湖南省澧县张公庙中学2015-2016学年第二学期九年级入学考试数学试卷

湖南省澧县张公庙中学2015-2016学年第二学期九年级入学考试数学试卷
　
一．选择题（共8小题）
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
　
2．若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y=的图象在（　　）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
　
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4
　
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（　　）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
　
5．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
　
6．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
　
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）
A． B． C．2 D．
　
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
　
　
二．填空题（共8小题）
9．如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为　　　　　　．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
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10．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为　　　　　　．
　
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　　　　　　．
　
12．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为　　　　　　．
　
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为　　　　　　．
　
14．小明设计了一个魔术盒 ( http: / / www.21cnjy.com )，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x=　　　　　　．
　
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线 ( http: / / www.21cnjy.com )，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是　　　　　　．
　
16．如图，已知点A1，A2，…， ( http: / / www.21cnjy.com )A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为　　　　　　．
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三．解答题（共9小题）
17．用公式法解下列方程2x2+6=7x．
　
18．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
　
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
　
20．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
　
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm． ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）
　
22．为了解某种电动汽车的性能，对 ( http: / / www.21cnjy.com )这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．
( http: / / www.21cnjy.com )
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
　
23．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
　
24． “铁路建设助推经济 ( http: / / www.21cnjy.com )发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．
　
25．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为　　　　　　．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为　　　　　　；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．
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26. 如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
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湖南省澧县张公庙中学2015-2016学年第二学期九年级入学考试数学试卷
参考答案
　
一．选择题（共8小题）
1． A． 2． A． 3． C． 4． A． 5． C． 6． C． 7． A． 8． D．
　
二．填空题（共8小题）
9．　4.9m　． 10．　（﹣，）或（，﹣）　． 11．　π　．
　
12．　3　． 13．　10　． 14．　﹣2　． 15．　20　． 16．　2011　．
　
三．解答题（共10小题）
17． x1=2，x2=． 18．1+．
　
19．解：（1）如图，
⊙C为所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴CD=3cos30°=，
∴的长==π．
　
20．解：∵y1与x成正比例，
∴y1=kx，
∵y2与x+2成反比例，
∴y2=，
∵y=y1+y2，
∴y=kx+，
∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，
∴，
解得：，
∴y=2x+，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11．
　
21．解：（1）连接EF．
∵CD平行于地面，
∴GD∥EF．
∴．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
而OE∥DM，
则四边形OGDN是平行四边形．
∴OG=DN，GD=ON．
∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，
∴GD=40cm，OG=GD=20cm，又EG=30cm，
即，得EF=100cm．
（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．
∵四边形ONHE是平行四边形，
∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．
由于MN=60cm，∴MH=110cm．
在Rt△MHP中，MP=MH sin∠MHP，
即MP=110sin60°=110×=55≈95（cm）．
答：躺椅的高度约为95cm．
　
22．解：（1）这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%=100（辆），
C所占的百分比为：40÷100×100%=40%，D所占的百分比为：20÷100×100%=20%，
A所占的百分比为：100%﹣40%﹣20%﹣30%=10%，
A等级电动汽车的辆数为：100×10%=10（辆），
补全统计图如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：230）=217（千米），
∴估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米．
　
23．（1）证明：连接OD．
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD2+DE2=EO2，
∴32+x2=（x+1）2，
解得：x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴==，
即=，
解得：AG=6．
　
24．解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
解得：，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，
解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），
答：m的值为20．
　
25．（1）．
（2）①　1　；
解：（1）如图1，过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴==1，
∴BN=DM=AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG=，GN=，
∴AN===；
故答案为：；
（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN=AM=1，
故答案为：1；
②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，
∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴AM=A′M=AN=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；
③在菱形ABCD中，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，
∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，
∴∠NA′B=∠DMA′，
∴△DMA′∽△BA′N，
∴=，
∵MD=AD=1，A′M=2，
∴=．
26. 解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN OA﹣BN MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）2
=﹣（n﹣3）2+5，
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
第3题图
第7题图
第10题图
第9题图
第12题图
第11题图
第15题图
第13题图