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2024年直线和圆方程提升
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·深圳·期中）关于曲线，下面结论正确的是（ ）
①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；⑤曲线与曲线有4个交点，这四点构成正方形．
A．①②④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
4．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（22-23高二下·深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二上·深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
7．（22-23高二上·深圳·期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高二上·深圳·期中）自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（21-22高二上·广州·期中）已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C．7 D．8
10．（23-24高二上·深圳·阶段练习）当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·深圳·阶段练习）点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23高二上·广州·期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
15．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知直线：，圆：，为坐标原点．
①若直线与圆相切，则的方程为
②点到直线的距离的最大值为
③若圆关于直线对称，则
④若直线与圆交于，两点，则当或时，的面积有最大值
以上说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
16．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
17．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知直线：，：，则与（ ）
A．通过平移两直线可能会重合 B．不可能会垂直
C．通过绕上某点旋转可以重合 D．可能与轴围成等腰直角三角形
18．（21-22高二上·深圳·阶段练习）“直线与互相垂直”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（23-24高二上·广州·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23高二上·深圳·期末）已知直线与圆，给出下面三个结论：
①直线与直线平行且两直线距离为1；
②若直线与圆相切，则；
③若直线与圆相切，圆与圆构成的圆环面积最小值为．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
21．（21-22高二上·深圳·期末）若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．（22-23高二上·深圳·期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
23．（22-23高二上·广州·期末）关于的方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．或
B．或或
C．或或
D．或
24．（19-20高二上·深圳·期末）直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
25．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
27．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知点P在圆上，点，，则（ ）
A．满足的点有且只有1个
B．点到直线的距离最大值为
C．点到直线的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条
D．圆O被过中点的直线截得的弦长为，则直线的方程为
28．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线.以下说法正确的是（ ）
A．直线一定经过点 B．的充要条件是或
C．点到直线的距离的最大值为5 D．与交点的轨迹必与有两个交点
29．（23-24高二上·深圳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面上存在定点使得的长度为定值 B．的最大值为
C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为
30．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线与圆，则（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
31．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知圆：与圆：交于两点，，则下列正确的是 （ ）
A．， B．
C． D．
32．（21-22高二上·深圳·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
33．（23-24高二上·深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则
C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为
D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
34．（23-24高二上·深圳·期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
C．直线在y轴上的截距为3
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
35．（22-23高二上·深圳·期中）以下四个命题正确的有
A．点和点关于直线对称
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．直线关于原点对称的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
36．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5 B．点在圆外
C．圆关于直线对称 D．圆被直线截得得弦长为2
37．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线是圆的一条切线
B．圆C与圆恰有一条公切线，则
C．圆C与圆的交线方程为：
D．点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
38．（22-23高二上·深圳·期中）直线与圆相切，且在轴 轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
39．（21-22高二上·深圳·期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．与圆关于直线对称的方程为
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
40．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆的圆心间的距离为5 B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为 D．两圆的公共弦长为
41．（21-22高二上·深圳·期中）过直线上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与轴分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OP为线段AB的中垂线 B．四边形PAOB面积的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为4
42．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若，则该圆圆心为，半径为4
C．若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为
D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
43．（2021·广东·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则（ ）
A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2
C．线段的中点轨迹方程为 D．直线的倾斜角为
44．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆，则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为10
B．关于直线对称
C．直线被所截得的弦长为
D．若点在上，则的最大值为25
45．（23-24高二上·深圳·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为 B．l过定点
C．面积的最大值为 D．
46．（23-24高二上·深圳·期末）下列命题说法正确的有（ ）
A．已知直线：与直线：，若，则或
B．点关于直线的对称点的坐标为
C．直线过定点
D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
47．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，直线与圆相交所得弦长为
C．圆与圆：相外切
D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为
48．（高二上·深圳·期末）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上任一点到原点的距离最小值
C．曲线与轴围成的图形的面积等于
D．所在的圆截直线所得弦的长为
49．（21-22高二下·深圳·期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
50．（23-24高二下·深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为
C．的最小值为8 D．的最小值为112
51．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为和，线段的中点为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则这样的点只有一个
B．四边形面积的最小值为1
C．直线恒过点
D．平面内存在一定点，使得线段的长度为定值
52．（21-22高二上·深圳·期末）设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
填空题
53．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知，则的最大值为 .
（22-23高二下·深圳·阶段练习）已知为圆上的动点，则的最大值为 .
55．（23-24高二上·深圳·期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ．
56．（23-24高二上·深圳·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可）
57．（23-24高二上·深圳·期中）直线的倾斜角为 .
58．（23-24高二上·深圳·期中）已知与，若两直线平行，则的值为
59．（23-24高二上·深圳·期中）写出一个既与轴相切又与直线相切，且半径为3的圆的标准方程： .
60．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ．
61．（22-23高二上·深圳·期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．
62．（21-22高二上·深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆与直线交于，两点，若，则 .
63．（21-22高二上·深圳·期中）已知实数x、y满足，则的取值范围 .
64．（21-22高二上·深圳·期中）已知关于的方程有且仅有一个解，则实数的取值范围为 ．
65．（23-24高二上·深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 .
66．（23-24高二上·深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
67．（22-23高二下·深圳·期末）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
68．（22-23高二上·深圳·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线的方程为 ．
69．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
70．（23-24高二上·深圳·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .
解答题
71．（23-24高二上·深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
72．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线：和圆C：.
(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.
73．（23-24高二上·深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1.
(1)过点A作圆的切线，求此切线的方程；
(2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值；
74．（23-24高二上·深圳·期中）已知点和直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.
75．（23-24高二上·深圳·期中）如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，易知.
(1)建立如图所示的坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求支柱的高度（精确到）.（）
76．（23-24高二上·深圳·期中）已知两圆和，求：
(1)当取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
77．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于，求．
78．（22-23高二下·深圳·期中）已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.
79．（22-23高二下·深圳·期中）已知两直线.当为何值时，和.
(1)平行；
(2)垂直.
80．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．
81．（22-23高二上·深圳·期中）已知直线．
(1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．
82．（22-23高二上·深圳·期中）已知的顶点，，．
(1)求AB边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
83．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上；
(1)求圆的标准方程
(2)若斜率为1的直线与圆交于不同两点，若，求直线的方程.
84．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆，直线.
(1)求证：无论为何值，直线总经过第一象限；
(2)直线被圆截得的弦何时最长 何时最短？
(3)求出截得的弦长最短时的值和最短弦长.
85．（21-22高二上·深圳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：
(1)顶点的坐标；
(2)边的垂直平分线方程.
86．（21-22高二上·深圳·期中）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设，线段的中点为，求点的轨迹方程；
(3)若斜率为的直线与点的轨迹相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且，求直线与轴的交点的坐标.
87．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程：
(2)设是圆上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标.
88．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点.
(1)当时，求弦长；
(2)当弦的长度最小时，求直线的方程.
89．（23-24高二上·深圳·期末）△三个顶点是，圆是△的外接圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
90．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点（不重合）.
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)当 时，求直线 的方程.
91．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.
(1)求圆的标准方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.
92．（22-23高二上·深圳·期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N．
(1)当时，求直线l的方程；
(2)证明：为定值．
93．（22-23高二上·深圳·期末）已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点，当最小时，求实数m的值．
94．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆的圆心在直线 上，且经过，两点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线与圆相交，被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
95．（22-23高二上·深圳·期末）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求经过，，三点的圆的方程.
96．（21-22高二上·深圳·期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
97．（23-24高二上·深圳·期中）已知圆经过点，，，点是圆上任意一点，点关于直线的对称点为.
(1)求圆的一般方程；
(2)设点，在直线上是否存在一点（异于点），使得（常数）.若存在，请求出的坐标及常数的值；若不存在，请说明理由.
98．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知动点与两定点，的距离的比为.
(1)求动点的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点作直线l，l与点的轨迹相交于、两点，已知，若，求直线l的方程.
99．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
100．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时，
(1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
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2024年直线和圆方程提升
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·深圳·期中）关于曲线，下面结论正确的是（ ）
①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；⑤曲线与曲线有4个交点，这四点构成正方形．
A．①②④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
4．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（22-23高二下·深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二上·深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
7．（22-23高二上·深圳·期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高二上·深圳·期中）自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（21-22高二上·广州·期中）已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C．7 D．8
10．（23-24高二上·深圳·阶段练习）当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·深圳·阶段练习）点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23高二上·广州·期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
15．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知直线：，圆：，为坐标原点．
①若直线与圆相切，则的方程为
②点到直线的距离的最大值为
③若圆关于直线对称，则
④若直线与圆交于，两点，则当或时，的面积有最大值
以上说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
16．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
17．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知直线：，：，则与（ ）
A．通过平移两直线可能会重合 B．不可能会垂直
C．通过绕上某点旋转可以重合 D．可能与轴围成等腰直角三角形
18．（21-22高二上·深圳·阶段练习）“直线与互相垂直”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（23-24高二上·广州·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23高二上·深圳·期末）已知直线与圆，给出下面三个结论：
①直线与直线平行且两直线距离为1；
②若直线与圆相切，则；
③若直线与圆相切，圆与圆构成的圆环面积最小值为．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
21．（21-22高二上·深圳·期末）若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．（22-23高二上·深圳·期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
23．（22-23高二上·广州·期末）关于的方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．或
B．或或
C．或或
D．或
24．（19-20高二上·深圳·期末）直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
25．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
27．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知点P在圆上，点，，则（ ）
A．满足的点有且只有1个
B．点到直线的距离最大值为
C．点到直线的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条
D．圆O被过中点的直线截得的弦长为，则直线的方程为
28．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线.以下说法正确的是（ ）
A．直线一定经过点 B．的充要条件是或
C．点到直线的距离的最大值为5 D．与交点的轨迹必与有两个交点
29．（23-24高二上·深圳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面上存在定点使得的长度为定值 B．的最大值为
C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为
30．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线与圆，则（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
31．（22-23高二上·深圳·阶段练习）已知圆：与圆：交于两点，，则下列正确的是 （ ）
A．， B．
C． D．
32．（21-22高二上·深圳·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
33．（23-24高二上·深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则
C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为
D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
34．（23-24高二上·深圳·期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
C．直线在y轴上的截距为3
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
35．（22-23高二上·深圳·期中）以下四个命题正确的有
A．点和点关于直线对称
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．直线关于原点对称的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
36．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．圆被直线截得得弦长为2
37．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线是圆的一条切线
B．圆C与圆恰有一条公切线，则
C．圆C与圆的交线方程为：
D．点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
38．（22-23高二上·深圳·期中）直线与圆相切，且在轴 轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
39．（21-22高二上·深圳·期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．与圆关于直线对称的方程为
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
40．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆的圆心间的距离为5 B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为 D．两圆的公共弦长为
41．（21-22高二上·深圳·期中）过直线上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与轴分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OP为线段AB的中垂线 B．四边形PAOB面积的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为4
42．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若，则该圆圆心为，半径为4
C．若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为
D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
43．（2021·广东·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则（ ）
A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2
C．线段的中点轨迹方程为 D．直线的倾斜角为
44．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆，则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为10
B．关于直线对称
C．直线被所截得的弦长为
D．若点在上，则的最大值为25
45．（23-24高二上·深圳·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为 B．l过定点
C．面积的最大值为 D．
46．（23-24高二上·深圳·期末）下列命题说法正确的有（ ）
A．已知直线：与直线：，若，则或
B．点关于直线的对称点的坐标为
C．直线过定点
D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
47．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，直线与圆相交所得弦长为
C．圆与圆：相外切
D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为
48．（22-23高二上·深圳·期末）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上任一点到原点的距离最小值
C．曲线与轴围成的图形的面积等于
D．所在的圆截直线所得弦的长为
49．（21-22高二下·深圳·期末）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
50．（23-24高二下·深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为
C．的最小值为8 D．的最小值为112
51．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为和，线段的中点为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则这样的点只有一个
B．四边形面积的最小值为1
C．直线恒过点
D．平面内存在一定点，使得线段的长度为定值
52．（21-22高二上·深圳·期末）设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
填空题
53．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知，则的最大值为 .
（22-23高二下·深圳·阶段练习）已知为圆上的动点，则的最大值为 .
55．（23-24高二上·深圳·期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ．
56．（23-24高二上·深圳·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可）
57．（23-24高二上·深圳·期中）直线的倾斜角为 .
58．（23-24高二上·深圳·期中）已知与，若两直线平行，则的值为
59．（23-24高二上·深圳·期中）写出一个既与轴相切又与直线相切，且半径为3的圆的标准方程： .
60．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ．
61．（22-23高二上·深圳·期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．
62．（21-22高二上·深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆与直线交于，两点，若，则 .
63．（21-22高二上·深圳·期中）已知实数x、y满足，则的取值范围 .
64．（21-22高二上·深圳·期中）已知关于的方程有且仅有一个解，则实数的取值范围为 ．
65．（23-24高二上·深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 .
66．（23-24高二上·深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
67．（22-23高二下·深圳·期末）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
68．（22-23高二上·深圳·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线的方程为 ．
69．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
70．（23-24高二上·深圳·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .
解答题
71．（23-24高二上·深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
72．（23-24高二上·深圳·期中）已知直线：和圆C：.
(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.
73．（23-24高二上·深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1.
(1)过点A作圆的切线，求此切线的方程；
(2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值；
74．（23-24高二上·深圳·期中）已知点和直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.
75．（23-24高二上·深圳·期中）如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，易知.
(1)建立如图所示的坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求支柱的高度（精确到）.（）
76．（23-24高二上·深圳·期中）已知两圆和，求：
(1)当取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
77．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于，求．
78．（22-23高二下·深圳·期中）已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.
79．（22-23高二下·深圳·期中）已知两直线.当为何值时，和.
(1)平行；
(2)垂直.
80．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．
81．（22-23高二上·深圳·期中）已知直线．
(1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．
82．（22-23高二上·深圳·期中）已知的顶点，，．
(1)求AB边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
83．（22-23高二上·深圳·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上；
(1)求圆的标准方程
(2)若斜率为1的直线与圆交于不同两点，若，求直线的方程.
84．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆，直线.
(1)求证：无论为何值，直线总经过第一象限；
(2)直线被圆截得的弦何时最长 何时最短？
(3)求出截得的弦长最短时的值和最短弦长.
85．（21-22高二上·深圳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：
(1)顶点的坐标；
(2)边的垂直平分线方程.
86．（21-22高二上·深圳·期中）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设，线段的中点为，求点的轨迹方程；
(3)若斜率为的直线与点的轨迹相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且，求直线与轴的交点的坐标.
87．（21-22高二上·深圳·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程：
(2)设是圆上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标.
88．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点.
(1)当时，求弦长；
(2)当弦的长度最小时，求直线的方程.
89．（23-24高二上·深圳·期末）△三个顶点是，圆是△的外接圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
90．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点（不重合）.
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)当 时，求直线 的方程.
91．（23-24高二上·深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.
(1)求圆的标准方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.
92．（22-23高二上·深圳·期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N．
(1)当时，求直线l的方程；
(2)证明：为定值．
93．（22-23高二上·深圳·期末）已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点，当最小时，求实数m的值．
94．（22-23高二上·深圳·期末）已知圆的圆心在直线 上，且经过，两点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线与圆相交，被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
95．（22-23高二上·深圳·期末）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求经过，，三点的圆的方程.
96．（21-22高二上·深圳·期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
97．（23-24高二上·深圳·期中）已知圆经过点，，，点是圆上任意一点，点关于直线的对称点为.
(1)求圆的一般方程；
(2)设点，在直线上是否存在一点（异于点），使得（常数）.若存在，请求出的坐标及常数的值；若不存在，请说明理由.
98．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知动点与两定点，的距离的比为.
(1)求动点的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点作直线l，l与点的轨迹相交于、两点，已知，若，求直线l的方程.
99．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
100．（23-24高二上·深圳·阶段练习）已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时，
(1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C A C A C A C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B A C C C C A A D
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 B D C B A B BC AC ABD AC
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 ACD ABD BD ACD ABD BD BCD ACD CD ABD
题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
答案 ABD AD AC BC ABD BC ACD ABD ACD ACD
题号 51 52
答案 ABD AD
1．D
【详解】根据题意，直线，
可变形可得，
联立，解得，则直线恒过定点，记为，
圆的圆心为，半径，则，
又为圆的弦，设的中点为，则有，
所以，
易知，记，则，，
所以的面积
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的面积的最大值为.
故选：D.
2．D
【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积.
【详解】
当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故选：D
3．D
【分析】根据方程研究曲线的性质.
【详解】①将方程中的换成，换成，方程不变,
即关于原点的对称点与同在曲线上，因此曲线关于原点对称；
②将方程中的换成，换成，方程不变，或者将方程中的换成，换成，方程不变，
即的对称点与同在曲线上，关于直线的对称点与也同在曲线上，
因此曲线关于直线对称；
③，故不封闭；
④由，得，，
方程组无解，故无公共点；
⑤当时，曲线为，由，解得，
即此时两曲线交点为，
由对称性，还有另外三个交点，，，它们构成正方形．
故选：D．
4．C
【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率.
【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为；
②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为.
综上，直线的斜率为或.
故选：C.
5．A
【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
6．C
【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知过定点,
动直线即过定点，
对于直线和动直线满足，
故两直线垂直，
因此点M在以为直径的圆上，，
则，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：C
7．A
【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
8．C
【分析】求出关于轴的对称点的坐标，求出过点圆的切线斜率乘积即可得．
【详解】关于轴的对称点为，题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，
切线斜率显然存在，
设切线方程为，即，
圆标准方程为，，半径为，
所以，化简得，
所以．
故选：C．
9．A
【分析】根据题意可求出圆心的坐标，半径为，结合条件可知直线经过圆心，可列式求出的值，从而得出点的坐标，再根据两点间的距离公式可求出，最后根据直线与圆相切得出，代数计算即可得出结果.
【详解】解：根据题意，得出圆的标准方程为：，
可知圆心的坐标，半径为，
因为直线是圆的对称轴，
所以直线经过圆心，则，
解得：，，
则，
由于过点作圆的一条切线，切点为，
.
故选：A.
10．C
【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算，结合图像得到答案.
【详解】，即，，是圆的下半部分，
直线过定点，且，，
画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，
，根据图像知：.
故选：C
11．C
【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解.
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，解得，
∴直线，
又∵直线可化为，
∴两平行线之间的距离．
故选：C．
12．B
【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可.
【详解】由，
即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，
如图所示，设直线与轴分别交于点，则，
由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形，
设关于直线的对称点为，连接，
则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以，
故，
当且仅当重合时取得最小值.
故选：B
13．A
【分析】根据题意，由直线的方程可得直线过定点，即可得到为点到直线的距离时，点到直线的距离最大，从而得到结果.
【详解】直线可变形为，
由解得，故直线过定点，当为点到直线的距离时，点到直线的距离最大，
此时直线的斜率为，故此时直线的方程为，
整理可得.
故选：A
14．C
【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解.
【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，
因为，，所以，
所以过点且与平行的直线为：即，
因为，，所以线段的中点为，
所以过点与线段的中点为的直线的方程为：，
即，
所以这条直线的方程是：或，
故选：.
15．C
【分析】取特殊值判断①；直线过定点，当时，点到直线的距离最大；由圆心在直线上得出；根据距离公式得出，再由二次函数的性质求解即可.
【详解】当时 ，直线：，此时直线与圆相切，故①错误；
直线：过定点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，故②正确；
若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即，则，故③正确；
设圆心到直线的距离为，则， ，当时，的面积有最大值，此时，两边平方得，解得或，故④正确；
故选：C
16．C
【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线 相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.
【详解】由题设所求圆的圆心为 ，半径为，标准方程为
因为圆与直线 相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即 ①
又圆截直线的弦长 为 ，设圆的圆心为到直线的距离为 ，
所以，由 有 ②
联立①②可得： ，所以所求得圆的标准方程为
故选：C.
17．C
【分析】结合，根据直线的位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，若能通过平移两直线可能会重合，则两直线一定平行，故，显然矛盾，故错误；
对于B选项，当时，两直线为垂直关系，故错误；
对于C选项，由题知，与必相交，故通过绕与的交点旋转可以使得与重合，故正确；
对于D选项，因为，所以直线：与轴不能垂直，
因为：的斜率为，故与轴也不能垂直，
所以，要想，与轴围成直角三角形，则，
此时联立方程得与的交点坐标为，
因为与轴交点为坐标原点，与轴交点为，
显然不在的中垂线上，
故此直角三角形不可能为等腰直角三角形，故D选项错误.
故选：C
18．A
【分析】由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：直线与互相垂直，
，
解得或．
因为或时，不一定成立，
因为时，或一定成立.
“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：A
19．A
【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值.
【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，
所以，
要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，
所以面积的最大值是.
故选：A
20．D
【分析】由直线，可得直线的方程，进而判断两直线的关系，判断①；利用相切可得，进而求得，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．
【详解】由直线，
可得直线，即，
直线与直线平行，
直线与直线的距离为，故①正确；
由圆，得圆心，半径为，
若直线与圆相切，
，，故②正确；
圆与圆是同心圆，且，
故圆与圆构成的圆环面积为，
当且仅当时取等号，故圆与圆构成的圆环面积最小值为，故③正确．
故选：D．
21．B
【分析】求出圆心到定点距离，由题设有且，即可得求范围.
【详解】由题意可得圆心，半径为，则到的距离，
要使圆上存在到的距离为1的点，则，可得.
故选：B
22．D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
23．C
【分析】将问题转化为曲线与有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.
【详解】方程有唯一解等价于曲线与有唯一交点，
由得：，则其图形为以为圆心，为半径的圆的上半部分；
为恒过定点的直线；
作出与图象如下图所示，
由图象可知：当或或或时，曲线与有唯一交点；
当直线与圆相切时，，解得：，
即，；
又，，
方程有唯一解时，实数的取值范围为或或.
故选：C.
24．B
【解析】由直线方程求出直线斜率的范围,再由斜率等于倾斜角的正切值求解即可
【详解】整理直线方程,可得直线斜率,
设直线的倾斜角为,
则,
得,
故选：B
【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题
25．A
【分析】解法一：求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案；
解法二：求出两直线的交点坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线的距离的表达式，结合不等式知识，即可求得答案.
【详解】解法一：直线整理可得，，
即直线恒过，同理可得恒过，
又，直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，
即的轨迹方程为，（去掉，
（这是因为不能表示直线，不能表示直线，）
设该圆心为，则，则，
由于垂直于直线，故M到的距离即为，而，
即，而当时，点的坐标为，不符合题意。
故的取值范围是，
故选：A．
解法二：联立两条直线的方程，
解得交点的坐标为，
∴，
由，
故得的取值范围是,
故选：A．
【点睛】关键点睛；解答本题的关键在于要确定两直线所过定点，从而确定动点的轨迹方程，继而结合圆上的点到定直线的距离，求解即可.
26．B
【分析】设向量所在直线为OA（A为向量的终点），当点P位于与直线OA垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.
【详解】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，
根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.
故选：B.
27．BC
【分析】根据圆与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，中点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为，半径为，
与的距离为，
，所以圆与圆相交，
所以足的点有个，所以A选项错误.
B选项，直线的方程为，
到直线的距离为，
所以点到直线的距离最大值为，所以B选项正确.
C选项，以为圆心，半径为作圆；以为圆心，半径为作圆；如下图所示，
，所以两圆外切，公切线有条，
所以点到直线的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条，C选项正确.
D选项，中点坐标为，
由解得或，
所以直线与圆相交所得弦长为，所以D选项错误.
故选：BC
28．AC
【分析】利用直线定点的求解判断A，检验判断B，利用点到直线的距离最大值的性质判断C，利用圆的定义求得与交点的轨迹方程，从而判断所过定点与其的位置关系，由此得以判断D.
【详解】对于A，因为可化为，
令，即，则，故，
所以直线一定经过定点，故A正确；
对于B，当时，，即，
，即，显然与 重合，故B错误；
对于C，点到直线的距离的最大值为到定点的距离，
所以其最大值为，故C正确；
对于D，对于，易知必过定点，
对于，易知必过定点，
又，所以与垂直，
所以与交点的轨迹是以定点与为直径两端的圆，
其圆心为，半径为，
所以与交点的轨迹方程为，
又直线一定经过定点，且，
所以直线不一定与与交点的轨迹相交，故D错误.
故选：AC.
29．ABD
【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式和不等式即可求解D.
【详解】由直线，可得过定点，
动直线，可得恒过定点，
因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，此时,
所以A正确；
由于,又，所以，，故，当且仅当取等号，故B正确，C错误，
设到直线的距离为，由于，故，故最大值为，故D正确，
故选：ABD
30．AC
【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过定点；根据定点与圆的位置关系，即可判断圆与直线的位置关系；当圆心与定点的连线与直线垂直时，即可求得直线被圆所截得的最短弦长.
【详解】，即，
令，解得，所以直线恒过点，故A正确；
圆，圆心，半径.
因为，所以点在圆C内，
所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；
当时，直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，
最短弦长为，故D错误.
故选：AC
31．ACD
【分析】根据中点坐标公式结合圆的性质判断A；根据两圆相交的位置关系判断B；由点与圆的位置关系判断CD.
【详解】设线段的中点为，则，又两圆半径相等，则也是的中点，，即，，故A正确；
设圆心距为，因为两圆相交，所以，即，故B错误；
因为，所以
同理可得，两式相减得，故CD正确；
故选：ACD
32．ABD
【分析】利用正切函数的图象判断选项AC的真假；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
举反例说明选项D错误.
【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；
D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.
故选：ABD
33．BD
【分析】
对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外切即可；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.
【详解】
选项A，由题知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
由，圆上不存在点到直线的距离为，故A错误；
选项B， 整理得，圆心为，半径为，
由题可知两圆外切时有三条公切线，则，解得，B正确；
选项C，由切点为，则在中，，
当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，
此时最小，最小值为，
即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；
选项D，设点，切点，
可得切线方程为，由点在切线上，得，
同理可得，
故点都在直线上，
即直线的方程为，
又由点在直线上，则，
代入直线方程整理得，
由解得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：BD.
34．ACD
【分析】由两直线垂直求出，再由充分条件和必要条件的定义可判断A；由直线的方向向量求出直线的斜率可判断B；求出直线在y轴上的截距可判断C；由点斜式方程成立的条件可判断D.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得：或，
“”是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误；
直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为，故B正确；
令，，直线在y轴上的截距为，故C错误；
当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，D错误.
故选：ACD.
35．ABD
【分析】则的中点在直线上，且与直线垂直，可判断A选项的正误；求出圆上的点到直线的距离等于的点的个数，可判断B选项的正误；求出直线关于原点对称的直线方程，可判断C选项的正误；求出经过点且在轴和轴上截距互为相反数的直线方程，可判断D选项的正误.
【详解】对于A，若点和点关于直线对称，
则的中点在直线上，且与直线垂直，
所以A正确；
对于B，设与直线平行且与直线之间的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，圆上的点到直线的距离等于的点的个数即为
直线、与圆的公共点的个数之和，
圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，直线与圆相切，
故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B正确；
对于C，直线关于原点对称的直线为，
在直线上任取一点，则点关于原点的对称点在直线上，
则有，即，
因此，直线关于原点对称的直线方程为，C不正确；
对于D，若所求直线过原点，可设所求直线的方程为，则，
此时，所求直线的方程为，
若所求直线不过原点，可设所求直线的方程为，则，
此时，不满足题意.
综上所述，经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为，D正确.
故选：ABD.
36．BD
【分析】根据圆方程得到圆心，半径，得到A错误，代入点坐标得到B正确，圆心不过直线得到C错误，计算弦长得到D正确，得到答案.
【详解】，即，圆心，半径，
圆的半径为，A错误；
，故点在圆外，B正确；
圆心不在直线上，故C错误；
当时，，解得或，故弦长为2，D正确.
故选：BD
37．BCD
【分析】对A选项，利用点到直线距离和同角三角函数平方和关系可得，对B选项通过分析得两圆内切，则圆心距等于半径之差，得到关于的方程，解出即可，对C，直接将两圆方程作差得公共线方程，对D，设点坐标，分析可得四点共圆，写出两点直径式方程，作差得到直线方程，再利用为直线一动点，联立求出定点.
【详解】对A选项，圆的圆心，其到直线的距离，故该直线不是圆的切线，故A错误，
对B选项，若两圆恰有一条公切线，则两圆为位置关系为内切，
圆，则，根据，则，，故B正确，
对C选项，将两圆方程作差得，即，故C正确，
对于D选项,设点,所以，由题得四点共圆，且在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为：，化简得
两圆的方程作差得直线的方程为:，联立
消去得,,
令得,,
直线过定点,故D正确,
故选：BCD.
38．ACD
【分析】根据截距相等分过原点和两种情况，则设直线方程为或,利用相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，解出参数即可.
【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等,
设直线为:或,由于直线与圆相切,
故圆心到直线的距离等于半径
，或4，
，，
故直线的方程为:,,
故选：ACD.
39．CD
【分析】由圆心是否关于直线对称可确定选项的正误，由两圆相交求得的范围可确定B的正误，求得圆心到直线的距离可确定满足C选项的点的个数，由直线与圆的性质可讨论D中线段的最小值，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由于点与点的中点不在直线上，
故圆心不关于直线对称，两个圆不关于直线对称，故选项A不正确；
对于B：由：可得，圆心，半径，由：可得，所以，圆心，半径，若两圆恰有四条公切线，则可得：，所以，故选项B不正确；
对于C：圆心到直线的距离，故圆上存在三点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：由题意可得，所以即，当最小时，最小，最小值为到直线的距离，即，故的最小值为，故选项D正确，
故选：CD.
40．ABD
【分析】配方求出圆心和半径，然后计算圆心距，判断两圆位置关系，判断AB，两圆方程相减可求得公共弦所在直线方程，判断C，由勾股定理求得公共弦长（求出圆心到公共弦所在直线的距离后计算），判断D．
【详解】圆的标准方程为，，半径，
圆的标准方程为，，半径．
，，两圆相交，AB正确
两圆方程相减得，C错误，
到直线的距离为，
公共弦长为，D正确．
故选：ABD．
41．ABD
【分析】对于A，根据三角形全等易得，进而可以判断A；
对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解；
对于C，由点A，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；
对于D，先由直线的方程得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．
【详解】解：如图，对于A，连接交于点，由题易知，所以，所以，故，所以直线OP为线段AB的中垂线，故A正确;
对于B，由于，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确；
设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C错误；
在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确．
故选：ABD.
42．AD
【分析】对A，将圆的一般式化为标准式，结合求范围；对B，将代入标准式即可求出圆心和半径；对C，设出直线方程，由圆心到直线距离求出，但需考虑斜率不存在情况；对D，将圆心代入直线方程，再结合基本不等式即可求解.
【详解】将化为标准式可得，由圆的定义可知，，故A对；
当时，圆的标准方程为，则圆心为 ，半径为2，故B错误；
设过的直线方程为：，当时，圆心为 ，半径为2，则，即，解得，直线方程为：，但当直线斜率不存在时，即，圆心到直线距离也为1，故这样的直线方程有两条，C错误；
因为直线恒过圆的圆心，即，
则，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD
43．AC
【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角，
【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确；
对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误；
对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确；
对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误，
故选：AC
44．BC
【分析】由圆的一般方程求出圆心及半径，可判断选项A；根据圆心在直线上可判断选项B；利用点到直线距离公式及弦长公式可判断选项C；利用几何意义及两点间距离公式可判断选项D.
【详解】由圆可得圆心，半径为.，故选项A错误；
因为，
所以点在直线，
则关于直线对称，故选项B正确；
因为点到直线的距离为，
所以直线被所截得的弦长为，故选项C正确；
因为的几何意义为表示点到点的距离，点在上，
所以的最大值为，故选项D错误.
故选：BC
45．ABD
【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解圆面积判断A，直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断C；分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可判断D.
【详解】对于A：圆即的圆心为，
半径，故圆D的面积为，正确；
对于B：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，正确；
对于C：定点到圆心的距离，
设点到直线的距离为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为，错误；
对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，
当直线过圆心时，弦的长度最大，
所以可得，正确.
故选：ABD
46．BC
【分析】取值验证判断A；利用对称验证判断B；求出直线过的定点判断C；求出符合条件的直线判断D.
【详解】对于A，当时，直线：与直线：重合，A错误；
对于B，以点与为端点的线段中点在直线上，
又过点与的直线斜率，则该直线垂直于直线，
因此点与关于直线对称，B正确；
对于C，直线化为：，
由，解得，因此直线过定点，C正确；
对于D，过点且在轴，轴上的截距相等的直线可以过原点，其方程为，D错误.
故选：BC
47．ACD
【分析】将直线的方程化为斜截式即可判断；利用点到直线的距离公式和垂径定理即可判断；求出两圆的圆心距与半径比较即可判断；求出弦所在的直线方程，利用垂径定理即可判断.
【详解】因为圆：，化为标准方程：.
对于，当时，直线l：可化为，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选项正确；
对于，当时，直线的方程为：，圆心到直线的距离，由垂径定理可得：弦长为，故选项错误；
对于，圆与圆的圆心距，因为，所以两圆相外切，故选项正确；
对于，当，时，直线的方程为：，设直线上任意一点，过圆外一点引圆 的切线，
设切点坐标为，因为，所以切点的轨迹是以的中点为圆心，以为直径的圆上，因为，，
所以切点的轨迹方程为：，也即，
又因为圆：，
两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，，
则圆心到直线的距离，
由垂径定理可知：，要使弦长度最小，则最大，
当时，取最大值，
此时弦长，故选项正确，
故选：.
48．ABD
【分析】由题意可判断A；，到原点的距离最小，最小值为可判断B；求出、、所在的圆的方程，曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，求出面积可判断C；求出所在的圆截直线所得弦的长可判断D.
【详解】解：对于A，由图可知，曲线关于轴对称,A选项正确；
对于B，明显是，到原点的距离最小，最小值为，所以B正确；
对于C，、、所在的圆的方程分别为，，.
曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故C错误；
对于D，所在的圆的方程为，圆心，
圆心到直线的距离，
则所求的弦长为，故D正确.
故选：ABD
49．ACD
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；利用圆心到直线距离知直线与圆相交，得A正确；由圆上点到直线距离最大值为，可知B错误；由直线关于点的对称直线的求法可知C正确；利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程，知D正确.
【详解】由圆方程知：圆心，半径；
对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确；
对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误；
对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：，
则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确；
对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，
所求圆的圆心为，半径为，
圆关于直线对称的圆的方程为，D正确.
故选：ACD.
50．ACD
【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可.
【详解】对于A，设的中点为，连接，则，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确，
对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形，
此时，
则，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为,
所以
,
因为，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为8，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为112，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
51．ABD
【分析】对于A：设出切线方程，根据直线与圆相切列式，得到关于斜率的二次方程，利用韦达定理可得答案；对于B：通过计算得到，求出的最小值即可；对于C：求出以为直径的圆的方程，与已知圆做差可得公共弦所在直线方程，根据方程可得定点；对于D：转化为求点的轨迹，如果点的轨迹是一个圆即可.
【详解】对于A：设，过点作圆的切线，切线斜率不存在时显然不满足题意，
设切线方程为，
即，
则，整理得
则方程的根为，
又，所以
所以，解得，即若，则这样的点只有一个，A正确；
对于B：
要四边形面积的最小值为1，则最小，
当为点到直线距离时最小，
此时，
所以四边形面积的最小值为，B正确；
对于C：由于直线为以为直径的圆与圆的公共弦，
设，则以为直径的圆的方程为，
即，结合，
两圆方程做差可得，
变形为，令，解得，
即直线恒过点，C错误；
对于D：由选线C得直线的方程为，即
又直线的方程为，即
两式相乘得，
当时，，整理得，
当时，直线与直线的交点为，满足，
故直线与直线的交点轨迹方程为，即为点的轨迹方程，故存在点，使得线段的长度为定值，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：①两相交圆的方程做差可得公共弦所在直线方程；
②是否存在一定点，使得线段的长度为定值，即求点的轨迹是否是圆.
52．AD
【分析】判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D.
【详解】圆，圆心，半径
对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确；
对于B，当直线时，最小，，，
则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；
对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，
则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.
故选：AD
53．
【分析】画出曲线，根据图象以及直线与圆的位置关系求得的最大值.
【详解】对于方程，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
由此画出曲线的图象如下图所示，
设，也即，
由图可知，向右上方平移到与曲线在第一象限相切时，
取得最大值，到切线的距离为：
，解得，
所以的最大值为.
故答案为：
54．72
【分析】
设，则，，然后化简可求得其最大值.
【详解】
由，得，则圆心，半径，
所以，
设，由在圆上，可得，
又，
则，
，∴当时，取到最大值.
故答案为：72.
55．/
【分析】根据相切得到切线方程为，当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，据此得到方程组，解得答案.
【详解】如图所示：切线斜率存在，设切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
切线方程为，
当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则，
圆心在切线的左上方，故，即，
，解得，（舍去负值）.
故答案为：.
56．或
【分析】先求出圆的方程，再求A，B两点的坐标，最后求直线方程即可.
【详解】易知，圆的半径平方为，
故圆的方程为，
两圆方程作差得，与联立得或
不妨令，
所以直线PA或PB的方程为或
故答案为：或 .
57．
【分析】根据直线方程求出斜率，由斜率求出倾斜角.
【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故答案为：
58．
【分析】根据平行直线的斜率相等，建立方程，可得答案.
【详解】因为的斜率为3，两直线平行，
所以，的斜率为，
所以，解得.
故答案为：.
59．（或，或，或）
【分析】利用待定系数法即可求得该圆的方程.
【详解】设所求圆的方程为，
则有，即，
解之得，或，或，或，
则所求圆的方程为，或，
或，或
故答案为：（或，或，或）
60．20
【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，
所以，所以，所以的最大值为20，
故答案为：20.
61．
【分析】将问题转化为圆心O到直线MN的距离小于等于2解决.
【详解】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于2即可，如图，
作OA⊥MN，垂足为A，在直角中，因为∠OMN=45，所以=，
解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是
故答案为：
62．
【分析】根据给定条件可得是等腰直角三角形，由此求出点C到直线l的距离，再借助点到直线距离公式计算即得.
【详解】圆的圆心，半径，
而圆C与直线交于，两点，且，则是等腰直角三角形，弦AB长为，
于是得点C到直线l的距离即为斜边AB上的高，
因此，，解得，
所以.
故答案为：
63．.
【分析】设为圆上任意一点，求出P到直线的距离｜PM｜，可得，则，再求出的范围得答案.
【详解】解:：设为圆上任意一点，
则P到直线的距离，即 ，
设圆与直线相切，
则，解得，
的最小值为，最大值为
.
故答案为：
64．
【分析】令等号等于，表示过点的直线，令等号右边等于，表示圆心为，半径为2的上半圆，方程有且仅有一个解，转化为与的图像只有一个交点，结合图形可求得答案.
【详解】方程有且仅有一个解，转化为与的图像只有一个交点
设直线为：，其表示过点P的直线，
，表示圆心为，半径为2的上半圆，
在直角坐标系中画出相应的图形，,结合图形可知当或直线与上半圆相切时符合题意.
，，所以
当直线与上半圆相切时有，解得 （ 舍去）
综上所述，实数的取值范围为
故答案为：
65．
【分析】先求得点的轨迹为圆，再利用圆的性质即可求得点到直线的距离d的取值范围.
【详解】设，则，
两边平方得，整理得，
则点在以为圆心半径为的圆上运动，
圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离d的取值范围为
故答案为：
66．或（写一条即可）
【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
化为标准方程得，圆心为，半径，
如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为，
直线的斜率为，直线方程为，
联立解得，
易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即，
则，解得，
则公切线的方程为，即.
故答案为：或（写一条即可）
67．
【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.
【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为，
，则最大值为，
由直线，，
可得且过定点过定点， 点的轨迹是以 为直径端点的圆，其方程为，
，
， ，
，
的最小值为.
故答案为：；.
68．
【分析】先求出切线的长，再求出以为圆心，为半径的圆的方程，从而得出直线即为两圆交点的连线，联立两圆方程即可求出结果.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径，
所以，，
所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
所以为两圆的公共点，即直线为两圆公共弦所在的直线，
联立和，
得到，即.
故答案为：
69．
【分析】证明出，计算出的最小值，可得出的最小值，可得出四边形的面积最小值，可求得的值，进而可得出的值.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
70．
【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围.
【详解】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ，
设成功点，则，即，
化简得，因为点在矩形场地内，所以，
所以点的轨迹方程是.
当与圆相切时，则有，
所以，所以，又，
若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
71．(1)；
(2)，或.
【分析】
（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】（1）
解：由圆关于直线对称，
即圆心在直线，满足，
即圆，
又因为在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为.
（2）
解：由，可得，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由由（1）圆心为，可得，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径，
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，所以，解得或，
故所求直线l的方程为或.
72．(1)
(2)当时，直线被圆C所截得的弦长最短，弦长为
【分析】（1）将直线化为，联立，即可求解定点坐标；
（2）根据圆的性质知时，直线l被圆C所截得的弦长最短，利用几何法求解弦长即可.
【详解】（1）由得，
因为，所以有，解得，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由得，
所以，半径，当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有即，解得，
化为，
所以，所以，此时直线l的方程为即，
所以点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
73．(1)或
(2)
【分析】（1）根据圆心到直线距离等于半径求解切线方程即可.
（2）设，将用表示出，再求其最大值.
【详解】（1）由题意得圆标准方程为，，,
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）方法一：设点，则，
∴
设点，则
∵，
∴，
即的最大值为；
方法二：设点，则，即，
∴
设，则直线与圆有公共点，
∴圆心到直线的距离，
解得，故得的最大值为；
方法三：设点，则，
设，
，当时取最大值，
故得的最大值为
74．(1)
(2)或
【分析】（1）利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可；
（2）利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可.
【详解】（1）直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，
故所求方程为，即；
（2）设与直线平行的直线方程为，
则，即，解得或，
所以所求直线的方程为或.
75．(1)
(2)约为
【分析】（1）设圆拱所在圆的圆心为，根据可求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的方程；
（2）设，可得点，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得解.
【详解】（1）解：设圆拱所在圆的圆心为，易知点、，
由可得，解得，
圆的半径为，
所以，圆拱所在圆的方程为.
（2）解：设，又因为，即点，
将点的坐标代入圆的方程可得，
解得，
所以，支柱的高度约为.
76．(1)41
(2)；
【分析】（1）求出圆的标准方程，利用两圆外切的性质进行求解即可；
（2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）和,
化简为标准方程分别为：
，
所以，
因为两圆外切，所以，
即，
所以；
（2）当时，，
两圆相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为:，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
77．(1)；
(2).
【分析】（1）设圆的标准方程为：,根据已知条件列出方程组求解即可得出结果；
（2）求出圆心到直线的距离，根据，计算即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为：，
由圆经过，两点，且与y轴的正半轴相切，
得，解得，
所以圆的标准方程为：.
（2）圆心到直线的距离为 ，
所以，
78．(1)或
(2)
【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；
（2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长.
【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，
即，
则圆心到直线l的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或；
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
79．(1)
(2)或
【分析】（1）根据与平行的条件且列式可得答案；
（2）根据与垂直的条件列式可得答案.
【详解】（1）因为，所以，解得或，
当时，直线两条直线重合，
故时，；
（2）因为，所以，解得或.
80．(1)；
(2)或.
【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，
又圆心在直线上，令可得，
所以圆的圆心为,半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）当l斜率不存在时，l的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当l斜率存在时，设l的方程为，
则．
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线l的方程为．
综上：l的方程为或.
81．(1)
(2)的最小值为，此时直线的方程为
【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
【详解】（1）当时，方程可化为，不经过第一象限；
当时，方程可化为，
要使直线不经过第一象限，则
解得．
综上，k的取值范围为．
（2）由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
综上，此时，直线的方程为．
82．(1)
(2)或．
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或．
83．(1)
(2)或
【分析】(1)结合已知条件，设出圆心坐标，然后利用即可求解；(2)结合圆的性质可知，为等腰直角三角形，进而得到圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）因为圆心在直线上，则，
所以圆的标准方程为：，
因为，，且，
所以，
解得，，
从而，
故圆的标准方程为：.
（2）由题意可设直线的方程为：，即，
因为，
所以由圆的性质可知，为等腰直角三角形，且直角边为，
故点到的距离为1，即，
解得，
故直线的方程为：或.
84．(1)证明见解析
(2)当弦经过圆心时，弦最长，当弦与直线垂直时，弦最短
(3)，最短弦长为
【分析】（1）直线方程变形成关于的方程，求出恒过的定点，即可证明；
（2）由圆的性质说明弦长最长 最短的情形即可.
（3）由弦心距与弦长垂直关系确定的值，两点间距离公式求出弦心距，结合勾股定理即可求解最短弦长.
【详解】（1）证明：直线方程即：
，
联立方程可得，
则直线恒过定点，即直线总经过第一象限；
（2）由圆的方程可知圆心坐标为，
由圆的性质可知当弦经过圆心时，弦最长，当弦与直线垂直时，弦最短；
（3）由斜率公式可得，
则满足题意的弦长的斜率，
从而：，解得，
圆的方程为，，
则最短弦长为.
85．(1)
(2)
【分析】（1）先求出直线的方程，再联立直线，即可得点的坐标，
（2）求出点的坐标，再与点联立求的斜率，再联合BC中点，即可得的垂直平分线.
【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，所以直线斜率为，
则直线的方程为，即，
解方程组，得点的坐标为.
（2）设，，则，，
于是有，
即，与联立，解得点的坐标为.
则，则的垂直平分线的斜率为，
又中点坐标为，垂直平分线方程为，即，
86．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接用两点间距离公式列方程并整理可得；
（2）设，由中点坐标公式得出点坐标，代入其轨迹方程化简即得；
（3）设直线方程为，，代入点轨迹方程应用韦达定理得，代入求得的关系，然后可得直线与交点坐标．
【详解】（1）解：由题意，化简整理得；
（2）解：设，因为是中点，所以，
所以，即；
（3）解：设直线方程为，，，
由得，
所以同，，
所以 ，，
直线方程为，时，，所以．
87．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据题意设圆心，半径为，再根据解方程求解即可；
（2）先讨论直线的斜率不存在时不满足情况，当直线的斜率存在，不妨设方程为，结合韦达定理，设而不求，求解即可.
【详解】（1）解：圆经过两点，且圆心M在直线上，
所以设圆心，半径为，
所以，即，
解方程得，，即圆心，
所以圆的方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，设方程为，
则，
所以，
所以，不满足条件，
所以直线的斜率存在，不妨设方程为，
联立方程得，
所以
设，则，
所以，
所以，
因为，即，
所以，代入整理得，
所以直线，即直线过点.
所以直线经过一定点，该定点的坐标为
88．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解；
（2）根据题意，结合圆的弦长公式，得到时，弦的长度最小，求得，进而求得直线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以直线的方程为，即，
圆的标准方程为，即，
可得圆的圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
可得弦长为.
（2）解：由圆的弦长公式，可得，
当圆心到直线的距离最大时，此时弦的长度最小，
即时，弦的长度最小，
因为，所以，
所以的方程为，即.
89．(1)
(2)或
【分析】（1）将坐标代入圆中，求解出参数即可.
（2）分情况讨论斜率是否存在，利用直线和圆的位置关系求解即可.
【详解】（1）
设圆的方程为，
因为，，在圆上，带入坐标得
解得：，，，
所以圆的标准方程为：；
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，可得，解得
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
90．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径建立不等式求解；
（2）根据圆心距、半径、半弦长的关系求出斜率即可得解.
【详解】（1）设直线 的斜率为，则直线 的方程为，
因为直线与圆有2个交点，则圆心到直线的距离，
解得，
即直线 斜率的取值范围为.
（2）当时，由，
可得，解得，
所以直线方程为，
即或.
91．(1)
(2)
【分析】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程；
（2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求.
【详解】（1）因为圆心在上且与轴相切，
所以设圆心，半径为，
所以圆方程为，
又圆心到直线距离，
圆被直线截得弦长为4，
所以有：，解得，
所以圆方程为：；
（2）解法一：因为，又因为，所以，
设，则，即，
所以点轨迹方程为.
因为，
所以的最小值就是的最小值，
即为点到直线的距离，
所以的最小值为.
解法二：因为，又因为，所以，
设，则，即，，
，
当时，取得最小值：，
所以的最小值为.
92．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）由弦长公式结合距离公式得出直线l的方程；
（2）分别联立直线和圆、直线的方程，利用韦达定理结合向量的运算求解即可.
【详解】（1）圆的方程可化为，
因为，所以点P在圆外．
当轴时，，不满足，即的斜率存在.
设直线l的方程为，圆心到直线的距离为.
因为，所以，即.
整理得，解得或.
故直线l的方程为或．
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线，
联立得出，不妨设
则，联立，可得.
则，.
则.
当直线l的斜率存在时，设为.
联立，得．
设，则,
，即，
，
．
设，则，整理得.
因为，，
所以
故为定值.
93．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解；
（2）有（1），设直线方程为，可得，根据平面向量数量积的坐标表示和基本不等式中“1”的用法可得直线l的方程，即可求解.
【详解】（1）已知直线 ，
则，
由，解得，
即直线l过定点；
（2）设直线的方程为，
则，又直线l过定点，
则，又点，则
，
当且仅当即即时取等号，
所以直线l的方程为，
所以直线l过，即，
解得．
94．(1)
(2)或．
【分析】（1）求得线段的中点坐标和斜率，可得的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线的方程．
【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线为，
由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则方程为，
由，得，或，
即直线与圆相交所得弦长为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆到的距离，所以，解得，
所以，即，
综上所述，直线的方程为或．
95．(1)
(2)
【分析】（1）联立两条直线得点，由C与A关于点M对称得，由与垂直，得边所在直线的方程；
（2）联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M，A，B坐标分别代入，解出圆的方程.
【详解】（1）由，得，则，
因为矩形ABCD两条对角线相交于M，所以C与A关于点M对称，
设，所以，得，则，
因为边所在直线的方程为，斜率为，
与垂直，所以直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即；
（2）由，解得，故点的坐标为，
设所求圆的方程为，且，
则，得，
则所求圆的方程为：.
96．(1)
(2)直线方程为或，切线段长度为4
【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.
【详解】（1），
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
（2）由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
圆心与点的距离，
则切线长度为.
97．(1)
(2)存在一点，
【分析】（1）设出圆的一般方程，将点的坐标代入，解方程组，求出参数的值，即可得答案；
（2）利用点关于直线对称，确定点的轨迹方程；
法一：假设在直线上存在一点，先利用特殊点确定以及k的值，再证明对于点和圆上任意一点，都有 ，即可得出结论；
法二：：假设在直线上存在点，使得（常数）．设为圆上任意一点，则可得的表达式 ，要使得为常数，令，解方程求出t，即可得结论.
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）由（1）可得圆的方程为，所以，圆的半径，
设点关于的对称点为，
则，解得，
故点的轨迹方程为圆：；
解法一：假设在直线上存在一点（异于点），使得（常数）．
圆与直线的交点为，
设，而若点取或时，得，即，
解得，此时．
下面证明：对于点和圆上任意一点，都有．
设为圆上任意一点，则，
所以 ，
所以在直线上存在一点，使得（常数）．
解法二：假设在直线上存在点，使得（常数）．
设为圆上任意一点，则，
所以 ，
令，即，解得或（舍），
将代入上式，得，
所以在直线上存在一点，使得（常数）．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于探究性问题中结论的得出以及k的确定，解答时要确定Q点的轨迹方程，从而利用圆的方程得出的表达式，探求结论得出k的值，要注意计算量大，比较复杂，要十分细心.
98．(1)方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆
(2)或
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解；
（2）解法一：设直线：，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，得到的面积，列出方程求得的值，即可求解；
方法二：设直线：, 联立方程组，得到，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由动点与两定点，的距离的比为，
可得，
整理得， 即，
所以动点P是以为圆心，2为半径的圆.
（2）解法一：由题意知的斜率一定存在且不等于0，
设直线：，即，
点Q到l的距离，
则弦长为，
因为，所以，
化简得，解得或，所以或，
所以直线的方程为或.
方法二：由题意知的斜率一定存在且不等于0，
设直线：, 且点，，
联立方程，整理得，
所以，即，且，
则，
因为，所以，
化简得，解得或，所以或，
所以直线的方程为或.
99．(1)
(2)
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可构造方程组求得结果；
（2）弦是以为直径的圆与圆的公共弦，求得以为直径的圆的方程后，与圆方程作差即可求得结果.
【详解】（1）设圆方程为：，
圆过点，
，解得：（满足），
圆方程为：.
（2）由（1）知：圆的圆心，半径；
与圆相切，在以为直径的圆上，
，中点为，
以为直径的圆的方程为：，即，
由得：，
即直线的方程为：.
100．(1)证明见解析,直线恒过定点
(2)
【分析】（1）将直线化为即可求解定点，或者化为，
（2）根据直线经过定点，分别求解两直线与坐标轴的交点坐标，即可由三角形的面积公式,结合二次函数的性质求解.
【详解】（1）解法1
当时，，无论为何值，直线过定点；
当时，，直线过定点；
综上：直线恒过定点；
解法2：将直线化为，
由，得，即直线恒过定点.
（2）将直线化为，得直线恒过定点，
在直线中，由于，令得，
令 ，故直线与轴正半轴交于点,
同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点,
如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点.
则点的坐标为，点的坐标为.
因为，所以，
在中边上的高为2，在中边上的高为2，
所以
，
所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为.
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