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第十二章《全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 洛江区期末）下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
【思路点拔】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各选项进行判断即可．
解：A、能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B、全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C、所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D、形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的知识，要求同学们掌握全等图形的定义及性质．
2．（3分）（2021春 平顶山期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为（ ）
A．34° B．40° C．45° D．60°
【思路点拔】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．
解：∵∠CDB′＝94°，
∴∠ADB＝∠CDB′＝94°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝60°，
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝34°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（3分）（2021 潮阳区模拟）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
【思路点拔】根据AB∥CD，∠D＝116°，得出∠ABD＝64°，再根据BH是∠ABD的平分线，即可得出∠DHB的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
又∵∠D＝116°，
∴∠ABD＝64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB∠ABD＝32°；
故选：C．
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，了解如何平分已知角是解答本题的关键，难度不大．
4．（3分）（2023春 牡丹区期末）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【思路点拔】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答．
解：如图，连接AB、CD，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝CD．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（3分）（2021 河北一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．
证明：如图，作______．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C．
其中，横线应补充的条件是（ ）
A．BC边上高AD B．BC边上中线AD
C．∠A的平分线AD D．BC边的垂直平分线
【思路点拔】根据角平分线的定义填空．
解：在△ABD和△ACD中，
，
由∠BAD＝∠CAD知，AD是∠A的平分线，观察选项，选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是读取关键性的信息∠BAD＝∠CAD．
6．（3分）（2022 玉树市校级一模）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，AC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．∠A＝∠DCE B．AB∥DE C．BC＝DE D．AB＝CD
【思路点拔】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠DCE，AC＝CE，∠ACB＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∠B＝∠EDC，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．BC＝DE，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
D．AB＝DC，AC＝CE，∠ACB＝∠E，不符合全等三角形的判定定理ASA，不能推出△ABC≌△CDE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．（3分）（2021 沙河市开学）如图，已知∠AOB＝25°，∠CPD＝55°，分别以O，P为圆心，以同样长为半径作弧，交OA，OB于点E，F，交PC，PD于点M，N；以点N为圆心，以EF长为半径作弧，交弧MN于点G，作射线PG，则∠CPG的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
【思路点拔】利用作法可得到∠DPG＝∠AOB＝25°，然后计算∠CPD﹣∠DPG即可．
解：由作法得∠DPG＝∠AOB＝25°，
所以∠CPG＝∠CPD﹣∠DPG＝55°﹣25°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．（3分）（2020秋 袁州区校级期中）如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．27 C．20 D．18
【思路点拔】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE＝OD＝OF＝3，根据三角形的面积公式求出即可．
解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵AB+AC＝18，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO
（AB+AC）
18
＝27，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OD＝OE＝OF＝3是解此题的关键．
9．（3分）（2020秋 建邺区期末）如图，Rt△ABC≌Rt△BAD，BC、AD交于点E，M为斜边AB的中点，若∠CMD＝α，∠AEB＝β．则α和β之间的数量关系为（ ）
A．2β﹣α＝180° B．β﹣α＝60° C．α+β＝180° D．β＝2α
【思路点拔】根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠ABD，∠ABC＝∠BAD，
∵M为斜边AB的中点，
∴AM＝CM，BM＝DM，
∴∠AMC＝∠BMD＝180°﹣2∠CAM，
∴α＝180°﹣∠AMC﹣∠BMD＝180°﹣2（180°﹣2∠CAM），
∵∠ABC＝∠BAD＝90°﹣∠CAM，β＝180°﹣∠BAD﹣∠ABC，
∴β＝180°﹣（90°﹣∠CAM）﹣（90°﹣∠CAM）＝2∠CAM，
∴α＝180°﹣2（180°﹣β），
∴2β﹣α＝180°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）（2021秋 嘉祥县期中）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（ ）cm/s．
A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5
【思路点拔】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．
解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋 吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 （﹣2，0） ．
【思路点拔】根据全等三角形对应边相等可得OD＝OB，然后写出点D的坐标即可．
解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴点D的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，是基础题．
12．（3分）（2021春 金牛区校级期中）如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为 8 ．
【思路点拔】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB＝DQ＝2，再根据三角形的面积公式计算可得．
解：如图，作DQ⊥AC于Q．
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B＝90°，BD＝2，
∴DB＝DQ＝2，
∵AC＝8，
∴S△ACD AC DQ8×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．（3分）（2021 齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【思路点拔】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
14．（3分）（2020秋 虎林市校级期中）已知点A，B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标： （4，4）或（0，4）或（4，0） ．
【思路点拔】讨论：△BAP≌△ABO和△ABP≌△ABO两种情况，再分别利用全等三角形的性质求解即可得．
解：如图，∵点A，B的坐标分别为（2，0），（2，4），
∴OA＝2，AB＝4，
∴当∠BAP1＝90°，AP1＝2时，△BAP1≌△BAO（SAS），
此时P1点的坐标为（4，0），
当∠ABP2＝90°或∠ABP3＝90°时，AP2＝AP2＝2时，△ABP2≌△BAO（SAS），△ABP3≌△BAO（SAS），
此时P2点的坐标为（4，4），P2点的坐标为（0，4），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（4，4）或（0，4）或（4，0），
故答案为：（4，4）或（0，4）或（4，0）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法和分类讨论是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15．（3分）（2013秋 金平区期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，点E是△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE的度数＝ 20° ．
【思路点拔】先连接EC，由SSS就可以得出△ACE≌△BCE，就可以得出∠ACE＝∠BCE，就可以求出∠BCE的值，再证明△BCE≌△BDE就可以得出∠D＝∠BCE而得出结论．
解：连接EC．
在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SSS），
∴∠ACE＝∠BCE．
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB，
∴2∠BCE＝∠ACB．
∵∠ACB＝40°，
∴2∠BCE＝40°，
∴∠BCE＝20°．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE．
∵CA＝CB，BD＝AC，
∴BC＝BD．
在△BCE和△BDE中
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BCE＝∠D，
∴∠D＝20°．
故答案为：20°
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．（3分）（2022秋 垣曲县期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：
①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中
正确的是 ①②④ ．
【思路点拔】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．
解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【思路点拔】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
18．（6分）（2023秋 合肥期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
【思路点拔】先作∠MBN＝∠α，再在BN上取BC＝a，在BM上取BA＝c，连接AC即得所求△ABC．
解：如图：
△ABC即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．（6分）（2023春 盐湖区期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点B所在河岸同侧平地上取点C和点D．使点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC，测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使∠E＝15°，这时测得DE的长就是A、B两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．
【思路点拔】证明△DCA≌△BCE（AAS），推出AC＝EC，即可得到结论．
解：同意，
理由：∵∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC＝15°，
∵∠E＝15°，
∴∠A＝∠E，
在△DCA和△BCE中，
，
∴△DCA≌△BCE（AAS），
∴AC＝EC，
∵BC＝CD，
∴AC﹣BC＝CE﹣CD，即AB＝DE，
∴测得DE的长就是A、B两点间的距离．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（8分）（2023秋 增城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【思路点拔】（1）由“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得AC＝BC；
（2）由全等三角形的性质和中线的性质可求解．
证明：（1）∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC＝∠ACE＝∠AFC＝90°，
∵∠DCB+∠ACF＝90°，∠ACF+∠EAC＝90°，
∴∠DCB＝∠EAC，且DC＝AE，∠DBC＝∠ACE＝90°
∴△DBC≌△ECA（AAS）
∴AC＝BC
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BEBCAC＝6cm，
∵△DBC≌△ECA
∴DB＝CE＝6cm
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
21．（8分）（2022秋 渝水区校级月考）等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使AP＝AD，连接CD．
（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：△BAP≌△CAD；
（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
【思路点拔】（1）根据等腰直角三角形的性质，用SAS即可进行证明；
（2）证明△CAD≌△BAP，根据全等三角形的性质即可得出结论．
解：（1）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，∠PAD＝∠CAB＝90°，
∴∠PAC+∠CAD＝∠PAC+∠PAB，
∴∠CAD＝∠BAP，
在△CAD与△BAP中，
，
∴△CAD{≌△BAP（SAS）．
（2）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，∠PAD＝∠CAB＝90°，
∴∠PAC+∠PAD＝∠PAC+∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAP，
在△CAD与△BAP中，
∴△CAD≌△BAP（SAS），
∴BP＝CD，∠PBA＝∠DCA，
∵∠PBA+∠BCA＝90°，
∴∠DCA+∠BCA＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BP⊥CD，
综上：BP＝CD；BP⊥CD．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
22．（8分）（2022秋 辛集市期末）如图，AE，BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1s时，AP＝ 3 cm，当t＝2s时，AP＝ 2 cm；
（2）求证：AB∥DE；
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为 1或2 cm．
【思路点拔】（1）根据路程，速度，时间之间的关系求解即可；
（2）证明△ABC≌△EDC（SAS），推出∠A＝∠E，可得结论；
（3）证明△ACP≌△ECQ（ASA），推出AP＝EQ，分两种情形，分别构建方程求解．
（1）解：当t＝1时，AP＝3cm，t＝2时，AP＝4﹣（6﹣4）＝2cm，
故答案为：3，2；
（2）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；
（3）解：根据题意得DQ＝t cm，
则EQ＝（4﹣t）cm，
由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤4时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当4＜t≤8时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP≌△ECQ．
23．（10分）（2022秋 中原区校级月考）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 （﹣3，1） ．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为（0，﹣1），点A的坐标为（2，0），求点B的坐标．
【思路点拔】（1）作BD⊥x轴于D，利用“一线三直角”基本模型知，△BDC≌△COA（AAS），则BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，可得答案；
（2）作BH⊥y轴于H，利用“一线三直角”基本模型知，△AOC≌△CHB（AAS），得BH＝OC＝1，CH＝OA＝2，可得答案．
解：（1）作BD⊥x轴于D，
由条件知，△BDC≌△COA（AAS），
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴B（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
（2）作BH⊥y轴于H，
同理可得△AOC≌△CHB（AAS），
∴BH＝OC＝1，CH＝OA＝2，
∴OH＝1，
∴B（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握“一线三直角”基本模型是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十二章《全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 洛江区期末）下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
2．（3分）（2021春 平顶山期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为（ ）
A．34° B．40° C．45° D．60°
3．（3分）（2021 潮阳区模拟）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
4．（3分）（2023春 牡丹区期末）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（3分）（2021 河北一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．
证明：如图，作______．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C．
其中，横线应补充的条件是（ ）
A．BC边上高AD B．BC边上中线AD
C．∠A的平分线AD D．BC边的垂直平分线
6．（3分）（2022 玉树市校级一模）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，AC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．∠A＝∠DCE B．AB∥DE C．BC＝DE D．AB＝CD
7．（3分）（2021 沙河市开学）如图，已知∠AOB＝25°，∠CPD＝55°，分别以O，P为圆心，以同样长为半径作弧，交OA，OB于点E，F，交PC，PD于点M，N；以点N为圆心，以EF长为半径作弧，交弧MN于点G，作射线PG，则∠CPG的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
8．（3分）（2020秋 袁州区校级期中）如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．27 C．20 D．18
9．（3分）（2020秋 建邺区期末）如图，Rt△ABC≌Rt△BAD，BC、AD交于点E，M为斜边AB的中点，若∠CMD＝α，∠AEB＝β．则α和β之间的数量关系为（ ）
A．2β﹣α＝180° B．β﹣α＝60° C．α+β＝180° D．β＝2α
10．（3分）（2021秋 嘉祥县期中）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（ ）cm/s．
A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋 吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 ．
12．（3分）（2021春 金牛区校级期中）如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为 ．
13．（3分）（2021 齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
14．（3分）（2020秋 虎林市校级期中）已知点A，B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标： ．
15．（3分）（2013秋 金平区期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，点E是△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE的度数＝ ．
16．（3分）（2022秋 垣曲县期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：
①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中
正确的是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
18．（6分）（2023秋 合肥期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
19．（6分）（2023春 盐湖区期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点B所在河岸同侧平地上取点C和点D．使点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC，测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使∠E＝15°，这时测得DE的长就是A、B两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．
20．（8分）（2023秋 增城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
21．（8分）（2022秋 渝水区校级月考）等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使AP＝AD，连接CD．
（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：△BAP≌△CAD；
（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
22．（8分）（2022秋 辛集市期末）如图，AE，BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1s时，AP＝ cm，当t＝2s时，AP＝ cm；
（2）求证：AB∥DE；
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为 cm．
23．（10分）（2022秋 中原区校级月考）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 ．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为（0，﹣1），点A的坐标为（2，0），求点B的坐标．
