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期中专项19解答题压轴题专练
1．（2023秋 海曙区校级期中）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示实数，，则，两点之间的距离表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 3 ．
（2）数轴上表示与的两点之间的距离表示为 ．
（3）若表示数轴上的一个实数，且，则 ．
（4）若表示数轴上的一个实数，求最小值．
【解析】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，
故答案为：3；
（2）数轴上表示与的两点之间的距离是，
故答案为：；
（3），
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，；
故答案为：3或；
（4）表示到点1，2，3，4，，2023的点距离之和，
当时，的值最小是：
．
2．（2023秋 东阳市校级月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作
，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
（3）若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
（4）要使的值最小，求此时的整数值．
【解析】（1）点和在数轴上的位置如图所示：
点表示的数是，
点表示的数是，
，两点间的距离是．
故答案为：，，1.5．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，
当时，或．
故答案为：，2或．
（3）与分别表示数为的点到数为的点的距离、到数为2的点的距离，且两者相等，
表示数为的点在与2之间，
，
．
故答案为：．
（4）表示数为的点到数为的点的距离与到数为2的点的距离之和，
当数为的点在数为与2表示的点之间时的值最小，
的整数值为，，，，，0，1，2．
3．（2023秋 义乌市校级月考）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【解析】（1）点对应的数是；
（2），之间的距离为120，
它们的相遇时间是（秒，
即相同时间点运动路程为：（个单位），
即从数向右运动48个单位到数28；
（3）相遇前：（秒，
相遇后：（秒．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
4．（2023秋 慈溪市月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 3 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【解析】（1）操作一：
表示的点1与表示的点重合，折痕为原点，则表示的点与3表示的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，则折痕表示的点为，
①设3表示的点与数表示的点重合，则．；
②数轴上、 两点之间距离为 16，
数轴上、 两点到折痕的距离为8，
在的左侧，则、 两点表示的数分别是 和6；
（3）操作三：设折痕处对应的点所表示的数是，
如图1，当时，设，，，
，
，，．
，
设折痕处对应的点所表示的数是如图1，
如图2，当时，设，，，
，
，，，
如图 3，当时，设，，，
，
，，，．
，
综上所述，折痕点可能的数是：，1.5或．
故答案是：（1）3；（2）①，②，6；（3），1.5或．
5．（2023秋 江北区月考）如图1，数轴上，两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若，分别到达，两点，且满足为正整数），我们称，两点完成了一次“准相向运动”．
（1）若，两点完成了一次“准相向运动”．
①当时，，两点表示的数分别为 5 ， ；
②当为任意正整数时，求，两点表示的数；
（2）如图2所示，若，两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若不变，求，两点所表示的数（用含的式子表示）；
（3）若，两点完成了次“准相向运动”，并分别到达，两点，当时，是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
【解析】
（1）①由题意得：
点和点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同
．
．
．
又，，
点为5，点为
故答案为：5，
②由①得：点和点是关于的中点对称的，
当为1时，为0；
为2时，为2；
为3时，为4；
为4时，为6；
为5时，为8；
以此类推：始终是
点为，即
点为，即
（2）由（1）中②可得点为，点为，．
．
．
为，为．
（3），取多个的值，过程如下：
当为1时，根据（1）得：此时点为5，为
当为2时，为，为
当为3时，为，为
当为4时，为，
以此类推发现为奇数时，为正数，而正数的规律是，
令，
，
，
．
令，解之得：．
又和关于1对称，
为．
答：存在次数使得为65，此时为5，为．
6．（2023秋 西湖区校级月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问：
（1）动点从点运动至点需要多少时间？
（2）、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少；
（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．
【解析】（1）点运动至点时，所需时间（秒，
（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设．
则，
解得．
故相遇点所对应的数是．
（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点在上，动点在上，则：，解得：．
②动点在上，动点在上，则：，解得：．
③动点在上，动点在上，则：，解得：．
④动点在上，动点在上，则：，解得：．
综上所述：的值为2、6.5、11或17．
7．（2023秋 鄞州区校级月考）点、、为数轴上三点，如果点在、之间且到的距离是点到的距离3倍，那么我们就称点是，的奇点．
例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为1．表示0的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是，的奇点；又如，表示的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点就不是，的奇点，但点是，的奇点．
如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5．
（1）数 3 所表示的点是，的奇点；数 所表示的点是，的奇点；
（2）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30．现有一动点从点出发向左运动，到达点停止．点运动到数轴上的什么位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点？
【解析】（1），
，
；
．
故数3所表示的点是，的奇点；数所表示的点是，的奇点．
故答案为：3；；
（2）、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，
．
分2种情况：
①是，的奇点，，，点表示的数为10；
②是，的奇点，，，点表示的数为；
故点运动到数轴上的10或的位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点．
8．（2023秋 婺城区校级期中）如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）写出数轴上点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的式子表示）；
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点，，同时出发．
①当为何值时，点、两点到点的距离相等？
②式子的值不随时间的变化而变化，求的值．
【解析】（1）数轴上两点、对应的数分别为、，且，
，，
，，
点、表示的数分别为、12，
点表示的数为，
故答案为：，12，；
（2）①点、到点的距离相等，有两个时间点，
点在点的右边时，即，
，
解得：，
点和点重合，即，
，
解得：，
当的值为2或8时，点、两点到点的距离相等；
②根据题意可知，，，
，
式子的值不随时间的变化而变化，
，
，
的值为4．
9．（2023秋 椒江区校级期中）数轴上点表示，点表示6，点表示12．点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
（1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 12 ；
（2）当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示） 时，、两点相遇；
（3）求当为多少秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度．
【解析】（1）当秒时，表示的数是，表示的数是，
、两点在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时运动到，运动到，
当点、都运动到折线段上，即时，表示的数是，表示的数是，
、两点间的和谐距离，
、两点间的和谐距离，
、两点相遇时，、表示的数相同，
，
解得，
故答案为：，，；
（3）、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
，即，
或，
解得或．
10．（2023秋 诸暨市期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1）求此时刻快车头与慢车头之间相距 24 单位长度；
（2）从此时刻开始，若快车以8个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 秒两列火车的车头、相距10个单位长度；
（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），则这段时间是 秒，定值是 单位长度．
【解析】（1）与互为相反数，
，
，，
，，
此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度），
故答案为：24；
（2）（秒或（秒，
故答案为：1.4或3.4；
（3）因为，
当在之间时，是定值4，（秒，
此时（单位长度），
故这个时间是0.4秒，定值是6单位长度，
故答案为：0.4，6．
11．（2023秋 浙江期中）【阅读】如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
（1）求、两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
（3）如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【解析】（1）根据题可得：，
（2）①当在点右边时，不存在，
②当在之间时，，，
点表示的数为，
③当在点左边时，，，
点表示的数为，
点表示的数为或；
（3）当时，
，解得，
当时，
，解得，
当时，
，解得（舍去），
的值为：2或．
12．（2023秋 上虞区校级期中）附加题如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最大的负整数，且，满足与互为相反数．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设经过秒后，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【解析】（1），满足与互为相反数，
，
，，
，，
是最大的负整数，
；
故答案为：，，6；
（2）当与6重合时，折叠点是，
与点重合的点表示的数为：，
故答案为：3；
（3）不变，理由如下：
，，，
，，
．
答：经过秒后，的值不变，的值为15．
13．（2023秋 余姚市校级期中）如图点、在数轴上分别表示有理数、，且．请回答以下问题：
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，，中点对应的数为 ．
（2）若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动，设运动时间为秒，则：
①当为何值时，点和点重合？
②当为何值时，，之间的距离为3个单位长度？
【解析】（1），
，，
解得：，，
点表示的数为，点表示的数为4，
，中点对应的数为：，
故答案为：；4；1．
（2）点对应的数为，
当点移动到位置时，点到、两点的距离相等，都是6，此时点需要向左移动个单位；
当点移动到1位置时，点到、两点的距离相等，都是3，此时点需要向右移动个单位；
当点移动到10位置时，点到、两点的距离相等，都是6，此时点需要向右移动个单位．
（3）解：①设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，根据题意得：
，
解得：，
当时，点和点重合；
②当在的右边时，
根据题意得，
解得：，
当在的左边时，
根据题意得，
解得：，
当点运动1.5秒或4.5秒时，，之间的距离为3个单位长度．
14．（2023秋 平湖市校级期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ， ．（用含的代数式表示）
（4）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【解析】（1），
，，
解得，，
是最小的正整数，
，
故答案为：，1，7；
（2），
对称点为，
，
故答案为：4；
（3）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，，
故答案为：，，；
（4）不变，理由如下：
由（3）知：，，
，
的值不随着时间的变化而改变．
15．（2023秋 平湖市校级期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，则 ．（用含的代数式表示）
【解析】（1），
，，
解得，，
是最小的正整数，
，
故答案为：，1，7；
（2）点与点重合，
，
点的对称点为：，
故答案为：4；
（3）由题意可得，
秒钟过后，点对应的数为：，点对应的数为：，
，
故答案为：．
16．（2023秋 鹿城区期中）如图，点和在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点，同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．
（1）求点，之间的距离；
（2）①经过 6 秒，甲、乙两人第一次相遇；
②经过 秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为 ．
【解析】（1）由题意得，点，之间的距离为；
（2）①设经过秒，甲、乙两人第一次相遇，
由题意得，，
解得，
经过6秒，甲、乙两人第一次相遇；
②甲第一次返回时需要的时间为，乙第一次到达的时间为，乙第一次返回的时间为，
第二次相遇时，甲第一次从向运动，乙第一次从向运动，
设运动时间为，
由题意得，，
解得，
此时相遇点表示的数为，
故答案为：18；．
17．（2023秋 新昌县校级期中）如图，已知一数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为36个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．
（1）点对应的数为 26 ，甲出发 秒后追上乙（即第一次相遇）；
（2）甲、乙同时出发多少秒后，二者相距2个单位长度？（请直接写出答案）
【解析】（1）点对应的数为：，
设甲出发秒后追上乙（即第一次相遇），依题意有：
，
解得：．
即甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）；
故答案为：26；5；
（2）设秒后，二者相距2个单位长度，
甲到达点前，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为，
第一次相遇前相距2个单位长度时，
，
解得：；
第一次相遇后相距2个单位长度，
，
解得：；
甲到达点后，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为，
第二次相遇前相距2个单位长度，
，
解得：；
第二次相遇后相距2个单位长度，
，
解得：；
综上分析可知，甲、乙同时出发4秒或6秒或15秒或16秒后，二者相距2个单位长度．
18．（2023秋 余姚市期中）如图，已知：数轴上点表示的为8，是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．设运动时间为秒．
（1）写出数轴上点表示的数
（2）当、两点的距离为6个单位长度时，求出所有的值，并求出对应时间点表示的数是多少？
（3）假设点追上点时立即掉头返回，速度不变．求点到原点之间的距离与点到原点的距离相等时，所有符合题意的的值（请直接写出答案）．
【解析】（1）数轴上点表示的数是．
故答案为：；
（2）设经过秒以后，、两点的距离为6个单位长度，依题意有：
①相遇前、两点的距离为6个单位长度，
，
解得，
则点表示的数是；
②相遇后、两点的距离为6个单位长度，
，
解得．
则点表示的数是．
故经过4秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；
（3），
则点遇到点时表示的数是，
设相遇后再过秒，点到原点的距离是点到原点的距离相等，依题意有：
①点在原点的左边，
，
解得；
②点在原点的右边，
，
解得．
故相遇后再过0秒或13秒，点到原点的距离是点到原点的距离相等，
的值为0或13．
19．（2023秋 北仑区校级期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4．
（1）图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
（2）把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ．
【解析】（1）设正方形的边长为，
则，解得：；
每个小正方形的边长都是1，
正方形的边长为：，
；
（3）正方形的边长为，点与重合，
点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
20．（2023秋 玉环市校级期中）已知在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车：快车长为2个单位长度，慢车长为4个单位长度．设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车车头在数轴上表示的数是，慢车车头在数轴上表示的数是．若快车以4个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且．温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1） ，
（2）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？
（3）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距6个单位长度？
（4）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，请直接写出这个时间的值和这个不变值；若不正确，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得，
，，
解得，，
故答案为：，16；
（2）点表示的数为，点表示的数为16，之间的距离为；
（3）设经过秒钟，相距为6个单位，此时点表示的数为，
点表示的数为，
当点在点的右侧，，
解得，
当在点的左侧时，，
解得，
即再行驶3秒或5秒钟两列火车行驶到车头相距6个单位长度；
（4）正确，由题意可得，在线段上，
，
由为定值可得， 为定值，
所以此时点在线段上，，
时间，
即这个时间为1秒，定值为6个单位．
21．（2023秋 慈溪市校级期中）点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 4 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ；
（2）数轴上表示和1两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为
（3）若表示一个实数，且，化简；
（4）的最小值为 ，
【解析】（1），
答案为：4，3；
（2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示和1两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为，
故答案为：；
（3），
；
（4）对应点在点和3之间时的任意一点，的值最小是7，
故答案为：7．
22．（2023秋 拱墅区校级期中）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为，，，其中是最小的正整数，且，，满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点与点之间的距离可表示为．
（1） ， ， ；
（2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点以每秒6个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒，试探究和之间的数量关系；
（3）若，两点的运动和（2）中保持不变，点变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求的值．
【解析】（1）（1），是最小的正整数，
，，，
，，，
故答案为：，1，6；
（2）点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，
秒后，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
，，
，
；
（3）当时，点表示，点表示，点表示，
，，
，
则，
则，或，
解得：或．
23．（2023秋 鄞州区校级期中）如图，数轴上的点，分别表示数和5，图形①和图形②都由4个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上．开始时，图形①的顶点与点重合，图形②的顶点与点重合，现图形①以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形②以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动．
（1）点与点的距离是 12 个单位长度；
（2）经过多少时间后，图形①与图形②并行（点与点重合），并求此时点表示的数；
（3）在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，求时间的值 （直接写出答案）．
【解析】（1），
故答案为：12；
（2）设经过秒后，点与点重合，
则：，
解得：，
此时点表示的数为：；
（3）设两个图形重叠部分的面积为，运动的时间为秒，则未重叠部分的面积为，
则，
解得：，
两个图形重合的部分为或，
当两个图形重合的部分为1时，，
解得：，
当两个图形重合的部分为时，，
解得：，
故答案为：5.5或．
24．（2023秋 瑞安市期中）如图，动点，同时从表示数1的位置出发沿数轴做匀速运动，已知动点，运动速度之比是（速度单位：1个单位长度秒）．若经过4秒，点运动到点，点表示的数为，点运动到点，且点在原点的右侧．
（1）点表示的数为 5 ；
（2）若动点，分别由，两点位置同时开始继续按原速运动，且在数轴上的运动方向不限．
①若，两点同向运动，当点运动到与表示数1的位置相距13个单位长度时，求此时点表示的数．
②若，两点在这段运动过程中有段时间内，点所表示的数与点所表示的数的和与差均为非负数，则相应这段时间持续了 秒（直接写出答案）．
【解析】（1）点从数1的位置经过4秒运动到点，点表示的数为，
点的运动速度为
点，的运动速度之比是，
点的运动速度为1．
所以点的表示的数为．
故答案为：5．
（2）①分两种情况：
当，两点向左运动时，点表示的数为；
当，两点向右运动时，点表示的数为．
综上所述，点表示的数为或．
②设运动秒，根据点所表示的数与点所表示的数的和与差均为非负数，分两种情况：
当，两点向右运动时，点所表示的数为，点所表示的数为．
所以，解得．
，解得．
所以相应这段时间持续了秒；
当点向右，点向左运动时，点所表示的数为，点所表示的数为．
所以，解得．
．解得
所以相应这段时间持续了秒．
综上所述，这段时间持续了或1秒．
故答案为：或1秒．
25．（2023秋 吴兴区期中）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求；
（2）求；
（3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？
【解析】（1）根据题中的新定义得：；
（2）根据题中的新定义得：；
（3）根据题中的新定义得：，，
则．
26．（2023秋 金华期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“方差有理数对”，记为，如：，都是“方差有理数对”．
（1）判断数对是否为“方差有理数对”，并说明理由；
（2）若是“方差有理数对”，求的值．
【解析】（1）数对是“方差有理数对”，
理由：，
数对是为“方差有理数对”；
（2）由题意得，，即，
，
．
27．（2023秋 慈溪市校级期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含的代数式）
（2）若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值．
【解析】（1），
与是关于2的平衡数，
，
与是关于2的平衡数，
故答案为：，；
（2）与是关于2的平衡数，
理由：，，
，
与是关于2的平衡数；
（3），，且与是关于2的平衡数，
，
，
，
为正整数，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
非负整数的值为0或1或3．
28．（2023秋 临海市校级期中）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如348的颠倒数是843．请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2023的“颠倒数”为 3202 ．
（2）若数a存在“颠倒数”，则它满足的条件是： 末位数字不为0 ．
（3）能否找到一个数字填入空格，使下列由“颠倒数”构成的等式成立？
12×23□＝□32×21．请写出探究过程．
【解析】（1）解：根据“颠倒数”定义得2023的“颠倒数”为3202；
故答案为：3202；
（2）解：若数a存在“颠倒数”，则它满足的条件是末位数字不为0；
故答案为：末位数字不为0；
（3）解：设这个数字为x，根据三位数的表示方法可得“23□”和“□32”转化为用含x的代数式表示分别为230+x和100x+32，由题意得：
12（230+x）＝21（100x+32），
解得：x＝1，
经检验，所求的x值符合题意，
∴这个数字为1．
29．（2023 江北区开学）阅读探究：；；；；
（1）根据上述规律，求的值；
（2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：．
【解析】（1）根据题意得：原式；
（2）根据题意得：为正整数）；
（3）根据题意得：①，
②，
则②①得：．
30．（2023秋 新昌县校级期中）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“对称数”．例如自然数125521，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，5，5，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，5，5，2，1，因此125521是一个六位“对称数”．
（1）请你直接写出1个五位“对称数” 12321（答案不唯一） ．
（2）用含字母和，是1到9的整数）的代数式表示一个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”能否被11整除？并说明理由．
【解析】（1）根据对称数定义，五位对称数可以为：12321（答案不唯一），
故答案为：12321（答案不唯一）；
（2）猜想，任意一个四位“对称数”能被11整除，理由：
设任意四位对称数为，则这四位数可表示为：，
，是1到9的整数，
是整数，
任意一个四位“对称数”能被11整除，
31．（2023 江北区开学）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．
除方 乘方幂的形式
（初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ．
．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．．对于任何正整数，．
．．．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（2）算一算：．
【解析】（1）设，，
正确，不符合题意；
个1相除结果为1，
正确，不符合题意；
，，
错误，符合题意；
奇数个负数相除结果为负数，偶数个负数相除结果为正数，
正确，不符合题意．
故选：．
（2）
．
32．（2023秋 拱墅区校级期中）某单位在2月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠．
（1）若设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示并化简）
（2）假如这个单位组织包括带队员工在内的共40名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由；
（3）如果这个单位计划在2月份内连续旅游七天，已知这七天的日期之和为49的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程）
【解析】（1）甲旅行社的费用为：（元．
乙旅行社的费用为：（元．
故答案为：，．
（2）当时，选甲旅行社比较优惠．
．
．
．
选甲旅行社比较优惠．
（3）设第一天日期是，7天日期和是，
．
．
，．，是整数．
，．
，．
，．
他们可能于2月4或11或18号出发．
33．（2023秋 衢江区期中）某品牌饮水机厂生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价350元，饮水机桶每只定价50元，厂方开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一台饮水机送一只饮水机桶；
方案二：饮水机和饮水机桶都按定价的九折付款．
现某客户到该饮水机厂购买饮水机20台，饮水机桶只（超过．
（1）若该客户按方案一购买，求客户需付款（用含的式子表示）；
若该客户按方案二购买，求客户需付款（用含的式子表示）；
（2）若，通过计算说明此时客户按哪种方案购买较合算？
（3）当时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数．
【解析】（1）客户按方案一购买需付款元；
客户按方案二购买需付款元；
（2）当时，
方案一需（元；
方案二需（元．
所以按方案一购买合算；
（3）更为省钱的购买方案：按方案一购买20台饮水机，按方案二购买30只饮水机桶．
按方案一购买20台饮水机，送20只饮水机桶需（元，
按方案二购买30只饮水机桶需（元，
（元．
故共需8350元．
34．（2023秋 瓯海区校级期中）旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤成本价为8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格销售，卖出时以每斤10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录了第一周百香果的售价情况和售出情况如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元 0 0
售出斤数（斤 25 20 32 42 40 53 47
（1）这一周超市出售此种百香果共盈利 540 元；
（2）超市为了促销此种百香果，决定从下周一开始推出两种不同的促销方式：
方式一：购买不超过5斤则每斤售价12元，若购买超过5斤，则超出5斤的部分打八折；
方式二：每斤售价10元．
①顾客买斤百香果，按方式一购买需 元（用含的代数式表示并化简）；
②宋辉要买40斤百香果，那选择哪种方式更省钱并说明理由？（顾客只能选择一种促销方式）
【解析】（1）由题意得
售出的总斤数为：
（斤
（元，
（元，
所以共盈利：（元；
故答案为：540．
（2）由题意得
①
；
故答案为：；
②方式一更省钱，理由如下：
方式一：
（元，
方式二：（元，
因为：，
所以：方式一更省钱．
35．（2023春 义乌市期中）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片（如图，分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为，宽为的长方形．
（1）如图2①，将Ⅰ放入长方形中，试用含，的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．
（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图2②的方式，放置在长方形中，试用含，的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．
（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图2③的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．
【解析】（1），
当，时，；
（2），
当，时，；
（3）周长之差为：
．
故右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差为4．
36．（2023秋 龙湾区校级期中）
怎样邮寄瓯柑更经济？ 瓯柑是温州的特产，每年秋冬季是其盛产期．小温家的瓯柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出．
素材1 一客户在小温家定了10箱瓯柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克）0.30.1箱数1432
素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元．
素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，瓯柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，瓯柑几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，瓯柑的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金．
任务1 计算这10箱瓯柑的总质量．
任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？
任务3 今年瓯柑的成本价为6元千克，售价为12元千克．结合任务2，邮寄10箱瓯柑哪种方案利润更高？
【解析】任务（千克），
这10箱瓯柑的总质量为100千克；
任务2：由表格可得，
，，，，
箱瓯柑中重量为10.3的有1箱，重量为10.1的有4箱，重量为9.9的有3箱，重量为9.8的有2箱，
方案一：；
方案二：
这10箱瓯柑的总质量为100千克，
，
，（元，
选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元；
任务
方案一：邮寄10箱瓯柑的利润为（元，
方案二：邮寄10箱瓯柑的利润为（元，
方案一利润更高．
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期中专项19解答题压轴题专练
1．（2023秋 海曙区校级期中）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示实数，，则，两点之间的距离表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示与的两点之间的距离表示为 ．
（3）若表示数轴上的一个实数，且，则 ．
（4）若表示数轴上的一个实数，求最小值．
2．（2023秋 东阳市校级月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作
，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
（3）若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
（4）要使的值最小，求此时的整数值．
3．（2023秋 义乌市校级月考）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
4．（2023秋 慈溪市月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
5．（2023秋 江北区月考）如图1，数轴上，两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若，分别到达，两点，且满足为正整数），我们称，两点完成了一次“准相向运动”．
（1）若，两点完成了一次“准相向运动”．
①当时，，两点表示的数分别为 ， ；
②当为任意正整数时，求，两点表示的数；
（2）如图2所示，若，两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若不变，求，两点所表示的数（用含的式子表示）；
（3）若，两点完成了次“准相向运动”，并分别到达，两点，当时，是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
6．（2023秋 西湖区校级月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问：
（1）动点从点运动至点需要多少时间？
（2）、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少；
（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．
7．（2023秋 鄞州区校级月考）点、、为数轴上三点，如果点在、之间且到的距离是点到的距离3倍，那么我们就称点是，的奇点．
例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为1．表示0的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是，的奇点；又如，表示的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点就不是，的奇点，但点是，的奇点．
如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是，的奇点；数 所表示的点是，的奇点；
（2）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30．现有一动点从点出发向左运动，到达点停止．点运动到数轴上的什么位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点？
8．（2023秋 婺城区校级期中）如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）写出数轴上点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的式子表示）；
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点，，同时出发．
①当为何值时，点、两点到点的距离相等？
②式子的值不随时间的变化而变化，求的值．
9．（2023秋 椒江区校级期中）数轴上点表示，点表示6，点表示12．点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
（1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 ；
（2）当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示） 时，、两点相遇；
（3）求当为多少秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度．
10．（2023秋 诸暨市期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1）求此时刻快车头与慢车头之间相距 单位长度；
（2）从此时刻开始，若快车以8个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 秒两列火车的车头、相距10个单位长度；
（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），则这段时间是 秒，定值是 单位长度．
11．（2023秋 浙江期中）【阅读】如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
（1）求、两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
（3）如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
12．（2023秋 上虞区校级期中）附加题如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最大的负整数，且，满足与互为相反数．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设经过秒后，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
13．（2023秋 余姚市校级期中）如图点、在数轴上分别表示有理数、，且．请回答以下问题：
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，，中点对应的数为 ．
（2）若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动，设运动时间为秒，则：
①当为何值时，点和点重合？
②当为何值时，，之间的距离为3个单位长度？
14．（2023秋 平湖市校级期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ， ．（用含的代数式表示）
（4）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
15．（2023秋 平湖市校级期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合；
（3）点、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，则 ．（用含的代数式表示）
16．（2023秋 鹿城区期中）如图，点和在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点，同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．
（1）求点，之间的距离；
（2）①经过 秒，甲、乙两人第一次相遇；
②经过 秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为 ．
17．（2023秋 新昌县校级期中）如图，已知一数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为36个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．
（1）点对应的数为 ，甲出发 秒后追上乙（即第一次相遇）；
（2）甲、乙同时出发多少秒后，二者相距2个单位长度？（请直接写出答案）
18．（2023秋 余姚市期中）如图，已知：数轴上点表示的为8，是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．设运动时间为秒．
（1）写出数轴上点表示的数
（2）当、两点的距离为6个单位长度时，求出所有的值，并求出对应时间点表示的数是多少？
（3）假设点追上点时立即掉头返回，速度不变．求点到原点之间的距离与点到原点的距离相等时，所有符合题意的的值（请直接写出答案）．
19．（2023秋 北仑区校级期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4．
（1）图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
（2）把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ．
20．（2023秋 玉环市校级期中）已知在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车：快车长为2个单位长度，慢车长为4个单位长度．设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车车头在数轴上表示的数是，慢车车头在数轴上表示的数是．若快车以4个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且．温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1） ，
（2）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？
（3）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距6个单位长度？
（4）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，请直接写出这个时间的值和这个不变值；若不正确，请说明理由．
21．（2023秋 慈溪市校级期中）点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ；
（2）数轴上表示和1两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为
（3）若表示一个实数，且，化简；
（4）的最小值为 ，
22．（2023秋 拱墅区校级期中）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为，，，其中是最小的正整数，且，，满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点与点之间的距离可表示为．
（1） ， ， ；
（2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点以每秒6个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒，试探究和之间的数量关系；
（3）若，两点的运动和（2）中保持不变，点变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求的值．
23．（2023秋 鄞州区校级期中）如图，数轴上的点，分别表示数和5，图形①和图形②都由4个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上．开始时，图形①的顶点与点重合，图形②的顶点与点重合，现图形①以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形②以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动．
（1）点与点的距离是 个单位长度；
（2）经过多少时间后，图形①与图形②并行（点与点重合），并求此时点表示的数；
（3）在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，求时间的值 （直接写出答案）．
24．（2023秋 瑞安市期中）如图，动点，同时从表示数1的位置出发沿数轴做匀速运动，已知动点，运动速度之比是（速度单位：1个单位长度秒）．若经过4秒，点运动到点，点表示的数为，点运动到点，且点在原点的右侧．
（1）点表示的数为 ；
（2）若动点，分别由，两点位置同时开始继续按原速运动，且在数轴上的运动方向不限．
①若，两点同向运动，当点运动到与表示数1的位置相距13个单位长度时，求此时点表示的数．
②若，两点在这段运动过程中有段时间内，点所表示的数与点所表示的数的和与差均为非负数，则相应这段时间持续了 秒（直接写出答案）．
25．（2023秋 吴兴区期中）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求；
（2）求；
（3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？
26．（2023秋 金华期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“方差有理数对”，记为，如：，都是“方差有理数对”．
（1）判断数对是否为“方差有理数对”，并说明理由；
（2）若是“方差有理数对”，求的值．
27．（2023秋 慈溪市校级期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含的代数式）
（2）若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值．
28．（2023秋 临海市校级期中）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如348的颠倒数是843．请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2023的“颠倒数”为 ．
（2）若数a存在“颠倒数”，则它满足的条件是： ．
（3）能否找到一个数字填入空格，使下列由“颠倒数”构成的等式成立？
12×23□＝□32×21．请写出探究过程．
29．（2023 江北区开学）阅读探究：；；；；
（1）根据上述规律，求的值；
（2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：．
30．（2023秋 新昌县校级期中）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“对称数”．例如自然数125521，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，5，5，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，5，5，2，1，因此125521是一个六位“对称数”．
（1）请你直接写出1个五位“对称数” ．
（2）用含字母和，是1到9的整数）的代数式表示一个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”能否被11整除？并说明理由．
31．（2023 江北区开学）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．
除方 乘方幂的形式
（初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ．
．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．．对于任何正整数，．
．．．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（2）算一算：．
32．（2023秋 拱墅区校级期中）某单位在2月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠．
（1）若设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示并化简）
（2）假如这个单位组织包括带队员工在内的共40名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由；
（3）如果这个单位计划在2月份内连续旅游七天，已知这七天的日期之和为49的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程）
33．（2023秋 衢江区期中）某品牌饮水机厂生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价350元，饮水机桶每只定价50元，厂方开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一台饮水机送一只饮水机桶；
方案二：饮水机和饮水机桶都按定价的九折付款．
现某客户到该饮水机厂购买饮水机20台，饮水机桶只（超过．
（1）若该客户按方案一购买，求客户需付款（用含的式子表示）；
若该客户按方案二购买，求客户需付款（用含的式子表示）；
（2）若，通过计算说明此时客户按哪种方案购买较合算？
（3）当时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数．
34．（2023秋 瓯海区校级期中）旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤成本价为8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格销售，卖出时以每斤10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录了第一周百香果的售价情况和售出情况如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元 0 0
售出斤数（斤 25 20 32 42 40 53 47
（1）这一周超市出售此种百香果共盈利 元；
（2）超市为了促销此种百香果，决定从下周一开始推出两种不同的促销方式：
方式一：购买不超过5斤则每斤售价12元，若购买超过5斤，则超出5斤的部分打八折；
方式二：每斤售价10元．
①顾客买斤百香果，按方式一购买需 元（用含的代数式表示并化简）；
②宋辉要买40斤百香果，那选择哪种方式更省钱并说明理由？（顾客只能选择一种促销方式）
35．（2023春 义乌市期中）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片（如图，分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为，宽为的长方形．
（1）如图2①，将Ⅰ放入长方形中，试用含，的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．
（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图2②的方式，放置在长方形中，试用含，的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．
（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图2③的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．
36．（2023秋 龙湾区校级期中）
怎样邮寄瓯柑更经济？ 瓯柑是温州的特产，每年秋冬季是其盛产期．小温家的瓯柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出．
素材1 一客户在小温家定了10箱瓯柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克）0.30.1箱数1432
素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元．
素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，瓯柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，瓯柑几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，瓯柑的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金．
任务1 计算这10箱瓯柑的总质量．
任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？
任务3 今年瓯柑的成本价为6元千克，售价为12元千克．结合任务2，邮寄10箱瓯柑哪种方案利润更高？
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