中小学教育资源及组卷应用平台
《4.7图形的位似》同步提升训练题（一）
一．选择题（共29小题）
1．（2024春 三台县期末）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y+1，x+2），我们把点P′（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2024的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，4） C．（﹣3，3） D．（﹣2，﹣1）
2．（2024春 齐齐哈尔期末）下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024 兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
4．（2024 青岛一模）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）
A．（a﹣3，b） B．（a+3，b） C．（3﹣a，﹣b） D．（a﹣3，﹣b）
5．（2023 涪城区开学）如图，已知平行四边形OABC的顶点A（0.4，1.2）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴……的规律进行，则经过第2022次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣0.4，1.2） B．（﹣0.4，﹣1.2）
C．（1.2，﹣0.4） D．（﹣1.2，﹣0.4）
6．（2024 柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4）
7．（2023秋 宁德期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1）
8．（2023秋 鲤城区校级期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
9．（2023春 合江县期中）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y﹣1，x+1），我们把点P′（﹣y﹣1，x+1）叫作点P（x，y）的终结点，已知P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，…，这样依次得到点P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标是（2，1），则点P2023的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣1） C．（0，﹣3） D．（2，1）
10．（2024秋 呈贡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（27，9） D．（9，27）
11．（2024秋 沈河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4）
C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
12．（2024秋 沙坪坝区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则线段AB：DE的值为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
13．（2024 滕州市校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
14．（2023秋 苍梧县期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9
15．（2024 榕城区一模）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1＝1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
16．（2024 凉州区二模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
17．（2024 东营区三模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
18．（2024 威海三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
19．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
20．（2023秋 凤城市期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9
21．（2024 北碚区校级开学）如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（ ）
A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2
22．（2024 渝中区校级三模）如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA：OD＝1：2，S△ABC＝3，那么S△DEF＝（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
23．（2024秋 历下区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
24．（2023秋 荣昌区校级期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知，△ABC的面积为1，则△DEF的面积是（ ）
A．16 B．4 C．3 D．9
25．（2024 恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
26．（2024 沧州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，4）．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B． C．（3，﹣1） D．
27．（2024 裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
28．（2024 咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）
29．（2024 成都模拟）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
二．填空题（共16小题）
30．（2023秋 秦都区校级期中）如图，正方形ABDC和正方形OEFG是位似图形，点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是 ．
31．（2024 山西模拟）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A′B′C′的顶点都在正方形网格的格点上，且△ABC与△A′B′C′为位似图形，则位似中心的坐标为 ．
32．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形GOEF是位似图形，已知A（3，2），F（﹣1，﹣1），且点B，C，E在x轴上，那么这两个正方形的位似中心的坐标是 ．
34．（2024秋 雁塔区校级月考）如图，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则点E的对应点E1的坐标是 ．
35．（2024 龙岗区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
36．（2024秋 南岗区校级月考）四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点O是位似中心，如果OA：OA1＝1：3，AB＝2，那么A1B1＝ ．
37．（2023秋 牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 ．
38．（2024秋 聊城月考）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝1：2，若点B坐标（﹣1，﹣2），则点E坐标为 ．
39．（2024秋 绿园区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是 ．
40．（2024 凉州区一模）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
41．（2024秋 长春月考）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A′B′C′位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B′的坐标为 ．
42．（2023秋 西湖区校级月考）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为 ．
43．（2023秋 武城县期末）△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 ．
44．（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为（5，4），点C的坐标为（3，0），且AB＝2DE，则点D的坐标为 ．
45．（2023秋 攀枝花期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ．
三．解答题（共15小题）
46．（2024春 招远市期末）在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出点B1的坐标 ．
（2）将△ABC的三个顶点坐标分别乘以﹣2，得到对应的点A2、B2、C2，请画出△A2B2C2，并判断△ABC与△A2B2C2具有怎样的位置关系？并请直接写出△ABC与△A2B2C2的位似中心的坐标以及相似比．
47．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．△A'B'C'的顶点坐标分别为A'（2，﹣3），B'（3，﹣2），C'（1，﹣1）．
（1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；
（3）△A'B'C'与△ABC是位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
（4）顺次连接CC1，C1C'，C'C2，C2C，所得到的图形是轴对称图形吗？
48．（2023 沈丘县一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A′B′C′是位似图形且顶点均在格点上．
（1）在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为 ，面积比为 ．
49．（2024春 任城区校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1．
（1）在x轴下方，画出△A1B1C1：
（2）直接写出 ．
（3）直接写出△A1B1C1的面积 ．
50．（2024 雁塔区校级模拟）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1．
（1）在x轴下方，画出△A1B1C1；
（2）直接写出 ．
51．（2023秋 永城市期末）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）；
（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是 ．
52．（2023秋 南海区校级期中）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大到△DEF，在y轴的左侧；
（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标是 ．
53．（2023秋 秦都区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
54．（2023秋 秦都区校级月考）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．
（1）请在图中画出点O的位置；
（2）若AB＝2DE＝36，BC＝20，求EF的长．
55．（2023 深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 ．
56．（2024秋 简阳市校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）写出点C关于点B成中心对称点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
57．（2024秋 阳谷县校级月考）如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标．
58．（2024秋 碑林区校级月考）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．格点△ABC（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是B（﹣4，2），C（﹣1，1）．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
（2）以O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与其位似图形的相似比为1：2，并计算△A1B1C1的周长．
59．（2024 天长市三模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得．
60．（2023秋 陵城区期末）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
《4.7图形的位似》同步提升训练题（一）
一．选择题（共29小题）
1．（2024春 三台县期末）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y+1，x+2），我们把点P′（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2024的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，4） C．（﹣3，3） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据前几个点坐标的变化得到变化规律，进而求解即可．
解：由题意得：P1（2，0），P2（1，4），P3（﹣3，3），P4（﹣2，﹣1），P5（2，0），……，
由此发现，每四个点坐标一循环，
∵2024÷4＝506
∴点P2024的坐标和P4坐标相同，为（﹣2，﹣1）
故选：D．
【点评】本题考查点坐标规律探究，也考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．
2．（2024春 齐齐哈尔期末）下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一判断，即可选出正确答案．
解：A．其中一个图形经过位似变换得到另一图形，不合题意；
B．其中一个图形经过平移变换得到另一图形，符合题意；
C．其中一个图形经过旋转变换得到另一图形，不合题意；
D．其中一个图形经过轴对称变换得到另一图形，不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何变换的类型以及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．（2024 兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
【分析】根据位似变换的定义判断即可．
解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换．
故选：D．
【点评】本题考查几何变换的类型，平移变换，轴对称变换，旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是理解各种变换的定义．
4．（2024 青岛一模）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）
A．（a﹣3，b） B．（a+3，b） C．（3﹣a，﹣b） D．（a﹣3，﹣b）
【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．
解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（1.5，0）成中心对称，
设点P′的坐标为（x，y），
所以，1.5，0，
解得x＝3﹣a，y＝﹣b，
所以，P′（3﹣a，﹣b）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（1.5，0）是解题的关键．
5．（2023 涪城区开学）如图，已知平行四边形OABC的顶点A（0.4，1.2）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴……的规律进行，则经过第2022次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣0.4，1.2） B．（﹣0.4，﹣1.2）
C．（1.2，﹣0.4） D．（﹣1.2，﹣0.4）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换重复一轮的规律，即可得出经过第2022次变换后，平行四边形顶点A的坐标．
解：∵A（0.4，1.2），
将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A（﹣0.4，1.2），
所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A（﹣0.4，﹣1.2），
第三次轴对称变换，A（0.4，﹣1.2），
第四次轴对称变换，A（0.4，1.2），即A点回到原处，
即每4次轴对称变换重复一轮，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次变换后，平行四边形顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数以及关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出每一次的坐标，得出规律是解题的关键．
6．（2024 柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，若点M的坐标为（1，2），
∴点N的坐标为（1×2，2×2），即（2，4），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2023秋 宁德期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1）
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特点是解答本题的关键．
8．（2023秋 鲤城区校级期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【分析】根据位似变换图形的性质作图，找到位似中心即可．
解：如图所示：位似中心的坐标为A（﹣1，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9．（2023春 合江县期中）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y﹣1，x+1），我们把点P′（﹣y﹣1，x+1）叫作点P（x，y）的终结点，已知P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，…，这样依次得到点P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标是（2，1），则点P2023的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣1） C．（0，﹣3） D．（2，1）
【分析】分别求出P2，P3，P4，P5的坐标，得到规律，由此得到答案．
解：∵点P1的坐标是（2，1），P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，……
∴P2（﹣1﹣1+2，2+1）即P2（﹣2+2，3），
∴P3（﹣4+2，﹣1），P4（20，﹣3），P5（2+2，1），……
∴点坐标每4个为一个循环，
∵2023÷4＝505 3，
∴点P2023的坐标与点P3的坐标相同，即点P2023的坐标是（﹣4，﹣1），
故选：B．
【点评】此题考查了点坐标规律探究，正确理解题意求出P2，P3，P4，P5的坐标，得到规律是解题的关键．
10．（2024秋 呈贡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（27，9） D．（9，27）
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应点的坐标．
解：∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，点A（9，3），
∴，，
∴A1点的坐标是（3，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，正确得出相似比是解题关键．
11．（2024秋 沈河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4）
C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算．
解：在y轴同侧时，
∵A（﹣1，2），相似比为2，
∴A′（﹣2，4）；
在y轴两侧时，
∵A（﹣1，2），相似比为2，
∴A′（2，﹣4）；
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（2024秋 沙坪坝区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则线段AB：DE的值为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，得到△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴AC：DF＝OC：OF＝3：2，
∴△ABC与△DEF相似比为3：2，
AB：DE＝3：2．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
13．（2024 滕州市校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（2023秋 苍梧县期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出AB：DE＝4：3，再根据相似三角形的性质计算即可．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3，
∴AB：DE＝4：3，
∵AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AO：DO＝AB：DE＝4：3，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15．（2024 榕城区一模）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1＝1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，得到△AOB∽△A1OB1，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
解：∵OA：AA1＝1：2，
∴OA：OA1＝1：3，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，
∴△AOB∽△A1OB1，
∴，
∴△ABC和△A1B1C1的周长之比为1：3，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
16．（2024 凉州区二模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∵△ABC的周长是5，
∴△DEF的周长是15，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
17．（2024 东营区三模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质求出AB：A′B′，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18．（2024 威海三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为16，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
19．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴，
∴△ABC的周长：△DEF的周长1：3，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为24，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
20．（2023秋 凤城市期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，进而得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
21．（2024 北碚区校级开学）如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（ ）
A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2
【分析】根据位似图形的概念得到△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，
∴△OAB∽△OCD，
∵△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，
∴△OAB的周长与△OCD的相似比是1：3，
∴△OAB的周长与△OCD的面积比是1：9，
∵△OAB的面积为4cm2，
∴△OCD的面积等于36cm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
22．（2024 渝中区校级三模）如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA：OD＝1：2，S△ABC＝3，那么S△DEF＝（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝1：2，
∴S△ABC：S△DEF＝1：4，
∵S△ABC＝3，
∴△DEF的面积为：12．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键．
23．（2024秋 历下区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】利用位似图形的性质得出S△ABC＝4S△DEF，即可得出答案．
解∵已知△ABC顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），
∴，△ABC∽△DEF，
∴△ABO∽△DEO，，
∴，
解得S△ABC＝12，
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．
24．（2023秋 荣昌区校级期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知，△ABC的面积为1，则△DEF的面积是（ ）
A．16 B．4 C．3 D．9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，再根据可得相似比为，S△ABC与S△DEF之比为相似比的平方．
解：因为△ABC与△DEF位似，AC：DF＝1：3，
所以S△ABC：S△DEF＝1：9，
又△ABC的面积为1，
所以S△DEF＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．
25．（2024 恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
【分析】根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，A（1.5，0），D（4.5，0），
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，3），
∴点F的坐标为（1×3，3×3），即（3，9），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，根据点A、D的坐标求出相似比是解题的关键．
26．（2024 沧州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，4）．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B． C．（3，﹣1） D．
【分析】直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合A点坐标直接得出点A'的坐标．
解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OAB缩小，将A（﹣3，1）的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题的关键．
27．（2024 裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
28．（2024 咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）
【分析】根据位似图形的概念易得△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据位似变换的性质计算，即可得到答案．
解：根据题意，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，
即△ABC与△DEF的相似比为1：3，
又∵B（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．
29．（2024 成都模拟）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，
故△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
故△A1B1C1的周长是12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
30．（2023秋 秦都区校级期中）如图，正方形ABDC和正方形OEFG是位似图形，点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是 （﹣1，0） ．
【分析】根据正方形的性质求得A（﹣5，2），G（0，﹣1），直线AF和直线CG的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线AF和直线CG的解析式，再建立二元一次方程组进行求解．
解：∵四边形ABDC和四边形OEFG是正方形，点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），
∴A（﹣5，2），G（0，﹣1），
设直线AF的解析式为：y＝k1x+b1（k1≠0），
把A（﹣5，2）、F（1，﹣1）代入y＝k1x+b1（k1≠0）得，
，解得：，
∴直线AF的解析式为：，
设直线CG的解析式为：y＝k2x+b2（k2≠0），
把 G（0，﹣1），C（﹣3，2）代入y＝k2x+b2（k2≠0）得，
，解得：，
∴直线CG的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∵直线AF和直线CG的交点即为位似中心，
∴建立方程组得，，解得：，
∴位似中心的坐标为：（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键．
31．（2024 山西模拟）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A′B′C′的顶点都在正方形网格的格点上，且△ABC与△A′B′C′为位似图形，则位似中心的坐标为 （﹣4，﹣3） ．
【分析】连接A′A，B′B并延长交于一点，交点即为所求．
解：如图，
连接A′A，B′B并延长交于一点P，点P即为所求．由网格图形可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 （0，2） ．
【分析】连接BF，交OD于H，根据位似中心的概念得到点H为位似中心，证明△BCH∽△FGH，根据相似三角形的性质求出GH，进而求出OH，得到点H的坐标．
解：如图，连接BF，交OD于H，则点H为位似中心，
由题意可知：CG＝4﹣1＝3，BC＝4，GF＝2，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，
∴BC∥GF，
∴△BCH∽△FGH，
∴2，
∴GH＝1，
∴位似中心点H的坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形GOEF是位似图形，已知A（3，2），F（﹣1，﹣1），且点B，C，E在x轴上，那么这两个正方形的位似中心的坐标是 （1，0） ．
【分析】根据位似变换的概念作图，根据图形得到答案．
解：如图所示：
点（1，0）是位似中心．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题主要考查了位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
34．（2024秋 雁塔区校级月考）如图，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则点E的对应点E1的坐标是 （﹣8，4）或（8，﹣4） ．
【分析】关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则点E的对应点E1的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以±2计算即可．
解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则：
E1（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），
∴点E1的坐标为（﹣8，4）或（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解答本题的关键是熟练掌握位似变换的性质．
35．（2024 龙岗区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （6，2）或（﹣6，﹣2） ．
【分析】分△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧和异侧两种情况求解即可．
解：当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧时，点A的对应点的坐标为（3×2，1×2），即（6，2）；
当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点异侧时，点A的对应点的坐标为（﹣2×3，﹣2×1），即（﹣6，﹣2）；
综上所述，点A的对应点的坐标为（6，2）或（﹣6，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
36．（2024秋 南岗区校级月考）四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点O是位似中心，如果OA：OA1＝1：3，AB＝2，那么A1B1＝ 6 ．
【分析】根据相似（位似）图形对应边的比等于相似比（位似比）即可求解．
解：根据题意，，
∴A1B1＝3AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了位似变换，注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
37．（2023秋 牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 ﹣5 ．
【分析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，然后根据位似图形的性质解答即可．
解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，
∵△ABC放大到原来的3倍得到△A′B′C，
∴3（﹣2﹣x）＝9，
解得：x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是位似图形的性质，灵活运用位似图形坐标的性质列方程计算是解题的关键．
38．（2024秋 聊城月考）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝1：2，若点B坐标（﹣1，﹣2），则点E坐标为 （﹣3，﹣6） ．
【分析】先通过位似的基本性质得到两个三角形的相似比，然后通过位似图形在坐标原点的同侧，把B点坐标乘以相似比即可．
解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
△OAC∽△ODF且△ABC∽△DEF，
又∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
又∵△OAC∽△ODF，
∴AC：DF＝1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
又∵B（﹣1，﹣2），
∴E（﹣3，﹣6），
故答案为：（﹣3，﹣6）．
【点评】本题考查了位似图形的对应坐标，熟练掌握位似图形的基本性质是解题关键．
39．（2024秋 绿园区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是 9 ．
【分析】结合题意可得△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝4：9，进而可得答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF＝4：9，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．
40．（2024 凉州区一模）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为 （3，3） ．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
41．（2024秋 长春月考）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A′B′C′位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B′的坐标为 （4，2） ．
【分析】由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘﹣2即得B′的坐标．
解：由题意得：点B（﹣2，﹣1），则其对应点B′的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
42．（2023秋 西湖区校级月考）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为 4.5 ．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的性质计算即可．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，且，
∵AB＝3，
∴DE＝4.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．
43．（2023秋 武城县期末）△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 （3，4）或（﹣3，﹣4） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是2：1，点C（6，8），
∴点C的对应点F的坐标为（6，8）或（6×（），8×（）），即（3，4）或（﹣3，﹣4），
故答案为：（3，4）或（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
44．（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为（5，4），点C的坐标为（3，0），且AB＝2DE，则点D的坐标为 （2，﹣2） ．
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥OC于点N．利用相似三角形的性质求出DN，ON可得结论．
解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥OC于点N．
∵△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEC，
∴AC：DC＝AB：DE＝2，
∵A（5，4），C（3，0），
∴OM＝5，OC＝3，AM＝4，
∴CM＝5﹣3＝2，
∵AM⊥OM，DN⊥OM，
∴AM∥DN，
∴△AMC∽△DNC，
∴AM：DN＝MC：CN＝AC：CD＝2，
∴CN＝1，DN＝2，
∴ON＝3﹣1＝2，
∴D（2，﹣2）．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
45．（2023秋 攀枝花期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 27 ．
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴，
∵△ABC 的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故答案为：27．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
三．解答题（共15小题）
46．（2024春 招远市期末）在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出点B1的坐标 （1，3） ．
（2）将△ABC的三个顶点坐标分别乘以﹣2，得到对应的点A2、B2、C2，请画出△A2B2C2，并判断△ABC与△A2B2C2具有怎样的位置关系？并请直接写出△ABC与△A2B2C2的位似中心的坐标以及相似比．
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意得，A2（4，﹣6），B2（6，﹣2），C2（2，﹣4），描点再连线可得△A2B2C2.结合题意可知，△ABC与△A2B2C2位似，位似中心的坐标为（0，0），相似比为1：2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
（2）由题意得，A2（4，﹣6），B2（6，﹣2），C2（2，﹣4）．
如图，△A2B2C2即为所求．
△ABC与△A2B2C2位似，位似中心的坐标为（0，0），相似比为1：2．
【点评】本题考查作图﹣位似变换、作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．△A'B'C'的顶点坐标分别为A'（2，﹣3），B'（3，﹣2），C'（1，﹣1）．
（1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；
（3）△A'B'C'与△ABC是位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
（4）顺次连接CC1，C1C'，C'C2，C2C，所得到的图形是轴对称图形吗？
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）连接AA'，BB'，CC'，由图可知△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，即可得出答案．
（4）利用勾股定理可得CC1＝C1C'＝C'C2＝C2C，则四边形CC1C'C2为菱形，即四边形CC1C'C2为轴对称图形．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接AA'，BB'，CC'，
可知△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，
∴位似中心的坐标为（0，0）．
（4）由勾股定理得，CC1＝C1C'＝C'C2＝C2C，
即四边形CC1C'C2为菱形，
∴四边形CC1C'C2为轴对称图形．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、位似变换、轴对称图形，熟练掌握平移、旋转、位似的性质、轴对称图形的性质是解答本题的关键．
48．（2023 沈丘县一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A′B′C′是位似图形且顶点均在格点上．
（1）在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为 1：2 ，面积比为 1：4 ．
【分析】（1）连接CC′、BB′，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；
（2）根据BC＝2，B′C′＝4，即可得出相似比和面积比．
解：（1）如图，位似中心的坐标为：（9，0）．
（2）∵BC＝2，B′C′＝4，
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：，
△ABC与△A′B′C′的面积比为：．
故答案为：1：2，1：4．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解答本题的关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
49．（2024春 任城区校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1．
（1）在x轴下方，画出△A1B1C1：
（2）直接写出 2 ．
（3）直接写出△A1B1C1的面积 10 ．
【分析】（1）分别确定A，B，C关于O的位似对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）由位似图形的性质可得答案；
（3）利用割补法求解三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由位似图形的性质可得：；
（3）．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，作图﹣复杂作图，三角形的面积，确定关键点的位似对应点是解题的关键．
50．（2024 雁塔区校级模拟）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣2，0），△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2：1．
（1）在x轴下方，画出△A1B1C1；
（2）直接写出 2 ．
【分析】（1）根据位似变换的定义以及题目要求作出图形即可；
（2）利用位似变换的性质求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由位似变换的性质可知2．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
51．（2023秋 永城市期末）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）；
（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是 1：2 ．
【分析】（1）根据C点和C1点的坐标特征得到位似比，然后把A、B的横纵坐标都乘以﹣2得到A1、B1的坐标，然后描点即可；
（2）根据位似图形的性质即可得到结论．
解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解决问题的关键．
52．（2023秋 南海区校级期中）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大到△DEF，在y轴的左侧；
（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标是 （﹣2，6） ．
【分析】（1）延长MA到D点使MD＝2MA，延长MB到E点使ME＝MB，延长MC到F点使MF＝2MC，从而得到△DEF；
（2）利用（1）所画图形写出D点坐标．
解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）D点坐标为（﹣2，6）；
故答案为：（﹣2，6）．
【点评】本题考查了位似变换，注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
53．（2023秋 秦都区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
【分析】（1）由△ABC与△DEF的相似比为1：2，可得，再求DF的长即可；
（2）先求出∠OCB的度数，再根据位似图形的性质求解即可．
解：（1）∵△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴，
∴DF＝2AC＝4；
（2）∵∠O＝22°，∠ABC＝38°，
∴∠OCB＝180°﹣22°﹣38°＝120°．
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴，
∴△OBC∽△OEF，
∴∠OFE＝∠OCB＝120°．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
54．（2023秋 秦都区校级月考）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．
（1）请在图中画出点O的位置；
（2）若AB＝2DE＝36，BC＝20，求EF的长．
【分析】（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；
（2）根据位似性质即可求得答案．
解：（1）根据点O的位置如图所示．
℃
（2）∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，
∴．
∵AB＝2DE＝36，BC＝20，
∴EF＝10．
【点评】本题主要考查位似变换，作图﹣复杂作图，相似三角形的判定与性质，熟知位似图形性质是解题的关键．
55．（2023 深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 （a，b） ；
（4）△A1B1C1的面积是 3 ．
【分析】（1）直接利用B点对应点坐标，即可得出相似比；
（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而得出答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出M点坐标即可；
（4）直接利用三角形面积求法得出答案．
解：（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是（a，b）；
故答案为：（a，b）；
（4）△A1B1C1的面积是：2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
56．（2024秋 简阳市校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）写出点C关于点B成中心对称点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【分析】（1）根据对称点的方法很容易可写出C1的坐标．
（2）首先根据位似中心画出位似图形，再写坐标即可．
解：（1）点C1的坐标（1，6）；
（2）△A2B2C2如图所示：
点C2的坐标（﹣6，4），
【点评】本题主要考查位似图形的画法，关键在于位似中心，这是直角坐标系的必考题，必须熟练掌握．
57．（2024秋 阳谷县校级月考）如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标．
【分析】（1）延长MA到A′使AA′＝MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所作的图形；
（2）由（1）作图可得，A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
【点评】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
58．（2024秋 碑林区校级月考）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．格点△ABC（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是B（﹣4，2），C（﹣1，1）．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
（2）以O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与其位似图形的相似比为1：2，并计算△A1B1C1的周长．
【分析】（1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点A1、B1、C1的坐标，描出A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出△ABC周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案．
解：（1）坐标系如图1，则点A的坐标为（﹣3，3）；
（2）解：如图2，△A1B1C1即为所求；
∵A（﹣3，3），B（﹣4，2），C（﹣1，1），
∴，，
，
∴△ABC的周长为，
∵△ABC与的△A1B1C1相似比为1：2，
∴△ABC与的△A1B1C1周长比为1：2，
∴△A1B1C1的周长为．
【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
59．（2024 天长市三模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得．
【分析】（1）在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知△ODE即为所求作；
（2）在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求．
解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，
则，
∵∠DOE＝∠AOB，
∴△ODE∽△OAB，
故△ODE即为所求；
（2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，
则△AGF∽△OBF，
∵OB＝2，
∴，
故点F即为所求作．
【点评】本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
60．（2023秋 陵城区期末）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据作图直接写出坐标即可．
解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求；
（3）依据图2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关键．
