市校级期中）下面是一道例题的部分解答过程，其中，是两个多项式．
请仔细观察下面的例题及解答过程，解答下列问题：
例题：（A）（B）．
解：从左到右，逐个去掉括号，原式 ；
（1）填写出例题的化简结果，多项式为 ，多项式为 ；
（2）求多项式与的平方差．
23．（2023秋 泽州县期中）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
任务一．搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式；其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列： ． 任务二．竖式计算： 例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是 ． ．数形结合 ．类比 ．方程 任务三．学以致用 （3）的商式是 ，余式是 ．
24．（2023秋 蓬江区校级期中）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式．
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
25．（2023秋 榆树市校级期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ．
（2）若满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
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