2.1.1 倾斜角与斜率 课件（共17张PPT）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共17张PPT)
2.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导入
问题：在直角坐标系下，确定一条直线需要什么？
1.过一点能不能确定一条直线
2.方向相同能不能确定一条直线
y
x
o
y
x
o
l
x
y
O
A
B
l1
x
y
O
α1
α2
α3
两点确定一条直线
一个点和一个方向
新课讲授
在直角坐标系下，设，为直线上两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向向量确定一条直线.
x
y
O
l
确定直线位置的要素除了点之外， 还有直线的方向, 也就是直线的倾斜程度.
概念讲解
l
x
y
O
直线与轴相交时,取轴为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角.
规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
直线倾斜角的范围为：
例1 (多选)下列命题中，正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
√
√
倾斜角不可能为负
有无数条，且都垂直于y轴
当α＝0°时，sin α＝0
当α＝90°时，sin α＝1
AC
练1.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
AB
分析：根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
问题1：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？
直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：
.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母表示，即.②
归纳总结
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
斜率与倾斜角对应关系
时,斜率越大，倾斜角越大;
时,斜率越大，倾斜角越大.
问题2：直线的倾斜角越大，斜率越大
斜率范围：（-∞，+∞）
例2 如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
由及可知，直线与的倾斜角均为锐角，
由可知，直线的倾斜角为钝角.
练2.(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为______.
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为______.
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为______.
1
练3.已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°
解：(1)，解得m＝.
(2)直线l的倾斜角为90°，即直线l平行于y轴，∴m+1＝2m，得m＝1.
课堂总结
回顾本节课，说说下列知识点.
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
当堂检测
1.如图，直线l的倾斜角为(　　)
C
2.设a为实数，已知过两点A(a，3)，B(5，a)的直线的斜率为1，则a的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
当堂检测
3.已知两点，，过点的直线与线段有公共点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
解：如图，由题意可知，，
(1)要使与线段有公共点，则或，
即直线的斜率的取值范围是.
(2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，
∴的取值范围是.