2024-2025学年广东省汕尾市四校高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕尾市四校高三（上）联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，；命题：是的充分条件，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.若函数两零点间的最小距离为，则( )
A. B. C. D.
4.已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱旋转所形成的圆柱的侧面积最大是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知、都是锐角，的值为( )
A. B. C. D.
7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？参考数据：，，
A. B. C. D.
8.设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是( )
A. 在区间，上单调递增
B. 是的极小值点
C. 在区间上单调递减
D. 是的极小值点
10.已知函数为奇函数，且，当时，，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期为 D.
11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象则( )
A.
B.
C. 的一个对称中心是
D. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知，则 ______．
14.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体图，若中间层旋转角为锐角，如图所示，记表面积增加量为，则 ______，的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在内，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的值；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面；
求二面角的大小．
17.本小题分
已知函数的最大值为．
求的值；
求图象的对称中心和对称轴；
当时，求的最值，以及相应的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若对任意的实数，，都有成立等号当且仅当时成立，则称函数是上的凸函数，并且凸函数具有以下性质：
对任意的实数，都有成立等号当且仅当时成立．
判断函数、是否为凸函数，并证明你的结论；
若函数是定义域为的奇函数，证明：不是上的凸函数；
求证：函数是上的凸函数，并求的最大值其中、、是的三个内角．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
故，解得，
又，所以；
由知，
由余弦定理得，
又，
故，则，
又，由得，故，
所以，
由题意得，，解得负根舍去，
故的周长为．
16.解：证明：因为平面，平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故BC，
又因为，，
所以平面．
由平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
17.解：函数
，
函数的最大值为，
所以，解得；
令，解得，
故函数的对称中心为，
令，解得，，
故函数的对称轴为，，
当时，
则，
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
18.解：当时，，，
，又，
在处的切线方程为：，
即；
的定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，则由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，上单调递增；
综上所述：
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，上单调递增；
若，由知，至多有一个零点，不合题意．
若，由知，当时，取得最小值，且最小值为，
要使有两个零点，则，
即求的解集，
令，，
则．
所以在上单调递增，又，
所以时，，时，，
所以的解集为．
综上，．
19.解：函数、都是为凸函数，证明如下：
证明：对于函数，，对任意的实数，，则有，，
又因为对任意实数，，，当时，等号成立，
所以，所以，
即，
所以，是为凸函数；
对于，，对任意的实数，，
，当时等号成立，
所以，是为凸函数；
证明：假设定义域为的奇函数是凸函数，则有恒成立，
又因为，，
令，，
则有，
与矛盾，
所以不是上的凸函数；
证明：设，，，
，
当且仅当时等号成立，
所以函数是上的凸函数；
因为函数是上的凸函数，
所以，
即有，
当时，等号成立，
所以的最大值为．
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