2024-2025学年吉林省四平市四平实验学校高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省四平实验学校高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题年，我国数学家陈景润证明了“”成立哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为( )
A. 每一个小于的偶数都不能写成两个质数之和
B. 存在一个小于的偶数不能写成两个质数之和
C. 每一个大于的偶数都不能写成两个质数之和
D. 存在一个大于的偶数不能写成两个质数之和
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
8.已知正数，，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.设，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数
B.
C. 不等式的解集为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的子集的个数为______．
13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______．
14.已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
计算的值；
若，求的值．
17.本小题分
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元当年加工量不足万件时，；当年加工量不低于万件时，通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购．
求年利润关于年加工量的解析式；年利润年销售收入流动成本年固定成本
当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？参考数据：
18.本小题分
已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且，记．
求的最小值；
解关于的不等式；
设，若的图象与的图象有个交点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求的图象在处的切线方程；
若对于任意的恒成立，求的取值范围；
若数列满足且，记数列的前项和为，求证：．
参考答案
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14.
15.解：集合，
时，集合，
所以；
若，则时，，解得，
时，应满足，解得，
综上，实数的取值范围是或．
16.解：原式．
由已知可得，且，
化为，
即，化为，
，则，，即．
．
17.解：当时，，
当时，，
所以年利润关于年加工量的解析式为：；
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取得等号．
因为，
所以当年加工量为万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为万元．
18.解：由题意知，，，
由，得，即，
两式相加，得，所以．
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以．
因为，所以为偶函数，
因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减．
由，得，
两边平方并整理得，解得，
故不等式的解集为．
由题意知，方程有个不同的实数解，
即方程有个不同的实数解．
设，则，即有个不同的正根．
，解得，故的取值范围为．
19.解：若，则，所以，
所以，，
所以的图象在处的切线方程为，即．
解：，
令，所以，
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，，符合题意；
当，即时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，
所以，不符合题意．
综上，的取值范围是．
证明：因为，所以，即，
所以数列是公差为的等差数列，
又，所以，所以．
由知当时，，所以当，时，，即．
所以
，
所以，
又，所以．
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