江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题（含答案）

江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
3.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
6.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，每位员工从中摸出个小球若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券摸到两红球，可获得价值百元代金券摸到两白球，可获得价值百元代金券均为整数已知每位员工平均可得百元代金券，则运气最好者获得至多百元代金券
A. B. C. D.
7.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. 方程有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 当时，函数值域为
D. 函数有三个零点
11.已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若数列单调递增，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中，的系数为，则常数 用数字作答
13.若正四棱锥的高为，且所有顶点都在半径为的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 ．
14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：
若，，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，．
证明：．
已知平面平面，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的短轴长为，点在椭圆上．
求椭圆的方程
过作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于另一点，，求证：直线过定点．
18.本小题分
设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”
若数列的前项和，证明：数列不是“数列”
设是等差数列，其首项，公差若是“数列”，求的值．
19.本小题分
已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数二阶导函数，则称为上的凸函数若是区间上的凹函数，则对任意的，，，，有不等式恒成立当且仅当时等号成立若是区间上的凸函数，则对任意的，，，，有不等式恒成立当且仅当时等号成立已知函数，
试判断在为凹函数还是凸函数
设，，，，，且，求的最大值
已知，且当，都有恒成立，求实数的所有可能取值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.【解答】
解：如图所示，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，
由题意球的半径为，，
所以，，
则，故中，边的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为．
故填．

14.
15.解：证明：已知
可化简为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，即证，
当，时，，
，
所以，解得，
所以的周长为．
16.解：
设为的中点，连接，，，，
因为，所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，
又平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
，所以平面，
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即．
因为平面平面，且平面平面，，
平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设．
则，，，，，
可得，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，可得．
设平面的法向量为，则
令，则，，可得．
，故二面角的正弦值为．

17.解：由题意，得，解得，，
所以，椭圆的方程为．
当直线斜率不存在时：，，
由知：有：，
代入知可得或，
但时与重合舍去，此时，
当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，
整理得，
由，得．
设，，
则，．
因为，所以，
所以．，
即．
其中，
，
代入整理得，
即．
当时，直线过点，不合题意，所以，
此时，直线的方程为，直线过定点，
综上所述，直线恒过定点．
18.解：因为，，设公差为，所以
令，则，这时，
即对任意正自然数，存在正自然数，使得，．
所以，数列是“数列”
因为数列的前项和
当时，，所以
当时，，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
假设数列是“数列”，则对任意正整数，总存在正整数，使得，
当时，有，则，与题意不符；
当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解．
所以对任意正整数，不存在正整数，使得，，
所以数列不是“数列”
解：依题意，，，
若是“数列”，则对任意的，都存在使得，
即，
所以，
又因为，，
所以对任意的，，且，
所以．
19.解：，，所以，”，
因为，所以，所以在为凸函数．
由因为在内凸函数，所以
所以
令，，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，又，即，，符合题意
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数的取值集合为．
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