中小学教育资源及组卷应用平台
2024年空间向量大题通关
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、解答题
1．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出B，D，P，F四点的坐标；
(2)求.
2．（22-23高二上·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
3．（20-21高二上·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
4．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.
(1)试用表示向量;
(2)求.
5．（21-22高二上·山西临汾·期中）如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．
6．（21-22高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数，的值.
7．（22-23高二上·广东茂名·阶段练习）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
8．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
10．（21-22高二·湖南·课后作业）已知空间三点，，．设，．
(1)求，；
(2)求与的夹角；
(3)若向量与互相垂直，求实数k的值．
11．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出四点的坐标；
(2)求．
12．（22-23高二上·山东东营·期末）已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
13．（22-23高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
14．（22-23高二上·北京丰台·期末）在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（22-23高二上·河南洛阳·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，．
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成的角．
17．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
19．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知向量，．
(1)求与的夹角余弦值．
(2)若，求实数的值．
20．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
21．（23-24高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，，设，，．
(1)判断的形状；
(2)若，求的值．
22．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面
23．（10-11高二上·广东深圳·期中）已知空间三点.
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)若向量分别与垂直，且，求的坐标.
24．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
25．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，.
(1)求，；
(2)求平面BCD的一个法向量；
(3)求点到平面BCD的距离.
26．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，求二面角的正弦值．
27．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.
28．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离．
29．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，正三棱柱中，D是的中点，．
(1)证明： 平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
30．（21-22高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱中，点为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
31．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．
(1)用表示；
(2)若，求．
32．（21-22高二上·广东佛山·期中）在平行六面体中，，.M为的中点，若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
33．（23-24高二上·广东深圳·期中）若，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数k的值．
34．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
35．（22-23高二上·重庆江北·阶段练习）已知，；
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求的坐标．
36．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求；
(2)求．
37．（20-21高二上·山东济南·阶段练习）如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设.
（1）试用表示；
（2）已知为对角线的中点，求的长.
38．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)证明：E，F，N，M四点共面．
39．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求EF与CG所成角的余弦值．
40．（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方体中，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
41．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.
(1)证明：AB1//平面；
(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.
42．（21-22高二上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．
43．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
(1)求证： 平面；
(2)证明：EF与平面不垂直．
44．（22-23高二上·广东广州·期中）已知空间中三点、、．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若且、的夹角是钝角，求的取值范围．
45．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．
(1)求与的坐标；
(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．
46．（21-22高二上·广东·期中）在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，E为PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值．
47．（21-22高二·全国·课后作业）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
48．（22-23高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.
(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
49．（22-23高二上·广东汕头·期中）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值．
50．（22-23高二上·广东·期末）已知四棱锥中，，，，，，面面，.
(1)求证：；
(2)求面与面所成的二面角的余弦值.
51．（23-24高二上·广东深圳·期中）在斜三棱柱中，，，.
(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点；
(2)求直线AC1与平面所成角的余弦值．
52．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
53．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
54．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
55．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：平面；
(2)求与平面所成的角的余弦值；
(3)求此几何体的体积．
56．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
57．（23-24高二上·广东深圳·期中）(请用空间向量求解)已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．
(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
58．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．
(1)证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
59．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点
(1)证明：平面.
(2)在直线上是否存在点，使得 平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由.
60．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
61．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点．
(1)设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；
(2)若底面，且，求点到平面ABE的距离．
62．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
63．（2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体均垂直于平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
64．（16-17高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB， ，AD=2，AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP;
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
65．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2．
(1)求点'到平面的距离．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
66．（21-22高二上·广东深圳·期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
67．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外）， 分别是 的中点，且___________.
请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：
①；②；③点在平面的射影在直线上.
(1)求证：；
(2)当与平面所成角最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
68．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设是棱的中点，在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
69．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
70．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，，点在棱上且.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
71．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值.
72．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点，，.
(1)求的面积；
(2)若点在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.
73．（21-22高二上·广东深圳·期中）在正四棱柱中，，P为的中点．
(1)求直线AC与平面ABP所成的角；
(2)求异面直线AC与BP所成的角；
74．（21-22高二上·山东济南·阶段练习）如图，在直棱柱的底面中，，，棱，以为原点，分别以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系
（1）求平面的一个法向量；
（2）求点到直线的距离.
75．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为．
(1)求的长；
(2)求点到平面的距离．
76．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，，；
(2)证明：平面．
77．（22-23高二上·广东深圳·期末）在四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧面为菱形，且平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)设点P在棱上运动，若，且，记直线与平面PBC所成的角为，当时，求的长度．
78．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点．
(1)证明：平面ABP；
(2)若，求点P到平面BCE的距离．
79．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面边长为是菱形，，是对角线和的交点，，为锐角，，点为线段上一动点，且始终有.
(1)求三棱锥的体积；
(2)若二面角为，求此时直线与平面所成角的正弦值.
80．（21-22高二上·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中， ，为的中点，.
(1)证明：平面平面;
(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.
81．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
(1)求证：；
(2)点在线段上，若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
82．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，．
(1)求的长度；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
83．（21-22高二下·广东深圳·期末）如图（），在直角梯形中，，，且，取的中点，连结，并将沿着翻折，翻折后，点分别是线段的中点，如图（）.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
84．（21-22高二上·广东深圳·期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
85．（21-22高二上·广东深圳·期末）图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中.若，将沿折起，连接，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
86．（20-21高二上·广东深圳·期末）如图，三棱锥P—ABC中，PA平面ABC，，，点M为PB的中点.
（I）求证：平面PAC平面PBC；
（II）若二面角P—AC—M的余弦值为，求直线MC与平面PAC所成角的正弦值.
87．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图1，边长为的菱形中，，，，分别是，，的中点.现沿对角线折起，使得平面平面，连接，如图2.
(1)求；
(2)若过，，三点的平面交于点，求四棱锥的体积.
88．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
89．（21-22高二下·广东广州·期末）在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．
(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
90．（21-22高二下·广东广州·期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
(1)若的中点是M，求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
91．（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
92．（19-20高二上·广东广州·期末）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形是平行四边形，四边形直角梯形，，，.
（1）求证：面.
（2）若，与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
93．（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．
(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．
94．（22-23高二上·湖北荆州·期末）在①；②，且直线与平面ABCD所成角为.这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答.
如图所示，四棱台ABCD的上下底面均为正方形，且⊥底面ABCD.
(1)证明：；
(2)若 ，求二面角的正弦值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
95．（21-22高二上·湖北荆州·期末）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．
(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；
(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．
96．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，是上的一点，且平面.
(1)求证：；
(2)若，，为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
97．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.
98．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
99．（23-24高二上·广东广州·期末）五面体的底面是一个边长为4的正方形，，，，二面角的大小为.
(1)求证：；
(2)设点P为棱上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
100．（21-22高二上·广东广州·期末）如图，已知边长为1的两个正方形，所在的平面互相垂直，点M，N分别在正方形对角线AC和BF上运动，且满足（）．
(1)求证：平面；
(2)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）求出，写出；
（2）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点，
所以，又，
；
（2）.
2．(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.
【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面.
（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量.
，.
取，有
∴，，
则，.
∴平面.
（法三）证明：连接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.
平面的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
过D做于，连接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴为二面角的平面角.
在中，，
∴.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
3．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得,再由空间向量的线性运算即可求解;
（2）先由空间向量的线性运算求得,再根据空间向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为点在棱的延长线上,且,
所以,
则.
（2）由题意得,
则,
所以.
5．，，．
【分析】借助空间向量的线性运算即可解答.
【详解】因为
，
所以，，．
6．(1)
(2)，
【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解；
（2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解.
【详解】（1），，
；
（2），，
若，则，解得，，
经检验，符合题意，所以，.
7．(1)
(2)
【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【详解】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在实数使得，
∴，，，联立解得.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
9．(1)；.
(2)
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可；
（2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案.
【详解】（1）由题意，，，
所以，；
（2）由（1）可知，
又，所以，即与的夹角为.
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出结果；
（2）由（1）可知的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果；
（3）由（1）可求出，的坐标，由向量与互相垂直，
可得，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果.
【详解】（1）解：因为，，所以,
所以；
因为，，所以，
所以；
（2）解：由（1）可知，
又，所以，
即与的夹角为.
（3）解：由（1）可知，，
又向量与互相垂直，
所以，所以，
即，解得.
11．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；
（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.
【详解】（1），，
则，，，，
，为中点，.
（2）由（1）得：，，
.
12．(1)
(2)
【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；
(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1） ，，
，，
，
令与的夹角为，
则，
则与的夹角为.
（2） ，，
又与垂直， ，
即，解得.
13．(1)见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中， 平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
, 平面
且 ,
所以 平面,
又因为 平面,所以.
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为 平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．
【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；
（2），
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以为基底即可．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
16．(1)
(2)90°．
【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求得模长.
(2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.
【详解】（1）设，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以
，
所以．
（2）又，，
所以
∴
∴异面直线与所成的角为90°．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案；
（2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）由题意得，
所以
；
（2），
所以
，
，,
，
故，
由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，
所以直线与AC所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；
（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.
【详解】（1），，，，，
，，
于是，
.
（2），
，
又与互相垂直，，
即，
，解得.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）应用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值．
（2）由向量线性运算的坐标表示及垂直关系的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设.
（2）由，又，
所以，则.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）先有面面垂直得到线面垂直，然后建立空间直角坐标系，再根据点到面的距离公式求解即可；
（2）分别求出两个平面的法向量，根据两个平面的夹角的余弦值即为两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值求解即可.
【详解】（1）作中点，
因为与都是正三角形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
所以分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
则，
且，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以点到平面的距离；
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即，令，则，
所以，
由（1）知面的法向量为，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21．(1)△ABC为直角三角形
(2)2
【分析】(1)利用空间中两点的距离公式结合勾股定理知识可判断三角形形状；
(2)由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可.
【详解】（1）由题意得，，，
，所以为直角三角形；
（2）由题意得，，，
，
因为，所以，
解得.
22．(1)见解析；
(2)见解析.
【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可.
【详解】（1）
如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
则，所以，
有；
（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，
则，
令，即，
又，显然，
故平面.
23．(1)
(2)或
【分析】（1）利用空间向量的夹角余弦公式求出，从而得到以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设出，根据空间向量垂直关系和模长，列出方程组，求出的坐标.
【详解】（1），
，
,
∵，
.
故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积.
（2）设.
，且，
，解得或
故或.
24．(1)证明见解析
(2)直线PD与平面EBD所成角的正弦值为
【分析】（1）根据线面垂直的性质、判定定理，结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角定理进行求解即可.
【详解】（1）∵底面，底面，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵底面为直角梯形，，，，
∴在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
设，连接，
则 ，
∴，
∴，
又平面EBD，平面，
∴平面；
（2）∵底面，底面，，
∴，
∵底面为直角梯形，∴，
建立以B为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，
∴，，，
∴，
设平面的一个法向量为，
∴，取，则，
则平面的一个法向量为，
设直线PD与平面所成角大小为θ，
∵，
∴，
故直线PD与平面所成角的正弦值为．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，直接写出结果即可；
（2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，然后计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由点到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，
；
（2）设平面BCD的一个法向量，
则，即，
令，则，，即，
即平面BCD的一个法向量为；
（3）点到平面BCD的距离，
点到平面BCD的距离为.
26．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求二面角.
【详解】（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，
平面，
平面平面，
所以平面ABC．
（2）
由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，
分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设，由题可知，，，，．
由，可得．
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．
设平面的法向量为，
而，，
则有，
取，得．
设平面与平面夹角为，
则，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
27．（答案不唯一）
【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可.
【详解】因为正方体的棱长为3，，
所以，，，则，，
设是平面的法向量，则，，
所以，
取，则，，故，
于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．
28．(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，交线为，
且平面中，，
所以平面，
又平面，
所以,因为，平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）由（1）知，平面且，
所以、、两两垂直
因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，设
所以，，，，，
因为平面平面，交线为，且平面中，，
所以平面，
所以为平面的法向量且，
，
因为直线与平面所成角的正弦值为
所以，解得：
所以，又，，
平面的法向量分别为：，
所以， 令，则，
，
设点C到平面的距离为，
所以.
29．(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接交于，连接，因为正三棱柱的侧面是平行四边形，所以是的中点，而D是的中点，
所以，而平面，平面．
所以 平面；
（2）因为D是的中点，三角形是正三角形，
所以，设F是的中点，显然平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面与平面的法向量分别为，
，，，
则有，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.
(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.
【详解】（1）连接交于点，点为的中点,点为的中点
∵是的中位线，
∴，平面,平面.
∴平面．
（2）如图建立空间直角坐标系
由（1）得，直线到平面的距离即为点C到平面的距离d，
因为，，，，
所以，
且，，
设平面的法向量为，
由于可得，
故取，
得，
因此直线到平面的距离．
31．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算直接表示即可；
（2）将所求数量积化为，由向量数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】（1）.
（2）由题意知：，；
，
.
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的运算求得.
（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的长度.
【详解】（1）由题意可得
，
故.
（2）由条件得，
，
故
.
33．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值；
（2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值．
【详解】（1）由于，
所以，
因为，
所以，解得
（2）由于，
所以
因为，
故，
解得．
34．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可证明；
（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，
，
，，
不在一条直线上，.
（2）设平面的一个法向量为，
，
所以，设，则，
所以，
又因为，
所以点到平面的距离.
35．(1)
(2)或
【分析】（1）利用，即可计算求解.
（2）由已知，可设 ，根据，列方程即可求出.
【详解】（1）由已知得，，得
，解得
（2）设 ，由，可得
，得到，求得，
，则或
36．(1)
(2)0
【分析】（1）记，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；
（2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得.
【详解】（1）记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）．
37．（1）；（2）.
【分析】（1）由可表示出来；
（2）由可计算出.
【详解】（1）
；
（2）由题意知，
，
，
，
.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.
38．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量平行的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据空间共面定理进行证明即可.
【详解】（1）设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系：
则，，，，，，，，
则，
，，
则有，故，
因为平面，平面，
则有平面；
（2），，，
则有，则向量、、共面，
必有E，F，N，M四点共面
39．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据空间向量证明垂直关系即可证明结果；(2)根据空间向量求线线夹角的方法求解.
【详解】（1）建立以点为坐标原点, 所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，则，
所以，即，所以.
（2）由（1）知，
则，
因为与所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.
40．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）先以为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可.
（2）先求出平面的法向量，再根据直线与平面所成的角的正弦值
即可得到答案.
【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设
则，，.
又 为平面的法向量
又平面.
故：平面.
（2）由（1）知，设平面的法向量,
则，即，令，则
设直线与平面所成的角为，则.
故答案为：.
41．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证；
（2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可．
【详解】（1）证明：如图，连，使，连，
由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
在中，、分别为和中点，，
又因平面平面，面，面，
平面．
（2）解：设，以为坐标原点如图建系， 则，，所以、，
设平面的法向量
则，
故可取．
设平面的法向量，则，
故可取，
因为面与面的夹角余弦值为，
所以，即，解得， ．
42．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）由于平面，所以，
由于,
所以平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面与平面所成角为，
则.
43．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面；
（2）建立坐标系求出点的坐标，表示出，因为，所以不垂直，则EF与平面不垂直．
【详解】（1）如图，连结，连结，
因为在正方体中，面是正方形，所以，
是的中点，又因为是的中点，所以且，
因为是的中点，所以，又，所以，
所以四边形是平行四边形，故，
又面，面，所以平面；
（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，所以
，而，故不垂直，
则EF与平面不垂直．
44．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐标，分析可知，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程，即可得解；
（2）根据题意可得出，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可得，，
因为、、三点共线，则，
设，所以，，解得，因此，.
（2）解：若，则，
因为、的夹角是钝角，则，解得且.
因此，实数的取值范围是.
45．(1)；；
(2).
【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出点的坐标，再利用向量的坐标表示作答.
（2）根据长方体的结构特征，求出线段在平面上射影即可求解作答.
【详解】（1）在长方体中，已知，
依题意，，
所以，.
（2）在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图，
即向量在平面上的投影向量为，而，，
所以向量在平面上的投影向量的坐标为.
46．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，连接，用线面平行的判定定理进行证明；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将两个平面的夹角问题转化为向量夹角问题求解．
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为为中点，为中点，
所以，
因为平面，
平面，
所以平面；
（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，0，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，
所以，，，
所以，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
47．(1)或
(2)或
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；
（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：由已知可得，，
所以，，
，
由题意可知，
即，解得或.
（2）解：，
，
由题意，设，所以，，解得或.
因此，.
48．(1)证明见解析
(2)点为的中点
【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.
（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.
【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），
设，则，，，，，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因为平面PAD，设，
所以.
由（1），知，.
因为平面PCB，
所以，
，
所以，，
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.
49．(1)，，.
(2)
【分析】（1）根据向量的平行和垂直，分别列出方程，解得答案;
（2）求出向量＋与＋的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.
【详解】（1）由题意知： ，
∵，∴ ， 解得，
∴，，
又，∴，即，解得，∴．
（2）由（1）得，，
设与夹角为θ，则
.
50．(1)见解析
(2)0
【分析】（1）根据勾股定理得，面面垂直性质定理得面，得，可得平面，即可解决；（2）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，空间向量法解决二面角的余弦值即可.
【详解】（1）
由题知，，，，，
，面面，.
过作，过作，即，连接交于，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为在中，,
所以,
所以，
因为，，，
所以
所以，
因为，
所以,
因为，，
所以在中，,即，
又因为，平面平面且交于，
所以面，
因为面，
所以，
因为平面，
所以平面,
因为平面，
所以.
（2）由（1）得，面，平面，，
作,
所以面，，
所以，
所以建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为，，，
所以,
所以,
设面与面的法向量分别为，
所以
，即，令，得，
，即，令，得，
设面与面所成的二面角为，
所以面与面所成的二面角的余弦值为.
所以面与面所成的二面角的余弦值为0.
51．(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）法一：取线段的中点，连接，应用线面垂直的性质及判定证得平面，即可得结论；法二：利用空间向量加减几何意义、数量积运算律证得、，即得平面，即可得结论；
（2）法一：设，作平面，连接，则即为直线AC1与平面所成角，结合已知、等体积法相关线段长，即可求角的余弦值；法二：应用向量法求线面角即可.
【详解】（1）法一：取线段的中点，连接，
由题意，故，则，于是，
而，则，为等边三角形且为的中点，故，
∵，且面，则面，面，
∴ ，
∵且为的中点，
∴，又，，且面，
∴面，面，则 ，
又，且面，
∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；
法二：取线段的中点，设，，，
由题意得，，故，
由，故，则，
∵，，
∴，代入化简，得，
∵，∴，即，
同理，又，面，
∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；
（2）法一：设，作平面，连接，
则即为直线AC1与平面所成角，
在中，，，，
∴，
由（1）得，，∴，
，由（1）易知：平面与之间的距离为1，
由，则，解得，
在中，，
，直线AC1与平面所成角的余弦值为.
法二：如图，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，故，
设面的法向量，则，令，即，
又，
设线AC1与面所成角为且，则，
，直线AC1与平面所成角的余弦值为.
52．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理确定，根据线面垂直得到，得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）中，，即，
满足，故，
平面，平面，故，
又，平面，故平面；
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，取得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为.
53．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的法向量，由即可证明；
（2）设且，利用向量法求出点到面的距离，即可求出，在由空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
54．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；
（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.
【详解】（1）因为为直三棱柱，
则平面，且，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，且，分别是，的中点，
则，
所以,，
设平面的法向量为，
则，则，取，则，
则平面的一个法向量为，
因为平面，且，
则平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，且，
则点到平面的距离.
55．(1)证明见解析
(2)；
(3) .
【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）利用空间向量法求与平面所成的角；
（3）分别延长至，使，由求解.
【详解】（1）因为直三棱柱，所以面，
又面，所以 ，，
又因为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，
所以，
易知，是平面的一个法向量，
由，且不在平面内，
所以平面·
（2）设与面所成的角为 ，
求得，
设是平面的一个法向量，
则由得，取，得
又因为，
所以，，
则，
所以与面所成的角余弦值为；
（3）分别延长至，使，
则.
故此几何体的体积为．
56．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.
（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.
【详解】（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，且，分别是，的中点，
得，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，
则，
显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.
57．(1)
(2)
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线，所成角为，
所以，
所以异面直线，所成角的余弦值为；
（2），
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
所以，
所以面与面所成角的余弦值为.
58．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值．
【详解】（1）四边形为正方形，．
底面平面．
又平面平面．
平面．
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
由（1）知平面，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，
由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
59．(1)见解析
(2)存在，满足，理由见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证；
（2）根据向量法判断线面是否平行即可.
【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
由中点坐标公式可得，
则，，，
，
，
，，
即，，
又，平面，
平面.
（2）假设存在，使 平面，设，
则，
由（1）知，是平面的一个法向量，
则，
解得，
故存在，满足，使 平面.
60．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
61．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，
【详解】（1）因为底面为矩形，所以. 又平面，且平面，
所以平面.又平面ABE，且平面平面，
所以. 又因为，所以
因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.
（2）如图所示，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设是平面的法向量，则，即
令，则平面的一个法向量为
又因为，所以点到平面的距离为
，
即点到平面的距离为．
62．(1)；
(2).
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦、面面夹角的余弦得解.
【详解】（1）在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，令直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
（2）由（1）知，平面的法向量，而平面的法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
63．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论；
（Ⅱ）方法一：找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.
【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法
由得，
所以，即有.
由， 得，
由得，
由，得，所以，即有，又，因此平面.
［方法二］：向量法
如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此,
由得；由得，
所以平面.
（Ⅱ）［方法一］：定义法
如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
［方法二］：向量法
设直线与平面所成的角为.
由(I)可知,
设平面的法向量.
由即，可取，
所以.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
［方法三］：【最优解】定义法+等积法
设直线与平面所成角为，点到平面距离为d（下同）．因为平面，所以点C到平面的距离等于点到平面的距离．由条件易得，点C到平面的距离等于点C到直线的距离，而点C到直线的距离为，所以．故．
［方法四］：定义法+等积法
设直线与平面所成的角为，由条件易得，所以，因此．
于是得，易得．
由得，解得．
故．
［方法五］：三正弦定理的应用
设直线与平面所成的角为，易知二面角的平面角为，易得，
所以由三正弦定理得．
［方法六］：三余弦定理的应用
设直线与平面所成的角为，如图2，过点C作，垂足为G，易得平面，所以可看作平面的一个法向量．
结合三余弦定理得．
［方法七］：转化法＋定义法
如图3，延长线段至E，使得．
联结，易得，所以与平面所成角等于直线与平面所成角．过点C作，垂足为G，联结，易得平面，因此为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角．易得，，因此．
［方法八］：定义法＋等积法
如图4，延长交于点E，易知，又，所以，故面．设点到平面的距离为h，由得，解得．
又，设直线与平面所成角为，所以．
【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；
方法二： 通过建系，根据数量积为零，证出；
（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；
方法二：根据线面角的向量公式求出；
方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；
方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；
方法五：直接利用三正弦定理求出；
方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；
方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．
64．（1）证明过程详见解析；（2）
【分析】试题分析：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．易知OP为三角形BDF的中位线，所以BF // OP，然后由直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设出点P的坐标，并求出平面APF的法向量为，平面APC的法向量为 ，然后利用法向量夹角与平面夹角的关系列出一个等量关系，从而求出点P的坐标进而求出PF的长．
试题解析：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP，
因为BF平面ACP，OP 平面ACP，
所以BF // 平面ACP．
（2）因为∠BAF=90 ，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以 ， ，，．
因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，
在平面APC中，， ，
所以 平面APC的法向量为 ，
所以 ，
解得，或 （舍）．此时．
考点：①证明直线与平面平行；②二面角的大小问题．
【详解】
65．(1)
(2)
【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，
因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，
所以平面，
由矩形中，因为分别为的中点，可得
以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则到平面的距离为.
（2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，
可得，
即平面与平面的夹角的余弦值为
66．(1)4
(2)0；90°.
【分析】（1）由平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．
（2）由，（），再利用数量积的运算性质展开即可得出．
【详解】（1）设侧棱AA1＝x，
∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
∴1，x2， 0， ， ，
又∵，
∴2＝（）22 2 2 26，
∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，
即侧棱AA1＝4．
（2）∵，（），
∴（） （）（ ）（1﹣1+2﹣2）＝0，
∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．
67．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取，的中点分别为，，连接，，，
选择①：证明，结合，推出平面.证明平面，平面，推出平面平面，得到平面，即可证明；
选择②：连接，证明，即可，推出平面，然后证明平面，平面，推出平面平面，得到平面，即可证明；
选择③：证明平面，推出，然后证明平面，通过证明平面平面，转化证明；
（2）连接，，说明即为与平面所成的角，求出最小值，此时与平面所成角最大， 以点为坐标原点， 为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面和的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）证明：取，的中点分别为，，连接，，，
选择①：
因为，，
所以，即，
又，，
所以平面，
因为，分别为，的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面，
同理可得：平面，
因为，
所以平面平面，
所以平面，
又平面，
所以；
选择②：
连接，则，，
因为，，
所以，
又，，
所以平面，
因为，分别为，的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面，
同理可得：平面，
因为，
所以平面平面，
所以平面，
又平面，
所以；
选择③：
因为点在平面的射影在直线上，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，，
所以平面，
所以，
又，，
所以平面，
因为，分别为，的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面，
同理可得：平面，
因为，
所以平面平面，
所以平面，
又平面，
所以；
（2）连接，，由（1）可知：平面，
所以即为与平面所成的角，
因为，所以当最小时，最大，
所以当，即为中点，最小，
以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，0，，
所以，，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，令，
得，，，
由题意可知：平面的法向量为，0，，
所以，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
68．(1)见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得出结论；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量法即可得出答案；
（3）假设存在，设此时，分别求出，根据，可得存在唯一的实数，使得，列出方程组，解得即可得出结论.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，
，所以平面；
（2）解：作轴平面，则轴在平面中，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
则有，可取，
同理，可取，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：假设存在，设此时，
，
，，
则，
因为，则，
所以存在唯一的实数，使得，即，
所以，方程组无解，与题设矛盾，
所以不存在一点，使.
69．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明，即可证明共面；
（2）求出平面的法向量，求出与法向量夹角的余弦值即可得结论．
【详解】（1）如图，以为轴建立空间直角坐标系，又因为，分别是，的中点.
所以，，，，，，，
，，
，，所以，而，所以，
所以，，，四点共面；
（2）由（1），，
设是平面的一个法向量，
则，取得，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
70．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，计算可得；
（2）求出平面的一个法向量，由向量法求点面距．
【详解】（1）以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．，．，
因为，所以，，
，，，所以，即；
（2）在（1）基础上，，设平面的一个法向量是，
则，取，则，
，
．所以点到平面的距离为．
71．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，连接、，由已知可证平面，平面，从而得证平面平面，进而得证平面；
（2）由底面，，则以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，结合图形由向量法即可求解二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取中点，连接、，
为中点，
，
平面，平面，
平面，
为中点，
，
又、分别为、的中点，
，则，
平面，平面，
平面，
又，
平面平面，
平面，
平面；
（2）
解：底面，，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，
，0，，，0，，，2，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以由图可知二面角的余弦值为.
72．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到为直角三角形，结合，即可求解；
（2）由点在三点确定的平面内，所以存在实数使得，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）(1)由题意三点，，.
可得，可得，所以，
即，所以为直角三角形，
又由，
所以的面积.
（2）（2）由，可得，
因为点在三点确定的平面内，所以存在实数使得，
即,解得.
73．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
（2）求出向量与，根据向量的夹角计算可得；
【详解】（1）（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，化为，
令，解得，．
．
设直线与平面所成的角为，则，
因为
直线与平面所成的角为．
（2）由（1）知，，
,
，
，
故异面直线AC与BP所成的角为.
74．（1）；（2）.
【分析】（1）依题意求得，设为平面的法向量，由可求得结果；
（2）求得的单位方向向量，从而求得，进而由勾股定理可解得结果.
【详解】（1）由题意可知，则.
设为平面的法向量，则，
令，则,所以平面的法向量.
（2），则的单位方向向量为，
又，则，
所以，点到直线的距离=.
75．(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面.
因为，所以.
可以以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，所以，、令，则，，即，
取平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，解得.
即长为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为.
因为，
所以点到平面的距离为.
76．(1)，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量基本定理和向量的线性运算直接求解；
（2）先利用向量法证明出和，再利用线面垂直的判定定理直接证明.
【详解】（1）因为，
，，，
所以，，，.
（2）不妨设，，
所以
，即，
又因为
，即，
又，平面，平面.
所以平面.
77．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，利用面面垂直性质定理得平面，则，根据菱形对角线互相垂直有，则可证平面，则.
（2）以点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，求出平面平面的一个法向量，则可求出线面夹角的正弦值，则可求得的值.
【详解】（1）连接，
平面平面平面平面,
平面,
平面，,
与为菱形的对角线，，
，面
平面，又平面,
.
（2）以点为坐标原点,以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，
则,
设平面的一个法向量为,则
即，令，则,
，，
又,即的长度为1.
78．(1)见解析
(2)
【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平行四边形，则可得平面.
（2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可.
【详解】（1）设为的中点，连接,，
是的中点，，
,且，
，
四边形是平行四边形，，
又平面平面,
平面.
（2）由于侧棱平面，面，
，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,
，，
，，，，
，，，
设平面的法向量,
则有，即，
令,则，
点到平面的距离.
79．(1)
(2)
【分析】（1）由面积为，求得，解三角形得，证明平面得，得，证明，得平面，利用等体积法求的体积；
（2）由二面角为，解得，建立空间直角坐标系，计算直线BM与平面MCD所成角的正弦值.
【详解】（1）在中，，，
则，且为锐角，，
由余弦定理，，即，
由于四边形为菱形，则，且，
，，平面，则平面，
因为平面，所以，
因为为正三角形，，，则，
因为，所以，由于，，平面，
所以平面，
则；
（2）
如图，过点作，连接，
由（1），平面，且平面，则，
所以，则，
由于，，两两垂直，如图建系，
，，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，
设所求角为，那么，
则所求角正弦值为.
80．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD，又平面ABD，从而由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，又由（1）知平面BCD，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.
【详解】（1）证明：因为，为的中点，
所以，又且，
所以平面BCD，又平面ABD，
所以平面平面；
（2）解：由题意，，所以，
由（1）知平面BCD，
所以，所以OA=2，
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，A（0，0，2），，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
所以由，得，令，则，，
所以，
所以，
所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.
81．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用线面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明；
（2）首先由体积公式，确定点的位置，再以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用向量公式，即可求二面角的余弦值.
【详解】（1）由题意得四边形是直角梯形，，
故，，.
又，所以，，（也可以通过余弦定理）
，即，
又平面，平面，
而平面，平面，，
平面，又平面，
；
（2）设点M到平面的距离为，则，
，
∴点为线段的中点，
过点作于，易知为中点，
以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
则，，，，
显然，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则有，取，解得，
设平面与平面夹角为,，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
82．(1)
(2)
【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长；
（2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解．
【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面，
，
又，则，，
则，
所以，
所以．
（2）设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为．
83．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用勾股定理可证得，结合可证得平面，结合线面垂直的性质与判定得到平面，得到；由等腰三角形三线合一得到，进而证得平面，由线面垂直的性质可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接，
，，，为中点，
四边形为正方形，，
翻折后，，，；
又，，平面，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，；
，为中点，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，；
轴平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
84．(1)；
(2).
【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
【详解】（1），，，
，
∴
，
；
（2）∵，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵ ＝8，∴，
设与所成的角为，则.
85．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点E，连接，根据等边三角形中线即为高线，及勾股定理可证得，，从而得到平面，进而证得面面垂直；（2）利用空间向量法或作角求角的几何方法进行求解.
【详解】（1）如图，取的中点E，连接，
，
为等边三角形，为等腰直角三角形，
，又，即，
又平面平面，
又平面平面平面.
（2）（解法一）由（1）知平面，又平面平面，平面平面， ，所以平面，
过点E作交于点H，则平面，所以两两垂直，
以点E为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
则有，，
设为平面的一个法向量，
则.即
令，则
易知，为平面的一个法向量，，
由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.
（解法二）过D作于F，又平面平面，平面平面， ，所以平面，
平面，又平面是二面角的平面角，
又
在中，由余弦定理得，
∴二面角的余弦值为.
86．（I）见详解；（II）.
【分析】（I）要证面面垂直只要证其中一个面内的一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，由PA平面ABC，所以，又，而，可得平面，即可得证；
（II）建立如图空间直角坐标系，设，首先利用面角P—AC—M的余弦值为可得，再根据直线MC与平面PAC所成角的正弦值和直线MC的方向向量和平面PAC的法向量所成角的余弦值的关系，即可得解.
【详解】（I）因为PA平面ABC，所以，
又，而，
所以平面，又平面，
所以平面PAC平面PBC；
（II）
根据题意，以点为原点，以垂直于的射线为轴，以所在直线为轴，
以所在直线为建立如图空间直角坐1标系，
所以，，
设点坐标为，则，
所以（），，
设平面的法向量为，
由可得，
，
设，
由，可得，
，
解得，而，所以，
所以，，
由平面的法向量，
设直线MC与平面PAC所成角，
所以.
87．(1)
(2)
【分析】（1）证明平面，建立空间直角坐标系，得到，，再计算夹角得到答案.
（2）计算平面的法向量为，再计算到平面的距离为，最后计算体积得到答案.
【详解】（1）连接，，平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为，分别是，的中点，所以，，
所以.
（2）连接，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，，所以，
设到平面的距离为，而，，
依题意得四边形是一个菱形，，，
所以，
所以.
88．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理可证得结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求线面角，通过换元法转化为二次函数求最值.
【详解】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故,
又平面，平面,所以平面；
连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点，
M是的中点，在中，有，平面，平面,
所以平面，且平面，平面,,
所以平面平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设，，
则，又M是的中点，
故,，因为，
所以，解得，设，因点P为线段上一点，
则，即，
故，所以，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
即，设直线与平面所成角为，
则
当时，
设，，所以，
当时，所以，
当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【点睛】解决本题第二问关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求出线面角正弦值的表达式，通过换元法转化为二次函数求最值.
89．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，根据平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，作，利用线面垂直的判定可证得平面，平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角的平面角为，由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接，交于点，连接；
，，，，
又，，，
又平面，平面，平面.
（2）取中点，连接；作，垂足为；
为正三角形，；
，，四边形为平行四边形，，
又，，又，平面，
平面；
平面，，
又，，平面，平面；
作，交于点，则，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，
，，即为二面角的平面角，
又，，，；
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设直线和平面所成角为，，故直线和平面所成角的正弦值为
90．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PC的中点F，连接EM，DF，FM，再根据已知得四边形DEMF是平行四边形，得到，然后利用线面平行的判定定理证明；
（2）由平面，，建立空间直角坐标系，求得平面PCE的一个法向量，平面PAB的一个法向量为 ，由 求解可得答案.
【详解】（1）如图所示：
取PC的中点F，连接EM，DF，FM，
因为四边形为矩形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）由平面，，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以 ，
设平面PCE的一个法向量为 ，
则，即 ，
令 ，得，
易知平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，
设平面与平面所成二面角为，
所以.
91．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；
（2）先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
【详解】（1）因为底面四边形是菱形，，
所以是的中点，又是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）底面四边形是菱形，，所以是，的中点，
又是等边三角形，
，又，，
又，平面，
平面.又，
所以两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为2的等边三角形，，可得，
，，，，
，，由已知得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角为.
【点睛】关键点睛：本题第二问是求线面角问题.解题的关键是先根据题意证明平面，可得两两互相垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
92．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由平面平面，可得平面，有，即，再由菱形的性质知，，最后利用线面垂直的判定定理得证；
（2）取的中点，连接，先证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系；由（1）知，平面，从而有，进而求得，然后分别求出平面和平面的法向量与，由，，即可得解．
【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，，
平面，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是菱形，
，
又，、面，
面．
（2）解：取的中点，连接，则，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
故以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，平面，
，平面，
为与平面所成角，即，
在△中，，
，
，0，，，0，，，，，，，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，， ，2，，
同理可得，平面的法向量为，1，，
，，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,
4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.
5. 判断范围,注意正负取值.
93．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，继而证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，结合不等式性质，即可求得答案.
【详解】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又，
平面平面，平面，则平面，
又平面，即得，
四边形为矩形，≌，则,即，
平面，于是平面，平面，
所以平面平面；
（2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故，
以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
∵，，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
由图可知二面角为锐二面角，
从而有，
而，则，,
所以.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是建立合适的空间直角坐标系，从而得到，再根据即可得到其范围.
94．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先证 AC⊥平面D1DB，可得；
（2）在D点建立空间坐标系，若选①直接用向量法求解空间角；若选②，由直线与平面ABCD所成角为得出的长度关系，再用向量法求解空间角.
【详解】（1）证明：∵⊥平面ABCD，AC平面ABCD．∴1
又∵四边形ABCD为正方形，∴
则AC⊥平面D1DB，又D1B平面D1DB，故.
（2）由题意知，DA，DC两两垂直，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
若选①：则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（1，1，2），
∴，，
设平面AB1B与平面BB1C的法向量分别为
则
令，则，
令，则
设二面角大小为θ，则..
∴，
即二面角A—BB1—C 的正弦值为.
若选②：设
则，易知底面ABCD的一个法向量为，
由题意，∴，设，则a=.
故，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（1，1，），
∴ ，
设平面和平面的法向量分别为
则
令，则，
令，则，
设二面角的大小为θ，则.
∴，
即二面角A—BB1—C 的正弦值为.
95．(1)点O在EA的延长线上且
(2)存在，答案见解析
【分析】（1）根据平面的公理2可确定点O的位置，根据三角形全等求得OA的长；
（2）先作辅助线，证明DH⊥平面ABFE，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，求出平面EMC的一个法向量，利用空间量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，如图所示．
因为AO//BF，M为AB的中点，所以，
所，即M是OF的中点,则，
故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，
（2）过D作DH⊥AE于点H，
由已知可得，又，∴EF⊥平面ADE,
则 即为折成的二面角的平面角，，
又平面ADE, ∴，则DH⊥平面ABFE
以H为坐标原点，以HA，HD所在的直线分别为x轴，z轴,，过点H在平面ABFE内作AE的垂线作为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
∴，
设，则
设平面EMC的法向量为 ，
即 ，
取，则，∴平面EMC的一个法向量为，
要使直线DE与平面EMC所成的角为45°，则，即，
解得：或，∵，∴，
∴存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°．
96．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，
由平面，且平面，得，
又平面，，于是平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知平面，平面，则，显然直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，得，
则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
显然平面，则平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，
因此，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
97．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，结合向量夹角公式，即可求解点坐标，进而根据点面距离的向量法即可求解.
【详解】（1）因为在正方形中，有，
又底面，平面，
所以，又，平面,
所以平面，又平面，
所以，又，点是棱的中点，所以有，
又，平面，所以平面，又平面，
所以；
（2）如图，以点为原点，以，，所在直线为，，轴，建系如图，
则,0,,,0,,,0,,，
设点,3,，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取，
由于直线与平面所成角的正切值为，故直线与平面所成角的正弦值为
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
化简可得，即，
所以或（舍，
即点,3,，所以，，，
所以点到平面的距离．
98．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）取的中点，连接、，即可求出，从而得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接，，
为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
（2）取的中点，连接、，易证四边形为正方形，所以，，
则，
所以,又，所以为等边三角形，所以，则，
所以，
又，平面，所以平面，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
99．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由题意，,则为二面角的平面角，即，在中，利用余弦定理求得，然后由勾股定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，求出平面的法向量，利用向量夹角公式结合已知条件列出方程求解即可.
【详解】（1）∵底面是一个边长为4的正方形，∴,
∵，∴,
∴为二面角的平面角，∴
∵，，∴,
在中，，
∴，从而，
∴，∴.
（2）∵,,,平面,
∴平面,
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面与平面的夹角为，
若与重合，平面即为平面，其法向量为，
∴，不合题意；
当与不重合时，设，
∴，∴，
设平面的法向量为，
由，
令，则，，
，
整理得，即，解得或，
∴或.
100．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，要得到平面，只需证明共面即可，通过坐标运算即可得证.
（2）首项求出线段的长最小时的的值，然后分别求出两平面的法向量，最终由法向量的夹角的余弦公式即可得解.
【详解】（1）由题意在正方形中，有，在正方形中，有，
且面面，面面，面，
所以面，
又因为面，所以，
故以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为正方形，的边长均为1，所以，
所以，
又因为，，所以，
所以，即共面，
这表明了存在面内的两点，使得，即，且面， 面，
故平面.
（2）由（1）可知，
故当且仅当时，线段的长最小，此时，
又由（1）可知，
所以，
不妨设平面与平面的法向量分别为，
则有，在两个方程组中令，
解得，即取平面与平面的法向量分别为，
不妨设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024年空间向量大题通关
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出B，D，P，F四点的坐标；
(2)求.
2．（22-23高二上·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
3．（20-21高二上·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
4．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.
(1)试用表示向量;
(2)求.
5．（21-22高二上·山西临汾·期中）如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．
6．（21-22高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数，的值.
7．（22-23高二上·广东茂名·阶段练习）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
8．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
10．（21-22高二·湖南·课后作业）已知空间三点，，．设，．
(1)求，；
(2)求与的夹角；
(3)若向量与互相垂直，求实数k的值．
11．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出四点的坐标；
(2)求．
12．（22-23高二上·山东东营·期末）已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
13．（22-23高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
14．（22-23高二上·北京丰台·期末）在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（22-23高二上·河南洛阳·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，．
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成的角．
17．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
19．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知向量，．
(1)求与的夹角余弦值．
(2)若，求实数的值．
20．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
21．（23-24高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，，设，，．
(1)判断的形状；
(2)若，求的值．
22．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面
23．（10-11高二上·广东深圳·期中）已知空间三点.
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)若向量分别与垂直，且，求的坐标.
24．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
25．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，.
(1)求，；
(2)求平面BCD的一个法向量；
(3)求点到平面BCD的距离.
26．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，求二面角的正弦值．
27．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.
28．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离．
29．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，正三棱柱中，D是的中点，．
(1)证明： 平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
30．（21-22高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱中，点为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
31．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．
(1)用表示；
(2)若，求．
32．（21-22高二上·广东佛山·期中）在平行六面体中，，.M为的中点，若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
33．（23-24高二上·广东深圳·期中）若，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数k的值．
34．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
35．（22-23高二上·重庆江北·阶段练习）已知，；
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求的坐标．
36．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求；
(2)求．
37．（20-21高二上·山东济南·阶段练习）如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设.
（1）试用表示；
（2）已知为对角线的中点，求的长.
38．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)证明：E，F，N，M四点共面．
39．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求EF与CG所成角的余弦值．
40．（22-23高二上·沙坪坝·阶段练习）如图，正方体中，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
41．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.
(1)证明：AB1//平面；
(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.
42．（21-22高二上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．
43．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
(1)求证： 平面；
(2)证明：EF与平面不垂直．
44．（22-23高二上·广东广州·期中）已知空间中三点、、．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若且、的夹角是钝角，求的取值范围．
45．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．
(1)求与的坐标；
(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．
46．（21-22高二上·广东·期中）在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，E为PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值．
47．（21-22高二·全国·课后作业）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
48．（22-23高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.
(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
49．（22-23高二上·广东汕头·期中）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值．
50．（22-23高二上·广东·期末）已知四棱锥中，，，，，，面面，.
(1)求证：；
(2)求面与面所成的二面角的余弦值.
51．（23-24高二上·广东深圳·期中）在斜三棱柱中，，，.
(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点；
(2)求直线AC1与平面所成角的余弦值．
52．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
53．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
54．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
55．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：平面；
(2)求与平面所成的角的余弦值；
(3)求此几何体的体积．
56．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
57．（23-24高二上·广东深圳·期中）(请用空间向量求解)已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．
(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
58．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．
(1)证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
59．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点
(1)证明：平面.
(2)在直线上是否存在点，使得 平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由.
60．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
61．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点．
(1)设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；
(2)若底面，且，求点到平面ABE的距离．
62．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
63．（2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体均垂直于平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
64．（16-17高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB， ，AD=2，AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP;
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
65．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2．
(1)求点'到平面的距离．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
66．（21-22高二上·广东深圳·期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
67．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外）， 分别是 的中点，且___________.
请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：
①；②；③点在平面的射影在直线上.
(1)求证：；
(2)当与平面所成角最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
68．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设是棱的中点，在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
69．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
70．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，，点在棱上且.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
71．（21-22高二上·广东深圳·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值.
72．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点，，.
(1)求的面积；
(2)若点在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.
73．（21-22高二上·广东深圳·期中）在正四棱柱中，，P为的中点．
(1)求直线AC与平面ABP所成的角；
(2)求异面直线AC与BP所成的角；
74．（21-22高二上·山东济南·阶段练习）如图，在直棱柱的底面中，，，棱，以为原点，分别以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系
（1）求平面的一个法向量；
（2）求点到直线的距离.
75．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为．
(1)求的长；
(2)求点到平面的距离．
76．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，，；
(2)证明：平面．
77．（22-23高二上·广东深圳·期末）在四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧面为菱形，且平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)设点P在棱上运动，若，且，记直线与平面PBC所成的角为，当时，求的长度．
78．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点．
(1)证明：平面ABP；
(2)若，求点P到平面BCE的距离．
79．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面边长为是菱形，，是对角线和的交点，，为锐角，，点为线段上一动点，且始终有.
(1)求三棱锥的体积；
(2)若二面角为，求此时直线与平面所成角的正弦值.
80．（21-22高二上·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中， ，为的中点，.
(1)证明：平面平面;
(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.
81．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
(1)求证：；
(2)点在线段上，若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
82．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，．
(1)求的长度；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
83．（21-22高二下·广东深圳·期末）如图（），在直角梯形中，，，且，取的中点，连结，并将沿着翻折，翻折后，点分别是线段的中点，如图（）.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
84．（21-22高二上·广东深圳·期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
85．（21-22高二上·广东深圳·期末）图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中.若，将沿折起，连接，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
86．（20-21高二上·广东深圳·期末）如图，三棱锥P—ABC中，PA平面ABC，，，点M为PB的中点.
（I）求证：平面PAC平面PBC；
（II）若二面角P—AC—M的余弦值为，求直线MC与平面PAC所成角的正弦值.
87．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图1，边长为的菱形中，，，，分别是，，的中点.现沿对角线折起，使得平面平面，连接，如图2.
(1)求；
(2)若过，，三点的平面交于点，求四棱锥的体积.
88．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
89．（21-22高二下·广东广州·期末）在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．
(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
90．（21-22高二下·广东广州·期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
(1)若的中点是M，求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
91．（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
92．（19-20高二上·广东广州·期末）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形是平行四边形，四边形直角梯形，，，.
（1）求证：面.
（2）若，与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
93．（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．
(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．
94．（22-23高二上·湖北荆州·期末）在①；②，且直线与平面ABCD所成角为.这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答.
如图所示，四棱台ABCD的上下底面均为正方形，且⊥底面ABCD.
(1)证明：；
(2)若 ，求二面角的正弦值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
95．（21-22高二上·湖北荆州·期末）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．
(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；
(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．
96．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，是上的一点，且平面.
(1)求证：；
(2)若，，为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
97．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.
98．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
99．（23-24高二上·广东广州·期末）五面体的底面是一个边长为4的正方形，，，，二面角的大小为.
(1)求证：；
(2)设点P为棱上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
100．（21-22高二上·广东广州·期末）如图，已知边长为1的两个正方形，所在的平面互相垂直，点M，N分别在正方形对角线AC和BF上运动，且满足（）．
(1)求证：平面；
(2)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
