2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第四次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第四次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为( )
A. 或或 B. 或 C. 或 D.
2.若复数满足是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
8.，，均有成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为年中国大学生使用偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于年中国大学生使用的结论正确的是( )
A. 超过的大学生更爱使用购物类
B. 超过半数的大学生使用是为了学习与生活需要
C. 使用偏好情况中个占比数字的极差是
D. 使用目的中个占比数字的分位数是
10.已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有个交点，则
11.已知圆锥的底面半径为，其母线长，底面圆周上有一动点，下列说法正确的有( )
A. 截面的最大面积为
B. 若，则直线与平面夹角的正弦值为
C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
D. 若，且，一只小蚂蚁从点出发绕侧面一周到达点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为______．
13.在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为______．
14.已知点，，定义为，的“镜像距离”，若点，在曲线上，则，的“镜像距离”的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的公差不为，其中，，，成等比数列数列满足．
求数列与的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为的等边三角形，．
证明：平面平面．
若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，平分且与相交于点．
若的面积为，求；
若，求与的面积之比．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为，
求椭圆的标准方程；
设直线：与椭圆交于、两点．
若直线过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值；
若直线过定点，且，在轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
求曲线在处的切线方程；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若有三个零点，，，且，求证：．
参考答案
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15.解：由已知，又
故
解得舍去，或
故当时，可知
当时，可知
得
又也满足，故当时，都有．
由知
故
由得
解得
16.证明：取的中点，连接，，
因为，，所以为等边三角形，
又为的中点，所以，且，
因为是边长为的等边三角形，所以，
所以，即，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：由知，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
易知是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：在中，由，
可得面积为，
因为的面积为，
所以四边形的面积为，
因为平分，
所以四边形的面积为．
所以，
在中，由余弦定理得；
若，则，
因为平分．
所以，
由正弦定理以及诱导公式可得，，
由，可得，
因为与有公共边，
所以与的面积之比为．
18.解：双曲线的渐近线方程为，设椭圆的半焦距为，
椭圆的右焦点为，由到渐近线的距离为可得：
，因为，所以解得，
再由椭圆的一个顶点为，可得，
所以由，
即椭圆的标准方程为；
直线：过椭圆右焦点可得：，即，
所以由直线方程为：，
联立，消去得：，
恒成立，
设两交点，，则有，
所以，
又椭圆左焦点到直线：的距离为，
所以，
解得：或舍去，即；
假设存在点使得以，为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点，且，可知直线方程为，
联立，消去得，
由，且，解得，
设两交点，，中点，
则有，
所以，
即，整理得，
又因为，所以，则．
19.解：依题意，，则，
又，
则曲线在处的切线方程为；
当时，等价于，
设，则，，
(ⅰ)当时，令，得，．
由和得，
故当时，，在单调递减，因此；
(ⅱ)当，时，，
故，在上单调递增，因此；
综上，的取值范围是．
证明：由等价于，
令注意到，，依题意，除了之外，还有两个零点，
又由，
令，
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，，
又因为，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，
又为的一个零点，所以恰有个零点，亦即恰有个零点；
当时，恒成立，
故这时在单调递减，不合题意：
故实数的取值范围是．
，
由，
由此可得，
要想证明，
只需证明，
而，
因此只需要证明当时，，
令，，
可得，
故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即．
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