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《4.4相似三角形的判定》同步提升训练题（一）
一．选择题（共20小题）
1．（2023秋 河东区期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
2．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋 碑林区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
4．（2024 随州一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
5．（2024 锦江区校级模拟）如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
6．（2024秋 海曙区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
7．（2024 赤峰一模）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为（ ）时，△ADP和△ABC相似．
A．9 B．6 C．4或9 D．6或9
8．（2023秋 宽甸县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
9．（2023秋 利辛县期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024 雁塔区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
11．（2024 云南模拟）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB
C．AB CD＝BD BC D．BC2＝AC CD
12．（2023秋 达州期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC
C．AC2＝BC CD D．
13．（2024 怀远县模拟）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
14．（2024春 海阳市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 临潼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2024春 青浦区期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB
17．（2024 蒸湘区一模）如图，点D在△ABC的边AC上，若要添加一个条件使得△ADB∽△ABC，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B． C．∠ADB＝∠ABC D．
18．（2024春 扬州月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD
19．（2024 泰山区校级二模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2024 明水县一模）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题）
21．（2024秋 东昌府区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝ cm．
22．（2023秋 南昌期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
23．（2024 平谷区）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 ，可使△ABC∽△ACD．
24．（2023秋 富锦市校级期末）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件： ．
25．（2024春 苏州期末）如图，在△ABC中，P是AB上一点．下列四个条件中：“①∠ACP＝∠B；②∠ACP＝∠A；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB”，一定能满足△APC与△ACB相似的条件是 ．（只填序号）
26．（2024 绥化模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 秒后，△PCQ与△ABC相似．
27．（2024 新乡模拟）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当BP＝ cm时，△BPQ与△AQC相似．
三．解答题（共33小题）
28．（2024秋 阳谷县校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．
（1）若a，t＝2，求证：△ABC∽△PBQ；
（2）若a＝2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？说明理由．
29．（2024秋 广陵区月考）如图，△ABC≌△EBD，连接AE、CD，且点A、E、D在同一条直线上，求证：△ABE∽△CBD．
30．（2023秋 佛山期末）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．
31．（2023秋 义乌市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G．
（1）若DE＝1，AD＝2，求的值；
（2）求证：△BCF∽△EAB．
32．（2023秋 赤坎区校级期末）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．
33．（2024 永昌县三模）如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证：△ABF∽△EAD．
34．（2024 武汉模拟）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN．求证：△ABM∽△CBN．
35．（2024春 吉安县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB．交BC于点E．求证：△CDE∽△CBD．
36．（2024 德化县模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B+∠DEC＝180°．求证：△ADE∽△ACB．
37．（2024春 相城区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝3，BC＝4，CD平分∠ACB，交AB于点F，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△ACF∽△DCB；
（2）求证：AC+BC；
（3）求CF的长．
38．（2024春 惠山区期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）求证：△ACD∽△BAE．
39．（2024春 广饶县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
40．（2024春 长春期末）如图，在 ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB．
41．（2024 东莞市校级三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连结AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连结DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连结CG，交AD于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△AGH∽△AFD．
42．（2024 越秀区校级模拟）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
43．（2024 瑞昌市模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
44．（2024 武威一模）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
45．（2023秋 上虞区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
46．（2023秋 九江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
47．（2023秋 邗江区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC．
48．（2023秋 鼓楼区期末）如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是 ．
①△ABD∽△ACE；
②△EBF∽△DCF；
③△BEC∽△CDB；
④△DEF∽△CBF．
49．（2023秋 电白区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
50．（2023秋 渠县期末）如图所示，矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝40cm，点E在线段DA上运动，方向由D向A每秒走4cm，点F在线段CD上运动，方向由C向D每秒走2cm，当两点之一到达终点则停止运动；请问它们同时出发多少秒时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？
51．（2023秋 礼泉县期末）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中：①∠E＝∠A；②，选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
52．（2023秋 长安区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
求证：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
53．（2023秋 腾冲市期末）如图，在平行四边形ABCD中，点N在BC上，连接DN，点M在DN上，连接AM，且∠AMN＝∠B．求证：△ADM∽△DNC．
54．（2022秋 城关区校级期末）如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°．求证：△ADF∽△DEC．
55．（2021秋 礼泉县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠EFB＝∠DAB．求证：△ADE∽△BFA．
56．如图，点E在 ABCD的边BC上，点F在线段DE上，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
57．（2023秋 合肥月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF＝∠CAD．求证：△ADF∽△ACE．
58．如图，P是△ABC的边BC上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．求证△DBP∽△EPC．
59．（2023秋 临川区校级期中）如图，，且∠ABE＝∠C，试说明△ADE∽△ABC．
60．根据下列条件判定△ABC和△DEF是否相似，如果是，那么用符号表示出来．
（1）AB＝2cm，BC＝3cm，CA＝4cm，DE＝10cm，EF＝15cm，FD＝20cm；
（2）AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm．中小学教育资源及组卷应用平台
《4.4相似三角形的判定》同步提升训练题（一）
一．选择题（共20小题）
1．（2023秋 河东区期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【思路点拔】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A
所以△APC∽△ACB；
当AB CP＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
3．（2023秋 碑林区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【思路点拔】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．（2024 随州一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
5．（2024 锦江区校级模拟）如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【思路点拔】根据∠DAB＝∠CAE，可以得到∠DAE＝∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
6．（2024秋 海曙区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【思路点拔】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
7．（2024 赤峰一模）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为（ ）时，△ADP和△ABC相似．
A．9 B．6 C．4或9 D．6或9
【思路点拔】当AP：AB＝AD：AC时，△APD∽△ABC，当AP：AC＝AD：AB时，△APD∽△ACB，两种情况，分别求出AP的长，即可得到答案．
解：∠PAD＝∠BAC，
当AP：AB＝AD：AC时，△APD∽△ABC，
∴AP：12＝6：8，
∴AP＝9；
当AP：AC＝AD：AB时，△APD∽△ACB，
∴AP：8＝6：12，
∴AP＝4，
∴AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．
8．（2023秋 宽甸县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
【思路点拔】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝t cm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时，△BPQ∽△BAC，即 ；当 时，△BPQ∽△BCA，即 ，然后解方程即可求出答案．
解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝t cm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝2t cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即 ，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即 ，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，准确分析题意列出方程求解是解题的关键．
9．（2023秋 利辛县期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A、∵，对应边 ，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵，对应边 ，即：，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵，对应边 ，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵，
，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
10．（2024 雁塔区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
11．（2024 云南模拟）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB
C．AB CD＝BD BC D．BC2＝AC CD
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
12．（2023秋 达州期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC
C．AC2＝BC CD D．
【思路点拔】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
13．（2024 怀远县模拟）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
【思路点拔】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
14．（2024春 海阳市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意；
D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
15．（2024 临潼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由三角形中位线定理可得EF∥AB，可得△CEF∽△CAB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证△CAB∽△CDH，可得结论．
解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∵HD⊥AC，
∴∠DHC＝∠ABC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAB∽△CDH，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
16．（2024春 青浦区期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB
【思路点拔】根据旋转的性质得到AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
解：如图，
根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，
∴AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠CBE，，
∴△BAD∽△BCE，
故A不符合题意；
∵∠ABD＝∠CBE，AB＝AD，BC＝BE，
∴∠A＝∠BDA＝∠BCE＝∠BEC，
∴∠BDF＝∠ECF，
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF，
故B不符合题意；
∵由旋转的性质得：△BAC≌△BDE，
故C不符合题意；
根据题意，无法求解△DBF与△DEB相似，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．
17．（2024 蒸湘区一模）如图，点D在△ABC的边AC上，若要添加一个条件使得△ADB∽△ABC，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B． C．∠ADB＝∠ABC D．
【思路点拔】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
解：A．若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B．若，其夹角不相等则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
C．若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
D．若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
18．（2024春 扬州月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD
【思路点拔】有两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可判断．
解：∵∠1＝∠2，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
故A不符合题意；
∵∠1＝∠3，∠DAE＝∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
故B不符合题意；
在△ADE和△EDC中，只有条件∠1＝∠3，不能判定△ADE∽△EDC，
故C符合题意；
∵∠2＝∠3，∠BAC＝∠DAC，
∴△ABC∽△ACD，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．（2024 泰山区校级二模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由题意知，CD垂直平分CB，则可判断①；过A作AG⊥BD于G，交BE于H，利用等腰三角形的性质、外角与内角关系可判断②；设HG＝a，利用△BGH∽△BDE，△CDE∽△CGA，则可得AH＝DE，从而证明△DEF≌△AHF，则可判断③；由∠DEF＝∠DEC＝∠EDF+∠EAD＞∠EAD，即可判断④．
解：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CD垂直平分CB，
∴BE＝CE，
故①正确；
如图，过A作AG⊥BD于G，交BE于H，
∵AD＝AB，
∴DG＝BG，∠DAG＝∠BAG；
∵AG⊥BD，ED⊥BC，
∴DE∥AG，
∴∠EDA＝∠DAG＝∠BAG，∠BED＝∠BHG；
∵BE＝CE，ED⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，CD＝BD；
∴∠CED＝∠BHG；
∵∠CAD＝∠CED﹣∠EDA，∠ABE＝∠BHG﹣∠BAG，
∴∠CAD＝∠ABE，
故②正确；
设HG＝a，
∵DE∥AG，
∴△BGH∽△BDE，△CDE∽△CGA，
∴，，
∴，
∴AH＝AG﹣HG＝3a﹣a＝2a，
即AH＝DE；
∵∠EDA＝∠DAG，∠DFE＝∠AFH，
∴△DEF≌△AHF（AAS），
∴DF＝AF，
故③正确；
由∠DEF＝∠CED＝∠EDF+∠EAD＞∠EAD，
即△DEF∽△DAE不成立，
故④错误．
故正确的有①②③三个；
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，通过作等腰三角形底边的垂线，利用三线合一的性质是解题的关键．
20．（2024 明水县一模）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】过点F作FK⊥AD于点K，证明△FKE≌△ADM（AAS）即可判断①；采用特殊值法判断②，若点M是CD的中点，则1，又△BFG∽△DEG，得到，从而，故②错误；过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，证得△MPH≌△AEH（AAS），得到PH＝EH，MP＝AE，根据正方形的性质与△FKE≌△ADM（AAS）得到MQ＝MD＝KE，进而有PQ＝AK，从而可证得△BFG≌△QPG（ASA），有FG＝PG，因此FG+EH＝PG+PH＝HG，故③正确；利用反证法证明④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH＝∠GNH，根据同角的余角相等推出∠BAN＝∠BNA，即BN＝BA，而AB是定值，BN随着点M的变化而变化，故BN＝BA不成立，从而△BFG∽△DEG不成立，故④错误．
解：如图，过点F作FK⊥AD于点K，
∴∠FKA＝∠FKE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABFK是矩形，
∴FK＝BA，
∵在正方形ABCD中，AB＝AD，
∴FK＝AD，
∵AM⊥EF，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠AMD+∠MAD＝180° ∠ADM＝90°，
∴∠FEK＝∠AMD，
∵∠FKE＝∠ADM＝90°，
∴△FKE≌△ADM（AAS），
∴FE＝AM；故①正确；
如图，若点M是CD的中点，则1，
设正方形ABCD的边长为2a，即AD＝CD＝2a，
∴DMCD＝a，
在Rt△ADM中，AMa，
∵点H是AM的中点，
∴AHAMa，
∵△ADM≌△FKE，
∴KE＝DM＝a，
∵∠AHE＝∠ADM＝90°，∠EAH＝∠MAD，
∴△AHE∽△ADM，
∴，即，
∴DE＝AD AE＝2a aa，
AK＝AE DMa aa，
∴在矩形ABFK中，BF＝AKa，
∵在正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△BFG∽△DEG，
∴，
∴，故②错误；
过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，
∴∠MPH＝∠AEH，∠PMH＝∠EAH，
∵点H是AM的中点，
∴MH＝AH，
∴△MPH≌△AEH（AAS），
∴PH＝EH，MP＝AE，
∵在正方形ABCD中，BD平分∠ADC，
∴∠BDC∠ADC90°＝45°，
∵PM∥AD，
∴∠QMD＝180° ∠ADC＝180° 90°＝90°，
∴∠MQD＝90° ∠MDQ＝90° 45°＝45°，
∴∠MQD＝∠MDQ，
∴MQ＝MD，
由①知，△FKE≌△ADM（AAS），
∴KE＝DM，
∴MQ＝KE，
∴PM QM＝AE KE，即PQ＝AK，
由①得，四边形ABFK是矩形，
∴BF＝AK，
∴BF＝PQ，
∵BC∥AD，MP∥AD，
∴BC∥PM，
∴∠GBF＝∠GQP，∠BFG＝∠QPG，
∴△BFG≌△QPG（ASA），
∴FG＝PG，
∴FG+EH＝PG+PH＝HG，故③正确；
对于④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH＝∠GNH，
∵∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠BAH+∠EAH＝∠BAD＝90°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BN＝BA，
∵AB是定值，BN随着点M的变化而变化，
∴BN＝BA不成立，
∴△BFG∽△DEG不成立．故④错误．
综上所述，结论正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键．
二．填空题（共7小题）
21．（2024秋 东昌府区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝ 或20 cm．
【思路点拔】分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠B和∠C对应相等，那么就要分成BP和CQ为对应边以及BP和AC为对应边两种情况．
解：设运动时间为x s，
当△BPQ∽△CQA时，有，
即，
解得：x，
∴BP＝4x（cm），
当△BPQ∽△CAQ时，有，
即，
解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），
∴BP＝4x＝20（cm），
综上所述，当BPcm或20cm时，△BPQ与△AQC相似，
故答案为：或20．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22．（2023秋 南昌期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 8.4或2或12 ．
【思路点拔】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
当时，△ABP∽△CDP，
即，
解得：x，
∴BP＝148.4，
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
23．（2024 平谷区）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 ∠ADC＝∠ACB ，可使△ABC∽△ACD．
【思路点拔】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．
解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD，
故答案为：∠ADC＝∠ACB．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣．
24．（2023秋 富锦市校级期末）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件： ∠D＝∠C或∠E＝∠B或 ．
【思路点拔】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BA．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠C或∠E＝∠B或时，△ADE∽△ACB．
故答案为：∠D＝∠C或∠E＝∠B或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．
25．（2024春 苏州期末）如图，在△ABC中，P是AB上一点．下列四个条件中：“①∠ACP＝∠B；②∠ACP＝∠A；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB”，一定能满足△APC与△ACB相似的条件是 ①或③ ．（只填序号）
【思路点拔】根据三角形相似的判定分析即可．
解：①和③正确，因为它们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．
故相似的条件是①或③．
故答案为：①或③．
【点评】本题考查对相似三角形的判定方法的掌握情况，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（2024 绥化模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 或 秒后，△PCQ与△ABC相似．
【思路点拔】分两种情况分别计算，①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，得，②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，得，代入用x表示的线段计算即可．
解：①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∴，∴，解得；
②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∴，∴，解得，
∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
27．（2024 新乡模拟）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当BP＝ 或20 cm时，△BPQ与△AQC相似．
【思路点拔】分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠B和∠C对应相等，那么就要分成BP和CQ为对应边以及BP和AC为对应边两种情况．
解：设运动时间为x s，
当△BPQ∽△CQA时，有，
即，解得：x，
∴BP＝4x（cm），
当△BPQ∽△CAQ时，有，
即，解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），
∴BP＝4x＝20（cm），
综上所述，当BPcm或20cm时，△BPQ与△AQC相似，
故答案为：或20．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三．解答题（共33小题）
28．（2024秋 阳谷县校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．
（1）若a，t＝2，求证：△ABC∽△PBQ；
（2）若a＝2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意将PB于BQ的长分别计算出来，然后根据以及∠B＝∠B证明即可；
（2）根据题意，一共有两种相似情况：△BPQ∽△BDA或△BQP∽△BDA，然后利用代数式表达出各自情况下BP、BQ的值，利用三角形相似的性质建立方程计算即可．
解：（1）当t＝2时，BP；BQ＝6﹣2＝4，
∴3，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBQ；
（2）当a＝2时，BP＝2t，DQ＝t，
∵D是BC中点，BC＝12，
∴BD＝DC＝6，
∴BQ＝6﹣t，
当△BPQ∽△BDA时，
则有：，
∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10，
∴，
解得；
当△BQP∽△BDA时，
则有，
∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10，
∴，
解得，
∴当a＝2时，s或s时，△BQP与△BDA相似
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
29．（2024秋 广陵区月考）如图，△ABC≌△EBD，连接AE、CD，且点A、E、D在同一条直线上，求证：△ABE∽△CBD．
【思路点拔】根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出AB＝EB，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，推出，∠ABE＝∠CBD，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明△ABE∽△CBD．
证明：∵△ABC≌△EBD，
∴AB＝EB，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，
∴，∠ABC+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键．
30．（2023秋 佛山期末）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．
【思路点拔】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．
31．（2023秋 义乌市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G．
（1）若DE＝1，AD＝2，求的值；
（2）求证：△BCF∽△EAB．
【思路点拔】（1）根据平行四边形的性质得出BC∥AE，BC＝AD，进而得出△CBF∽△DEF，根据对应边成比例即可解答；
（2）由平行四边形的性质得出BC∥AE，∠BAE＝∠FCB，进而得出∠E＝∠CBF，即可得证．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，BC＝AD＝2，
∴△CBF∽△DEF，
∴2；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，∠BAE＝∠FCB，
∴∠E＝∠CBF，
∴△BCF∽△EAB．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
32．（2023秋 赤坎区校级期末）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．
【思路点拔】求出，根据∠BAE＝∠CAD求出∠BAC＝∠EAD，再根据相似三角形的判定定理证明即可．
证明：∵，AB＝18，AE＝15，
∴，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有三边对应成比例的两三角形相似，③有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
33．（2024 永昌县三模）如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证：△ABF∽△EAD．
【思路点拔】先利用等角的余角相等得到∠DAE＝∠BAF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵BF⊥AE于点F，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ABF∽△EAD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．
34．（2024 武汉模拟）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN．求证：△ABM∽△CBN．
【思路点拔】由旋转性质可得：AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得，∠ABM＝∠CBN，由此根据相似三角形的判定定理即可证明△ABM∽△CBN．
证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴由旋转性质，得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，
∴，
∵∠ABC＝∠MBN，
∴∠ABC+∠ABN＝∠MBN+∠ABN，
即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．
35．（2024春 吉安县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，且CD＝CA，过点D作DE⊥AB．交BC于点E．求证：△CDE∽△CBD．
【思路点拔】根据直角三角形的性质及垂直定义求出∠A+∠B＝90°，∠ADC+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADC，进而求出∠CDE＝∠B，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∵CD＝CA，
∴∠A＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠B，
又∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
36．（2024 德化县模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B+∠DEC＝180°．求证：△ADE∽△ACB．
【思路点拔】根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
证明：∵∠DEC+∠AED＝180°，∠B+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
37．（2024春 相城区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝3，BC＝4，CD平分∠ACB，交AB于点F，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△ACF∽△DCB；
（2）求证：AC+BC；
（3）求CF的长．
【思路点拔】（1）由CD平分∠ACB，得∠ACF＝∠DCB，则圆周角定理得∠CAF＝∠CDB，所以△ACF∽△DCB；
（2）连接AD，作AH⊥CD于点H，则∠AHC＝∠AHD＝90°，由BE⊥CD于点E，得∠BEC＝∠DEB＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝∠ABD＝90°，则∠ACH＝∠BCE＝45°，可证明AH＝CH，BE＝CE，则ACAH，BCCE，再证明△AHD∽△DEB，由，得AD＝DB，则1，所以AH＝DE，则ACDE，所以AC+BCDECECD；
（3）由AC＝3，BC＝4，且AC+BCCD，求得CD，由ABDB，且AB5，求得DB，由相似三角形的性质得，所以AF．
（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵∠CAF＝∠CDB，
∴△ACF∽△DCB．
（2）证明：连接AD，作AH⊥CD于点H，则∠AHC＝∠AHD＝90°，
∵BE⊥CD于点E，
∴∠BEC＝∠DEB＝90°，
∴∠AHD＝∠DEB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ABD＝90°，
∴∠ACH＝∠BCE∠ACB＝45°，∠ADH＝∠DBE＝90°﹣∠BDE，
∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∠CBE＝∠BCE＝45°，
∴AH＝CH，BE＝CE，
∴ACAH，BCCE，
∵∠AHD＝∠DEB，∠ADH＝∠DBE，
∴△AHD∽△DEB，
∵，
∴AD＝DB，
∵1，
∴AH＝DE，
∴ACDE，
∴AC+BCDECECD．
（3）解：∵AC＝3，BC＝4，且AC+BCCD，
∴3+4CD，
∴CD，
∵ABDB，且AB5，
∴DB＝5，
∴DB，
∵△ACF∽△DCB，
∴，
∴AF，
∴AF的长是．
【点评】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
38．（2024春 惠山区期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）求证：△ACD∽△BAE．
【思路点拔】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可得出结论；
（2）根据菱形的对角相等结合∠E＝∠ABC得出∠E＝∠D，即可得出结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA＝∠BAC，
∴BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）知∠DCA＝∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴△ACD∽△BAE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，熟记相似三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定是解题的关键．
39．（2024春 广饶县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【思路点拔】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x） 2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，，即，
解得：t．
当△PCQ∽△BCA时，，即，
解得：t．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键．
40．（2024春 长春期末）如图，在 ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【思路点拔】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可．
证明：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠DFE＝∠C，∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠B＝∠AFD，
∴△ADF∽△EAB．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定解答．
41．（2024 东莞市校级三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连结AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连结DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连结CG，交AD于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△AGH∽△AFD．
【思路点拔】（1）由平行线的性质推出∠2＝∠ABC，由等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC，由旋转的性质得到∠1＝∠ACB，于是得到∠1＝∠2；
（2））由∠1＝∠2，推出EG＝EB，由旋转的性质得到：CD＝BE，因此EG＝CD，判定四边形DCGE是平行四边形，推出GH∥FD，即可证明△AGH∽△AFD．
证明：（1）∵EG∥BC，
∴∠2＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
由旋转的性质得到：∠1＝∠ACB，
∴∠1＝∠2；
（2）∵∠1＝∠2，
∴EG＝EB，
由旋转的性质得到：CD＝BE，
∴EG＝CD，
∵GE∥CD，
∴四边形DCGE是平行四边形，
∴GH∥FD，
∴△AGH∽△AFD．
【点评】本题考查相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由旋转的性质得到∠1＝∠ACB，CD＝BE，判定四边形DCGE是平行四边形．
42．（2024 越秀区校级模拟）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
【思路点拔】根据∠EAC＝∠DAB求出∠DAE＝∠BAC，再利用“两角法”来证△ABC∽△ADE即可．
证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定是解此题的关键，两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
43．（2024 瑞昌市模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
【思路点拔】由∠BAC＝90°，AB＝AC得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形外角性质得∠AED+∠CED＝∠B+∠BAE，加上∠AED＝45°，则∠BAE＝∠CED，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠CED＝∠B+∠BAE，
∵∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD．
【点评】本题考查了三角形相似的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
44．（2024 武威一模）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
【思路点拔】（1）利用已知可得DE∥BC，然后利用平行线分线段成比例证明即可；
（2）利用两边成比例且夹角相等来证明△AEF∽△ACD即可．
证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2＝AF AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACD．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
45．（2023秋 上虞区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
【思路点拔】由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBD，结合BD2＝BC BE（即），即可证出△BCD∽△BDE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
46．（2023秋 九江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
【思路点拔】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
2x（8﹣x）8×10．解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①，即，解得t；
②，即．解得t．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
【点评】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键．
47．（2023秋 邗江区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC．
【思路点拔】（1）根据∠BCE+∠BDE＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，可得∠BCE＝∠ADE，进一步可证△ADE∽△ACB；
（2）根据△ADE∽△ACB，可知AD：AE＝AC：AB，根据∠EAB＝∠DAC即可得证．
证明：（1）∵∠BCE+∠BDE＝180°，
又∵∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠BCE＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB；
（2）∵△ADE∽△ACB，
∴AD：AE＝AC：AB，
又∵∠EAB＝∠DAC，
∴△AEB∽△ADC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
48．（2023秋 鼓楼区期末）如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是 ①②④ ．
①△ABD∽△ACE；
②△EBF∽△DCF；
③△BEC∽△CDB；
④△DEF∽△CBF．
【思路点拔】（1）根据垂直的定义得到∠AEC＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
∴，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∠BFE＝∠CFD，
∴△EBF∽△DCF；
在△BEC与△CDB中只有∠BEC＝∠CDB＝90°，故不能判定△BEC∽△CDB；
∵△EBF∽△DCF，
∴，
∴，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF∽△CBF．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
49．（2023秋 电白区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
【思路点拔】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定解答即可．
（1）解：∵AE＝4，AC＝16．
∴CE＝AC﹣AE＝16﹣4＝12；
∵AB∥CD，
∴△CDB∽△ABE，
∴3，
∴；
（2）证明：∵，
，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
50．（2023秋 渠县期末）如图所示，矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝40cm，点E在线段DA上运动，方向由D向A每秒走4cm，点F在线段CD上运动，方向由C向D每秒走2cm，当两点之一到达终点则停止运动；请问它们同时出发多少秒时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？
【思路点拔】设点E、F运动时间为t秒，由题意得：DE＝4t cm，CF＝2t cm，则DF＝（20﹣2t）cm，分两种情况：当△DEF∽△ABC时，当△DFE∽△ABC时，分别根据相似三角形的性质列方程求解即可．
解：设点E、F运动时间为t秒，由题意得：DE＝4t cm，CF＝2t cm，
则DF＝（20﹣2t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，BC＝40cm，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
当△EDF∽△ABC时，，即，解得：t＝2；
当△FDE∽△ABC时，，即，解得：t＝5；
答：它们同时出发2秒或5秒时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题考查了矩形的性质，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，动点问题，解题关键是运用分类讨论思想解决问题．
51．（2023秋 礼泉县期末）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中：①∠E＝∠A；②，选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理解答即可．
证明：选择①∠E＝∠A时，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠ABC，
∵∠E＝∠A，
∴△EDB∽△ABC；
选择②时，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠ABC，
，
∴△EDB∽△ABC．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
52．（2023秋 长安区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
求证：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
【思路点拔】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，证明△ADE≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DAE＝∠DCE；
（2）由平行线的性质可得出∠DAE＝∠F，证得∠DCE＝∠F，则可得出结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
（2）∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠CEG＝∠FEC，
∴△EGC∽△ECF．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
53．（2023秋 腾冲市期末）如图，在平行四边形ABCD中，点N在BC上，连接DN，点M在DN上，连接AM，且∠AMN＝∠B．求证：△ADM∽△DNC．
【思路点拔】由平行四边形的性质可得∠B+∠C＝180°，∠ADM＝∠DNC，由补角的性质可得∠AMD＝∠C，可得结论．
证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADM＝∠DNC，
∵∠AMN+∠AMD＝180°，∠AMN＝∠B，
∴∠B+∠AMD＝180°，
∴∠AMD＝∠C，
∴△ADM∽△DNC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
54．（2022秋 城关区校级期末）如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°．求证：△ADF∽△DEC．
【思路点拔】由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出∠AFD＝∠C＝120°、AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠ADF＝∠DEC，进而即可证出△ADF∽△DEC．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADE＝∠CED，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°；
∵∠AFE＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质结合等角的补角相等，找出∠AFD＝∠C＝120°、∠ADF＝∠DEC．
55．（2021秋 礼泉县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠EFB＝∠DAB．求证：△ADE∽△BFA．
【思路点拔】由三角形外角性质和已知条件∠EFB＝∠DAB可以推知∠DAE＝∠FBA；由平行四边形的性质和平行线的性质推知∠DEA＝∠FAB，所以根据“两角法”证得结论．
证明：∵∠EFB＝∠DAB，∠DAB＝∠DAE+∠FAB，∠EFB＝∠FBA+∠FAB，
∴∠DAE＝∠FBA．
在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠FAB．
∴△ADE∽△BFA．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题过程中，利用“∠DAB＝∠DAE+∠FAB，∠EFB＝∠FBA+∠FAB”推知∠DAE＝∠FBA是解题的突破口．
56．如图，点E在 ABCD的边BC上，点F在线段DE上，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【思路点拔】由平行四边形的性质得到AB∥DC，AD∥BC，由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，由邻补角的性质得到∠AFE+∠AFD＝180°，由补角的性质得到∠AFD＝∠C，即可证明△ADF∽△DEC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
57．（2023秋 合肥月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF＝∠CAD．求证：△ADF∽△ACE．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠CAD，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出∠CAD＝∠ACB，则∠D＝∠ACB，根据角的和差求出∠DAF＝∠CAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠D＝∠ACB，
∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴△ADF∽△ACE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
58．如图，P是△ABC的边BC上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．求证△DBP∽△EPC．
【思路点拔】因为四边形ADPE为平行四边形，所以有PE和AB平行，PD和AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出两组对应角相等，从而证明相似．
证明：∵四边形ADPE为平行四边形，
∴PD∥AC，PE∥AB，
∴∠BPD＝∠C，∠BDP＝∠A＝∠PEC，
∴△DBP∽△EPC．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定定理、平行四边形的性质定理是解题的关键．
59．（2023秋 临川区校级期中）如图，，且∠ABE＝∠C，试说明△ADE∽△ABC．
【思路点拔】先证明△ABE∽△AED得到∠ABE＝∠AED，从而可证明∠AED＝∠C，即可得出结论．
解：∵，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△AED，
∴∠ABE＝∠AED，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∵△ADE∽△ABC．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
60．根据下列条件判定△ABC和△DEF是否相似，如果是，那么用符号表示出来．
（1）AB＝2cm，BC＝3cm，CA＝4cm，DE＝10cm，EF＝15cm，FD＝20cm；
（2）AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm．
【思路点拔】△ABC和△DEF的三边对应成比例，则两个三角形相似．
解：（1）∵，
∴△ABC∽△DEF；
（2）∵，
∴△ABC∽△EFD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法．
