2024-2025学年吉林省长春市长春二中高三（上）第二次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条伴 D. 既不充分也不必要条件
4.设，，且，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知集合，若，，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是( )
A. B. C. D.
8.现定义如下：当时，若，则称为延展函数现有，当时，与均为延展函数，则以下结论( )
存在；，与有无穷个交点
存在；，与有无穷个交点
A. 都成立 B. 都不成立 C. 成立不成立 D. 不成立成立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是( )
A. B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为
10.若正数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图象关于点对称，则( )
A. 函数的图象关于直线对称 B. 是函数的一个周期
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，则 ______．
13.设当时，函数取得最大值，则 ．
14.已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求最小正周期；
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求证：．
17.本小题分
各项均不为的数列对任意正整数满足：．
若为等差数列，求；
若，求的前项和．
18.本小题分
在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节每次信号只发送和中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误已知发送信号时，接收为和的概率分别为，；发送信号时，接收为和的概率分别为，假设每次信号的传输相互独立．
当连续三次发送信号均为时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
当连续四次发送信号均为时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量中任意相邻的数字均不相同时，令，若，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段对于函数，在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线，，和曲线所围成的区域称为曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
已知函数，其中，．
证明：对任意两个不相等的正数，，曲线在和处的切线均不重合；
当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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13.
14.或
15.解：因为
，
所以函数的最小正周期为；
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
令，得，
所以对称中心为，；
当时，，
则，
所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
实数的取值范围为．
16.解：函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要证，只需证，即证，
即证，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，所以得证．
17.解：设等差数列的公差为，则，
由，
可得，
则，，解得；
令，可得，又，解得，
再令，可得，解得．
当时，由，可得，
相减可得，
则，
又，，
则从第二项起是公差为的等差数列，可得．
18.解：由题可知，
因为，所以当时，的最小值为；
由题设知，的可能取值为，，，，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，或，或，或，或，或，或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，或，或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，
所以，
所以的分布列为：
期望．
19.解：证明：在曲线取一点，
过点作的切线分别交，于，，
因为，
所以，
即
证明：由题意可得，
，
不妨设，曲线在处的切线方程：
，
即，
同理曲线在处的切线的方程
，
假设与重合，则
，
代入化简得，
两式消去得，
得，
由的结论可知，与上式矛盾，
即对任意实数，及任意不相等的正数，，与均不重合
当时，不等式恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即，
下证：当时，恒成立，
因为，
所以，
设，
，
当时，
由，，，
知恒成立，
即在上为单调递增，
所以成立，
当时，
设，
，
由，，知恒成立，
即在为单调递增，
所以，即在为单调递减，
所以成立，
综上所述，实数的取值范围为．
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