2.2.3 直线的一般式方程 课件（共16张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共16张PPT)
2.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
复习回顾
直线方程
点斜式
斜截式
两点式
截距式
× √ √
× √ √
× × √
× × ×
新课讲授
观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式＝，截距式＋＝1，你能发现它们都是什么类型的方程？
都是关于x，y的二元一次方程
思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，
当直线l的斜率为k时，方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程；
当直线l的斜率不存在时，其方程为x－x0＝0，可认为是关于x，y的二元一次方程(y的系数为0)，
∴平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.
思考2：任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？
当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点(0，- )，斜率为- 的直线．
当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0可变形为x＝－，它表示过点(－，0)，
且垂直于x轴的直线．
故关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线．
我们把关于的二元一次方程
(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：直线的一般式适用于所有直线.
概念讲解
例1 已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是y＋4=－(x－6)，
化为一般式，得4x＋3y－12＝0.
例2 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解：把直线的一般式方程化为斜截式.
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是.
在直线的方程中，令，得，
即直线在轴上的截距是.
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线(如图).
练1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.
解：(1)由点斜式得直线方程为y－3=(x－5)，即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式得直线方程为，即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式得直线方程为，即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
利用一般式解决直线的平行与垂直问题
知识讲解
例3 (1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，求实数a的值.
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，求实数a的值.
解：(1)∵直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，
∴3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6 .
(2)由直线l1⊥l2，得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1.
故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2.
练2.已知点A(2，2)和直线l:3x+4y-20=0.
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解：(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0，
又过点A(2，2)，所以3×2+4×2+C1=0，所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0，
又过点A(2，2)，所以4×2-3×2+C2=0，所以C2=-2，
所以直线方程为4x-3y-2=0.
例4 直线y=k(x+2)+3恒过定点________．
变式1:无论k为何值时，直线kx－y＋2＋2k＝0恒过定点________．
法1：化为y－2=k(x+2)
变式2:不论a为何值，直线(a＋1)x＋y＋2－a＝0恒过定点________.
法1：将方程化为点斜式
法2：化为k(x+2)－y+2=0，
只需x+2=0且－y+2=0，
得x=﹣2，y=2.
方程可化为a(x－1)+x+y+2=0，
只需x－1=0且x+y+2=0，
得x=1，y=﹣3.
法2：将含参数的项放一起
(﹣2，3)
y－3=k(x+2)
(﹣2，2)
(1，﹣3)
直线恒过定点问题
课堂总结
回顾本节课，下列三小问如何解决：
(1)直线五种形式方程的互化.
(2)利用直线方程判定直线的平行与垂直.
(3)直线过定点问题.
当堂检测
1.已知直线l过点(0，3)，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
2.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
3.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)，则该直线过定点　　　　　.
D
A
(-2，1)