必修一第一-三章期中复习（含解析）
文档属性
| 名称 | 必修一第一-三章期中复习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-24 14:44:52 | ||
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文档简介
必修一第一-三章期中复习
一、单选题
1．设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
4．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足 ，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．4
6．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念 性质 结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
8．若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
9．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则b=1
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“2倍跟随区间”
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是
B．的图象关于原点对称
C．在其定义域内单调递减
D．方程有且仅有两根
12．已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称.
C．
D．若在上单调递减，则在上单调递增
三、填空题
13．已知非空集合M同时满足条件：① ；②若 ，则 .那么，这样的集合M一共有 个.
14．若集合A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是 ．
15．已知p： ，q： ，且 q是 p的必要而不充分条件，则a的取值范围为 .
16．设集合 ， ，函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知全集 集合 .
（1）求 ；
（2）若 求 的取值范围.
18．已知函数 （ 为常数），在 时取得最大值2.
（1）求 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调区间和最小值.
19．已知， 且．
（1）证明： ．
（2）若， 求的最小值．
20．已知函数f（x）= + ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）= [f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
22．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数；②f (x) 75恒成立； 恒成立．
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
解：令，，
因为p是q的充分不必要条件，所以，所以.
3．D
解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
4．A
解：对任意，都有成立，
函数在上单调递减，
，解得，故的取值范围是.
5．B
由题意，函数满足 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
又由 ，则 ，所以函数 是周期为2的函数，
则 ， ，
所以 ，故答案为：B．
6．C
由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以。
7．B
显然无理数集和有理数集的并集是实数集，A正确，不符合题意；
的函数值只有两个，的值域为，B错误，符合题意；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，C正确，不符合题意；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，
D正确，不符合题意.
8．C
解：因为，则，且，
若把x看成定值，t看成变量，则，
可知所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
所以；.
9．A,B
解：根据不等式的性质可得：当时，可得：，故A选项正确，
对于B选项：
，因为，所以，且恒成立，则：即，故B选项正确；
对出C选项：设满足，但是此时，故C选项错误；
对D选项；当c=0时，，故D选项错误.
10．A,C,D
对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为，
若为的跟随区间，则，则或 （舍去），A符合题意；
对于B：函数中x的取值范围为 ，
若存在跟随区间（ ），则必有或，
又因为函数在区间上递减，
则有 ，即得 ，不合题意，B不符合题意；
对于C，由已知函数可得，函数在上单调递减，
若存在跟随区间（ ），
则有，即 ，两式作差得：，
即，
又，所以 ，故 ，
所以 ，设，则 ，
即是的一个根；
同理也是的一个根，
即在区间上有两个不相等的实数根，
只需： ，解得 ，C符合题意；
对于D，若函数存在2倍跟随区间，
设定义域为 ，值域为，
当 时，函数在定义域上单调递增，则，
则是方程 的两个不相等的实数根，解得或 ，
故存在定义域为 使得值域为 ，D符合题意，
11．B,D
解：对于A，函数的定义域是，
令函数的值域为，
所以，函数f(x)的值域是，所以A错；
对于B，因为所以函数f(x)的图象关于原点对称，所以B对；
对于C，在函数f(x)的定义域内任取两个数-1和2，因为，所以
不满足减函数的定义，所以C错；
对于D，令则
易得f(x)在和上单调递减，又因为
所以，函数g(x)在与上各存在唯一零点，
即方程f(x)=x+1有且仅有两个根，所以D对。
12．A,B,D
解：A、因为为奇函数，所以，
因为关于对称，所以，
所以，则，
所以，的一个周期为8，
故，所以，
将代替为得，
即，为奇函数，A正确；
B、因为为奇函数，所以的一个对称中心为，
又的一个周期为8，故为的一个对称中心，B正确；
C、因为的一个对称中心为，
所以，
故，C错误；
D、因为在上单调递减，关于对称，
所以在上单调递增，
的一个周期为8，故在上单调递增，D正确.
13．7
因为 ，则 ，所以 中元素可以为三类： ； ；3；
因为M为非空集合，所以集合M一共有
14．-3
解：由题意可得9∈A，且 9∈B．
①当2a﹣1=9时，a=5，此时A={﹣4，9，25}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，不满足A∩B={9}，故舍去．
②当a2=9时，解得a=3，或a=﹣3．
若a=3，A={﹣4，5，9}，B={﹣2，﹣2，9}，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
若a=﹣3，A={﹣4，﹣7，9}，B={﹣8，4，9}，满足A∩B={9}．
综上可得，a=﹣3，
15．[-1，6]
命题p： ，解得 ，
命题q： ，解得 ，
q是 p的必要而不充分条件等价于q是p的充分不必要条件，
所以 ，解得 ，
16．
令 ，则 ，
①若 ，则 ， ，解得： ，不满足 ，舍去；
②若 ，则 ， ，解得： ，即 ，
若 ，则 ， ，解得： ， ；
若 ，则 ， ，解得： ， .
综上所述： 的取值范围为 。
17．（1）解： ，
，
，或
（2）解：①若 为空集，则 ，解得a .
②若 不是空集，则 ，解得
综上所述， , 即 的取值范围是
18．（1）解：由题意知 ,∴ ,
∴
（2）解：∵ ，
∴当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
又 ，
∴ 最小值为
19．（1）证明：，①
②
③
①+②+③得，
即，
当且仅当时等号成立；
（2）解：由，得，即，
所以，
由，得，得，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
20．（1）解：由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，
所以函数的定义域为[﹣1，1]，
又[f（x）]2=2+2 ∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[ ，2]，
所以函数值域为[ ，2]
（2）解：因为F（x）= =a + + ，
令t=f（x）= + ，则 = ﹣1，
∴F（x）=m（t）=a（ ﹣1）+t= ，t∈[ ，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）= ，t∈[ ，2]的最大值．
注意到直线t=﹣ 是抛物线m（t）= 的对称轴．
因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[ ，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t=﹣ ∈（0， ]，即a≤﹣ ，则g（a）=m（ ）= ；
②若t=﹣ ∈（ ，2]，即﹣ ＜a≤﹣ ，则g（a）=m（﹣ ）=﹣a﹣ ；
③若t=﹣ ∈（2，+∞），即﹣ ＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，
综上有g（a）=
（3）解：易得 ，
由﹣ ≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣ ≤gmin（a）= 恒成立，
m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，
只需 ，
解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2
21．（1）解：当时，由，得到，所以，不合题意；
当时，由，得到，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以，不等式的解集为；
③当时，，又因为，
所以，不等式的解集为，
综上所述：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）解：由题意可知，
对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当是取等号，
所以，当且仅当是取等号，
故实数m的取值范围为．
22．解：(1)对于函数模型，当x∈[25， 1600]时，
函数 f (x)是单调递增，则f (x) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立，
若函数恒成立，即，解得x≥60．∴不恒成立，
综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型，不符合公司要求．
(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值，∴，
设恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4，
∵a≥1， ∴1≤a≤2， 故a的取值范围为[1，2].
1 / 1
一、单选题
1．设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
4．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足 ，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．4
6．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念 性质 结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
8．若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
9．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则b=1
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“2倍跟随区间”
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是
B．的图象关于原点对称
C．在其定义域内单调递减
D．方程有且仅有两根
12．已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称.
C．
D．若在上单调递减，则在上单调递增
三、填空题
13．已知非空集合M同时满足条件：① ；②若 ，则 .那么，这样的集合M一共有 个.
14．若集合A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是 ．
15．已知p： ，q： ，且 q是 p的必要而不充分条件，则a的取值范围为 .
16．设集合 ， ，函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知全集 集合 .
（1）求 ；
（2）若 求 的取值范围.
18．已知函数 （ 为常数），在 时取得最大值2.
（1）求 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调区间和最小值.
19．已知， 且．
（1）证明： ．
（2）若， 求的最小值．
20．已知函数f（x）= + ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）= [f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
22．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数；②f (x) 75恒成立； 恒成立．
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
解：令，，
因为p是q的充分不必要条件，所以，所以.
3．D
解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
4．A
解：对任意，都有成立，
函数在上单调递减，
，解得，故的取值范围是.
5．B
由题意，函数满足 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
又由 ，则 ，所以函数 是周期为2的函数，
则 ， ，
所以 ，故答案为：B．
6．C
由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以。
7．B
显然无理数集和有理数集的并集是实数集，A正确，不符合题意；
的函数值只有两个，的值域为，B错误，符合题意；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，C正确，不符合题意；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，
D正确，不符合题意.
8．C
解：因为，则，且，
若把x看成定值，t看成变量，则，
可知所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
所以；.
9．A,B
解：根据不等式的性质可得：当时，可得：，故A选项正确，
对于B选项：
，因为，所以，且恒成立，则：即，故B选项正确；
对出C选项：设满足，但是此时，故C选项错误；
对D选项；当c=0时，，故D选项错误.
10．A,C,D
对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为，
若为的跟随区间，则，则或 （舍去），A符合题意；
对于B：函数中x的取值范围为 ，
若存在跟随区间（ ），则必有或，
又因为函数在区间上递减，
则有 ，即得 ，不合题意，B不符合题意；
对于C，由已知函数可得，函数在上单调递减，
若存在跟随区间（ ），
则有，即 ，两式作差得：，
即，
又，所以 ，故 ，
所以 ，设，则 ，
即是的一个根；
同理也是的一个根，
即在区间上有两个不相等的实数根，
只需： ，解得 ，C符合题意；
对于D，若函数存在2倍跟随区间，
设定义域为 ，值域为，
当 时，函数在定义域上单调递增，则，
则是方程 的两个不相等的实数根，解得或 ，
故存在定义域为 使得值域为 ，D符合题意，
11．B,D
解：对于A，函数的定义域是，
令函数的值域为，
所以，函数f(x)的值域是，所以A错；
对于B，因为所以函数f(x)的图象关于原点对称，所以B对；
对于C，在函数f(x)的定义域内任取两个数-1和2，因为，所以
不满足减函数的定义，所以C错；
对于D，令则
易得f(x)在和上单调递减，又因为
所以，函数g(x)在与上各存在唯一零点，
即方程f(x)=x+1有且仅有两个根，所以D对。
12．A,B,D
解：A、因为为奇函数，所以，
因为关于对称，所以，
所以，则，
所以，的一个周期为8，
故，所以，
将代替为得，
即，为奇函数，A正确；
B、因为为奇函数，所以的一个对称中心为，
又的一个周期为8，故为的一个对称中心，B正确；
C、因为的一个对称中心为，
所以，
故，C错误；
D、因为在上单调递减，关于对称，
所以在上单调递增，
的一个周期为8，故在上单调递增，D正确.
13．7
因为 ，则 ，所以 中元素可以为三类： ； ；3；
因为M为非空集合，所以集合M一共有
14．-3
解：由题意可得9∈A，且 9∈B．
①当2a﹣1=9时，a=5，此时A={﹣4，9，25}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，不满足A∩B={9}，故舍去．
②当a2=9时，解得a=3，或a=﹣3．
若a=3，A={﹣4，5，9}，B={﹣2，﹣2，9}，集合B不满足元素的互异性，故舍去．
若a=﹣3，A={﹣4，﹣7，9}，B={﹣8，4，9}，满足A∩B={9}．
综上可得，a=﹣3，
15．[-1，6]
命题p： ，解得 ，
命题q： ，解得 ，
q是 p的必要而不充分条件等价于q是p的充分不必要条件，
所以 ，解得 ，
16．
令 ，则 ，
①若 ，则 ， ，解得： ，不满足 ，舍去；
②若 ，则 ， ，解得： ，即 ，
若 ，则 ， ，解得： ， ；
若 ，则 ， ，解得： ， .
综上所述： 的取值范围为 。
17．（1）解： ，
，
，或
（2）解：①若 为空集，则 ，解得a .
②若 不是空集，则 ，解得
综上所述， , 即 的取值范围是
18．（1）解：由题意知 ,∴ ,
∴
（2）解：∵ ，
∴当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
又 ，
∴ 最小值为
19．（1）证明：，①
②
③
①+②+③得，
即，
当且仅当时等号成立；
（2）解：由，得，即，
所以，
由，得，得，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
20．（1）解：由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，
所以函数的定义域为[﹣1，1]，
又[f（x）]2=2+2 ∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[ ，2]，
所以函数值域为[ ，2]
（2）解：因为F（x）= =a + + ，
令t=f（x）= + ，则 = ﹣1，
∴F（x）=m（t）=a（ ﹣1）+t= ，t∈[ ，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）= ，t∈[ ，2]的最大值．
注意到直线t=﹣ 是抛物线m（t）= 的对称轴．
因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[ ，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t=﹣ ∈（0， ]，即a≤﹣ ，则g（a）=m（ ）= ；
②若t=﹣ ∈（ ，2]，即﹣ ＜a≤﹣ ，则g（a）=m（﹣ ）=﹣a﹣ ；
③若t=﹣ ∈（2，+∞），即﹣ ＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，
综上有g（a）=
（3）解：易得 ，
由﹣ ≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣ ≤gmin（a）= 恒成立，
m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，
只需 ，
解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2
21．（1）解：当时，由，得到，所以，不合题意；
当时，由，得到，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以，不等式的解集为；
③当时，，又因为，
所以，不等式的解集为，
综上所述：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）解：由题意可知，
对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当是取等号，
所以，当且仅当是取等号，
故实数m的取值范围为．
22．解：(1)对于函数模型，当x∈[25， 1600]时，
函数 f (x)是单调递增，则f (x) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立，
若函数恒成立，即，解得x≥60．∴不恒成立，
综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型，不符合公司要求．
(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值，∴，
设恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4，
∵a≥1， ∴1≤a≤2， 故a的取值范围为[1，2].
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