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2024年空间向量基础性作业1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．（20-21高二上·江苏扬州·期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
2．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
3．（21-22高二下·重庆长寿·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二下·广东深圳·期中）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（22-23高二上·阶段练习）已知向量，，且，则x的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．（22-23高二上·浙江台州·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（20-21高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）若向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
12．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
14．（23-24高二上·北京昌平·期中）平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022高二·全国·专题练习）在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知向量，则（ ）
A．9 B．3 C．6 D．
17．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24高二上·广东广州·期中）已知空间向量，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
20．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
21．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（17-18高二上·广东东莞·期末）已知三棱锥，点M，N分别为边AB，OC的中点，P是MN上的点，满足，设，，，则等于
A． B．
C． D．
24．（20-21高二上·北京平谷·期末）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）
A． B． C． D．
25．（22-23高二上·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，（ ）
A．1 B． C． D．2
26．（22-23高二上·北京昌平·期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A． B． C． D．
27．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
28．（22-23高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
29．（22-23高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
30．（23-24高二上·山东·阶段练行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23高二上·洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
33．（22-23高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（21-22高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
35．（21-22高二上·广东深圳·期末）已知空间中两点，，则（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23高二上·天津津南·期末）正四棱锥中，设，，，.则（ ）
A． B．
C． D．
37．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在平行六面体中，设，，，若点P满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
38．（20-21高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
39．（22-23高二上·广东茂名·期末）已知向量，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
40．（22-23高二上·广东江门·期中）在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
41．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
42．（23-24高二上·河北·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
43．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）设，，，且∥，则（ ）
A． B． C．3 D．4
44．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知，，，若，，共面，则等于（ ）
A． B．9 C． D．3
45．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
46．（23-24高二上·广东广州·期中）若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
47．（21-22高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（23-24高二上·广东广州·期中）已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
49．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ）
A．3 B．
C． D．
50．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
51．（23-24高二上·全国·单元测试）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
52．（23-24高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
53．（20-21高二上·安徽淮北·期中）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
54．（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
55．（22-23高二上·广东广州·期中）已知，若，则（ ）
A．4 B．6 C．5 D．3
56．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．3
57．（22-23高二上·福建泉州·期末）三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
58．（22-23高二上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
59．（22-23高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
60．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
61．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则与共线
C．若，则 D．
62．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
63．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知为平面的一个法向量，点为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
64．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B．4 C．或1 D．4或
65．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线的方向向量，直线的方向向量，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
66．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
67．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
68．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
69．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
70．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
71．（23-24高二上·广东东莞·期中）在四面体中，点M在线段上，且，N为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
72．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
73．（21-22高二下·广东梅州·期末）四棱锥底面为平行四边形，分别为棱上的点，，设，则向量用基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
74．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
75．（21-22高二下·江苏南通·期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
76．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、多选题
77．（2021高二·全国·专题练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
78．（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
79．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
三、填空题
80．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知，，若，则 ．
81．（20-21高二上·广东清远·期末）设向量，，，则实数 .
82．（22-23高二上·天津河西·期中）已知，，则向量的坐标为 .
83．（22-23高二上·广东广州·期末）已知向量，．若，则 ．
84．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知，则在方向上的投影向量为 ．
85．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ．
86．（21-22高二上·北京·期中）已知向量，，则的值为 .
87．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知空间向量，则 ．
88．（23-24高二上·广东广州·期中）若向量，，则 ．
89．（18-19高二·全国·课后作业）已知，，若，则 .
90．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，若三向量共面，则实数 .
91．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
92．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知分别是平面的法向量，且，则 .
93．（23-24高二上·广东深圳·期中）空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 .
94．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点为坐标原点，点，平面的一个法向量为，若，则 .
95．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为
96．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平行六面体中，，，，，则 ．
97．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么
98．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为 ．
99．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
评卷人得分
四、解答题
100．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A B B A B A C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C D B D C C D B D B
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 A D D A B A B D D B
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 C A D D B A A C D C
题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
答案 D D C A A C C C C B
题号 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
答案 B B D A A B D B C D
题号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
答案 B B A C C C C D D B
题号 71 72 73 74 75 76 77 78 79
答案 B C A D A B AD BD BC
1．C
【解析】根据两个法向量共线可得的值.
【详解】因为，共线，故，故，
故选：C.
2．B
【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.
【详解】由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B
3．A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
4．A
【分析】
根据平面向量的基本定理，可得答案.
【详解】对于A，设，则，显然不存在使得等式成立，故A正确；
对于B，设，则，解得，故B错误；
对于C，设，则，即，解得，故C错误；
对于D，设，则，解得，故D错误.
故选：A.
5．B
【分析】
根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
6．B
【分析】根据点到平面距离的向量求法即可求解.
【详解】因为，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
故选：B.
7．A
【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出.
【详解】由题意得，解得.
故选：A
8．B
【分析】根据空间向量的分解求解.
【详解】因为,
所以，
故选:B.
9．A
【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.
【详解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故选：A.
10．C
【分析】直接根据向量的运算法则计算即可.
【详解】，则.
故选：C
11．C
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.
【详解】因为，，又，
所以，
解得，
故选：
12．D
【分析】根据空间向量坐标线性运算法则计算.
【详解】.
故选：D
13．B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
14．D
【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D
15．C
【分析】根据向量加减法则化简目标式即可.
【详解】.
故选：C
16．C
【分析】利用空间向量模长公式计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：C
17．D
【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可.
【详解】易知.
故选：D
18．B
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示求解.
【详解】因为，，所以，
故选:B.
19．D
【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.
【详解】若，则或，故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：D.
20．B
【分析】根据空间向量基本定理即可解决.
【详解】由图可知 ，
所以.
故选：B．
21．A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选:A
22．D
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得.
【详解】对于A，中，，A不是；
对于B，中，，B不是；
对于C，化为，，C不是；
对于D，中，，D是.
故选：D
23．D
【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法则，得到结果．
【详解】解：，
，
故选D．
【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中应用已知棱去表示要求的结果，本题是一个基础题．
24．A
【解析】推导出,从而得到，即可求出
【详解】由题意得：∵的坐标为，
∴,
∴
∴．
故选：A
【点睛】求直线的方向向量的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标．
25．B
【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．
【详解】．
故选：B．
26．A
【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.
【详解】解:由题知, 点F是侧面的中心,
为中点,
则
,
故选:A
27．B
【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合长方体的性质进行求解即可.
【详解】，
故选：B
28．D
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
29．D
【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量
【详解】
故选：D
30．B
【分析】
根据空间向量加减运算法则计算出答案.
【详解】.
故选：B
31．C
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选：C.
32．A
【分析】根据空间向量加法法则计算出答案.
【详解】.
故选：A
33．D
【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.
【详解】由是的中点，
可知，
所以，
故选：D.
34．D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.
【详解】
故选：D.
35．B
【分析】计算，再计算模长得到答案.
【详解】，，故，故.
故选：B
36．A
【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据，即可得出结果.
【详解】，
所以.
所以.
故选：A.
37．A
【分析】由空间向量的线性运算法则求解．
【详解】∵是平行六面体，
∴，
，
故选：A．
38．C
【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.
【详解】因为，，且，
所以，即，所以，
所以，
故选：C．
39．D
【分析】根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
40．C
【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.
【详解】.
故选：C
41．D
【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误；
对于B，的单位向量为，所以B错误；
对于C，，所以，
所以C错误；
对于D，设平面的法向量是，
则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确．
故选：D
42．D
【分析】利用向量投影的定义结合勾股定理即可求解.
【详解】因为，，
，
所以到直线的距离为．
故选：D
43．C
【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
44．A
【分析】由，，共面，设，根据条件列出方程组即可求出λ的值．
【详解】因为，，共面，设，
又，，，得到，
所以，解得，
故选：A.
45．A
【分析】根据条件，得到，再利用，即可求出结果.
【详解】由，
得到，
所以，
故选：A.
46．C
【分析】对于A，B，D，判断每个选项中的向量是否共面，根据空间向量基底的含义，即可判断其正误，对于C，采用反证的思想，假设共面，得出矛盾，即可判断其对错，即得答案.
【详解】对于A，，即共面，
故不能作为空间向量的一组基底，A错误；
对于B，，即共面，
故不能作为空间向量的一组基底，B错误；
对于C，假设共面，则存在实数，使，
则，则共面，这与为空间向量的一组基底矛盾，
故不共面，可构成空间向量的一组基底，C正确；
对于D，，故共面，
故不能作为空间向量的一组基底，D错误；
故选：C
47．C
【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解.
【详解】对于A，，所以共面，故A错误；
对于B，，所以共面，故B错误；
对于C，假设共面，
则存在，使得，
则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，，所以共面，故D错误.
故选：C.
48．C
【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值.
【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，，使，
即，
则，解得，.
故选：C.
49．C
【分析】由空间向量法求点线距．
【详解】由已知，
，所以，
所求距离为，
故选：C．
50．B
【分析】根据共面向量的推论判断.
【详解】A选项：，故A错；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错；
D选项：，故D错.
故选：B.
51．B
【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．
【详解】因为，点N为BC中点，
所以，，
故
．
故选：B．
52．B
【分析】依题意可得，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为为空间内三个不共面的向量，所以可以作为空间内的一组基底，
又平面和平面的法向量分别为和且，
所以，则，即，
所以，解得，所以.
故选：B
53．D
【分析】用表示出，再求数量积．
【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长，
所以
.
故选：D．
54．A
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解.
【详解】根据空间向量的运算法则，易得，
又因为 ，
故.
故选：A．
55．A
【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.
【详解】由得，
又∵，，
,
解得,
故选：A.
56．B
【分析】利用点到平面的距离公式即可得解.
【详解】因为，，
所以，
又是平面的一个法向量，
所以到的距离为.
故选：B.
57．D
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.
【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，
.
故选：D
58．B
【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案．
【详解】
故选：B
59．C
【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.
【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，.
所以,.
设直线与夹角为，则.
故选：C.
60．D
【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
61．B
【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可.
【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误；
对B，，当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确；
对C，若，则，不能得出，故C错误；
对D，，，故不成立，故D错误；
故选：B
62．B
【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.
【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，
于是，
所以在上的投影向量的模为.
故选：B
63．A
【分析】利用空间向量求点面距离即可.
【详解】易知，则点到平面的距离为.
故选：A
64．C
【分析】由数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得或1．
故选：C
65．C
【分析】
根据给定条件，利用空间向量求出线线角的余弦即可得解.
【详解】令直线与所成角为，依题意，，
而，所以.
故选：C
66．C
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出B的坐标.
【详解】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，
则B的坐标为，
故选：C
67．C
【分析】根据已知求出，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案.
【详解】由已知可得，，
所以 .
又，
所以．
故选：C.
68．D
【分析】根据空间向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】由题意可得：，
若与互相垂直，则，解得.
故选：D.
69．D
【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
因为在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，则．
所以向量在向量上的投影向量为，
由，，得，
，所以
则，即，
即向量在向量上的投影向量为.
故选：D
70．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.
【详解】由于，，根据台体的性质可知,
由于平面，平面，所以，
由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面的一个法向量为，
，即，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设二面角为，由图可知为锐角，
所以.
故选：B
71．B
【分析】根据以及的位置，通过空间向量的加减以及数乘将表示为的线性组合.
【详解】因为，所以，
又因为N为中点，所以，
所以，
故选：B.
72．C
【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误，
对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误，
对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使，
所以三个向量共面，
因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面，
所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确，
对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误，
故选：C
73．A
【分析】根据题意，利用，结合题设条件，以及向量的运算法则，即可求解.
【详解】因为分别为棱上的点，，
则
，
故.
故选：A.
74．D
【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解.
【详解】因为分别是的中点，是的中点，
所以，，
则.
故选：D.
75．A
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：A.
76．B
【分析】根据空间向量的加法运算依次判断即可.
【详解】
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中， .
故选：B.
77．AD
【分析】直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、C、D的真假性．
【详解】对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．
对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题．
对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假命题．
对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．
故选：AD
78．BD
【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可.
【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：BD.
79．BC
【分析】根据空间向量基本定理知基底需不共面，从而进行求解.
【详解】对于A：因为，所以共面，故不符题意；
对于B：假设存在，使得，
即，此方程组无解，即不存在，
所以假设不成立，所以不共面，故符合题意；
对于C：假设存在，使得，
即，此方程组无解，即不存在
所以假设不成立，所以不共面，故符合题意；
对于D：因为，所以共面，故不符合题意；
故选：BC.
80．
【分析】根据空间向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为，，若，则，解得.
故答案为：.
81．
【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.
【详解】因为，
所以，
解得.
故答案为：.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
82．
【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.
【详解】已知，，则.
故答案为：
83．
【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由可得，，所以，解得.
故答案为：.
84．
【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.
【详解】由于，故在方向上的投影向量为，
故答案为：
85．
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.
【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，
，
所以，解得.
故答案为：-4.
86．
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
87．
【分析】根据空间向量运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
88．
【分析】根据空间向量的加法运算和模长公式求解.
【详解】由题意，，
于是.
故答案为：
89．
【分析】求出，，，利用空间向量的夹角公式列方程，解方程即可求解
【详解】因为，，
所以，，，
所以，
整理可得：，所以，
所以，解得：，
故答案为：
90．4
【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.
【详解】由空间向量共面定理不妨设，
.
故答案为：4.
91．
【分析】根据向量共面，由共面基本定理即可列方程求解，或者利用共面的结论求解.
【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 ,
故,化简得,
又，所以，解得，
方法二：因为共面，所以，解得.
故答案为:.
92．
【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得.
【详解】根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得.
故答案为：
93．或
【分析】先求出，设，再根据与垂直及的模长列出方程组求解即可.
【详解】，
设，则，解得或
所以的坐标为或.
故答案为：或
94．
【分析】
根据法向量的定义即可求解.
【详解】
由题知，
因为，所以，
设，则，
所以，解得，，，
所以
故答案为：.
95．
【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解.
【详解】由题意向量，
则在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
96．
【分析】利用空间向量的数量积计算即可.
【详解】由题意可知，
所以
.
故答案为：.
97．
【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解.
【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以，
解得.
故答案为：
98．/
【分析】构造空间直角坐标系，应用向量法求点线距离即可.
【详解】如下图，构造空间直角坐标系，则，
所以，
故点P到直线的距离为.
故答案为：
99．
【分析】根据空间向量投影向量的坐标运算即可得答案.
【详解】空间向量，则向量在向量上的投影向量是：
.
故答案为：.
100．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.
【详解】（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得
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2024年空间向量基础性作业1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．（20-21高二上·江苏扬州·期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
2．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
3．（21-22高二下·重庆长寿·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二下·广东深圳·期中）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（22-23高二上·阶段练习）已知向量，，且，则x的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．（22-23高二上·浙江台州·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（20-21高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）若向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
12．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
14．（23-24高二上·北京昌平·期中）平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022高二·全国·专题练习）在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知向量，则（ ）
A．9 B．3 C．6 D．
17．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24高二上·广东广州·期中）已知空间向量，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
20．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
21．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（17-18高二上·广东东莞·期末）已知三棱锥，点M，N分别为边AB，OC的中点，P是MN上的点，满足，设，，，则等于
A． B．
C． D．
24．（20-21高二上·北京平谷·期末）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）
A． B． C． D．
25．（22-23高二上·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，（ ）
A．1 B． C． D．2
26．（22-23高二上·北京昌平·期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A． B． C． D．
27．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
28．（22-23高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
29．（22-23高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
30．（23-24高二上·山东·阶段练行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23高二上·洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
33．（22-23高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（21-22高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
35．（21-22高二上·广东深圳·期末）已知空间中两点，，则（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23高二上·天津津南·期末）正四棱锥中，设，，，.则（ ）
A． B．
C． D．
37．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在平行六面体中，设，，，若点P满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
38．（20-21高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
39．（22-23高二上·广东茂名·期末）已知向量，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
40．（22-23高二上·广东江门·期中）在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
41．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
42．（23-24高二上·河北·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
43．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）设，，，且∥，则（ ）
A． B． C．3 D．4
44．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知，，，若，，共面，则等于（ ）
A． B．9 C． D．3
45．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
46．（23-24高二上·广东广州·期中）若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
47．（21-22高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（23-24高二上·广东广州·期中）已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
49．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ）
A．3 B．
C． D．
50．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
51．（23-24高二上·全国·单元测试）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
52．（23-24高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
53．（20-21高二上·安徽淮北·期中）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
54．（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
55．（22-23高二上·广东广州·期中）已知，若，则（ ）
A．4 B．6 C．5 D．3
56．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．3
57．（22-23高二上·福建泉州·期末）三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
58．（22-23高二上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
59．（22-23高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
60．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
61．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则与共线
C．若，则 D．
62．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
63．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知为平面的一个法向量，点为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
64．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B．4 C．或1 D．4或
65．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线的方向向量，直线的方向向量，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
66．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
67．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
68．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
69．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
70．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
71．（23-24高二上·广东东莞·期中）在四面体中，点M在线段上，且，N为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
72．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
73．（21-22高二下·广东梅州·期末）四棱锥底面为平行四边形，分别为棱上的点，，设，则向量用基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
74．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
75．（21-22高二下·江苏南通·期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
76．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、多选题
77．（2021高二·全国·专题练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
78．（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
79．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
三、填空题
80．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知，，若，则 ．
81．（20-21高二上·广东清远·期末）设向量，，，则实数 .
82．（22-23高二上·天津河西·期中）已知，，则向量的坐标为 .
83．（22-23高二上·广东广州·期末）已知向量，．若，则 ．
84．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知，则在方向上的投影向量为 ．
85．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ．
86．（21-22高二上·北京·期中）已知向量，，则的值为 .
87．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知空间向量，则 ．
88．（23-24高二上·广东广州·期中）若向量，，则 ．
89．（18-19高二·全国·课后作业）已知，，若，则 .
90．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，若三向量共面，则实数 .
91．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
92．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知分别是平面的法向量，且，则 .
93．（23-24高二上·广东深圳·期中）空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 .
94．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点为坐标原点，点，平面的一个法向量为，若，则 .
95．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为
96．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平行六面体中，，，，，则 ．
97．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么
98．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为 ．
99．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
评卷人得分
四、解答题
100．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
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