2.3.3-2.3.4 点到直线和两平行线间的距离 课件（共21张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共21张PPT)
2.3.3-2.3.4 点到直线和两平行线间的距离
学习目标
1.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.
2.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离.
复习回顾
两点间距离公式
特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是
新课讲授
P到直线l的距离是从P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
问题2:点P0(x0，y0)到 x 轴, y 轴的距离？
问题1:什么是点到直线的距离？
点P0(x0，y0)到直线 x =x1, 直线 y =y1的距离？
P
Q
l
x0
y0
|y0|
|x0|
x
y
P0 (x0,y0)
O
|x1-x0|
|y1-y0|
问题3:能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？已知点P0(x0，y0)，直线l: Ax+By+C=0, 如何求点P0到直线l的距离？
x
y
O
Q
P
直线l的方程
直线 l 的方程
直线PQ的方程
交点
点P的坐标
直线PQ的斜率
点P的坐标
点Q的坐标
两点间距离公式
思路简单运算繁琐
直线l的斜率
l⊥PQ
点P、Q之间的距离|PQ |（ P到l 的距离）
l
思路一：直接法
x
y
O
Q
能否不求点Q的坐标？
(1)方法:根据点到直线距离的定义，将点到直线距离转化为两点之间的距离.
(2)缺点:思路自然但运算量较大.
(3)思考:仔细观察求解过程， 思考引起复杂运算的原因是什么
(4)对策:由此能否给出简化运算的方法
追问：能否从方程组中直接求出x-x0，y-y0 ？
①
②
③
④
③式的平方+④式的平方得：
改进：用设而不求法推导
“整体代换”
“设而不求”
在上述方法中，若设垂足Q的坐标(x，y），则　　
结合方程组 　　　　　 　 我们能直接求出 　　　　　　，进而
求出|PQ|．　　　　
思路二：间接法（等面积法）
x
y
O
S
R
l
Q
P
求出|PR|
求出|PS|
利用勾股定理求出|RS|
面积法求出|PQ|
求出点R的坐标
求出点S的坐标
x
y
O
S
R
l
Q
P
M(x，y)
x
y
O
P
P1
P2
n
点P到直线l的距离，就是的模，
设是直线l上任意一点M(x，y)，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量
追问:如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？
思路三：向量投影法
问题4:我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？
解：l的方向向量为m=(B，-A)，与m垂直的向量为(A，B)
所以与l的方向向量垂直的单位向量n=
从而 ·n=(x-x0，y-y0)·
=
因为点M在直线上，所以Ax+By+C=0，所以Ax+By=-C，代入上式得
·n=
因此|PQ|= = ·n=
M(x，y)
x
y
O
P
P1
P2
n
概念讲解
平面内一点P(x0，y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式：
分子是P点坐标代入直线方程左边
分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根
1.用此公式时直线方程必须先化成一般式；
2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的；
3.如果A=0或B=0，此公式也成立.
注：
例1 点(1，1)到直线3x+4y-2=0的距离是(　　)
A.1 B.2 C. D.
A
练1.已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得，
解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
问题5:已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，如何求l1，l2间的距离？
定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
y
x
O
l2
l1
Q
P
思路：求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离．
两平行线间的距离处处相等
两条平行直线间的距离
点到直线的距离
转化
y
O
x
l1
l2
P
Q
在直线l1上任取一点P (x0 ， y0)，点P(x0， y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离，即
注意：(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x，y的系数必须分别相等.
概念讲解
例2 已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离.
解：先求l1与x轴的交点A的坐标.
容易知道，点A的坐标为(4，0).
点A到直线l2的距离d＝，
所以l1与l2间的距离为.
练2.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A
课堂总结
回顾本节课内容，说说下列知识点：
(1)点到直线的距离公式.
(2)两条平行线间的距离.
当堂检测
1.(多选)已知点M(1，4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3，则实数m的可能取值是(　　)
A.0 B. C.3 D.2
2.已知两条直线l1:3x-4y+6=0， l2:3x-4y-4=0，则这两条直线之间的距离为(　　)
A.2 B.3
C.5 D.10
AB
A