湖南省长沙市师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

湖南师大附中2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 若角满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面上三个单位向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在定义域上值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知点P在椭圆τ：(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C.
D. 的一个周期为8
11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件满足，则____________．
13. 已知正三棱台高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
14. 已知2024是不等式的最小整数解，则的取值范围为____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布．
（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；
（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值，从样本中该医学指标在上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？
16. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若的面积为2，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，点M，N分别是棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知P(，)是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面积为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．
19. 基本不等式是最基本重要不等式之一，二元基本不等式为．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数（注：）不小于它们的几何平均数（注：），即，当且仅当时，等号成立．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知且．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）当，求的最小值，其中．
湖南师大附中2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A
2.C
3. B
4. B
5. C
6. C
7. D.
8.C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BCD
10. ABD
11. BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13.
14. .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）依题可知，图1第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得，
．
（2）由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在中的有人，
其中被误诊者有人，
记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误诊的2人，
样本空间，
事件，故，，
，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是．
16. （1）
由可得点为线段的中点，设，
圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径，
所以，
因为，所以，
整理可得，
所以点的轨迹方程为，
（2）设圆心到直线的距离为，
因为为的中点，且，的面积为2，，
所以，即，解得，
由弦长公式可得.
17. （1）证明：取的中点为Q，连接，，如图：
又点N是的中点，则且，
又点M是的中点，底面是矩形，
则且，
∴且，∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面；
（2）过点P作交于点E，作交CD于点F，连接，
则，，∴平面，
又平面，∴平面平面，
∵，，，
∴，，，.
设平面平面，可知，
∵平面平面，∴，∴，
取的中点为O，连接、，则平面，，
∴、、两两垂直，
以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,，如图所示，
则，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，
则由，令可得.
设直线与平面所成角为，
则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18. （1）
由题意可得，解得：，，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由(1)可得右焦点，
由题意设直线的方程为：，设直线与椭圆的交点，，，，则中点的纵坐标为，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得：，，∴，
同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标，
∴
，
设，令，则，令，，
，，恒成立，∴在，单调递增，
∴．
∴面积的最大值为：．
19. （1）
由均值不等式得.
而当，时，有，.
所以的最小值是.
（2）（ⅰ）由于，，故对，由均值不等式有
，
.
将二者相乘，得.
再将该不等式对相乘，即得
.
（ⅱ）对，设.
则，.
对，设，.
则，，所以在上递增.
所以对有，对有.
这表明在上递减，在上递增，所以由有.
这就得到，同理有，即
再设，.
则，.
所以在上递减.
而，.
所以一定存在，使得对有，对有.
故在上递增，在上递减，而，结合的单调性，知对任意有.
特别地，有，即，此即.
对，同理有.
而对，显然有.
综上，对任意，有.
先证明一个引理：设，则.
用数学归纳法证明.
①当时，结论显然成立.
②若结论对成立，则对，有
.
从而结论对也成立.
结合①②，可知原结论对无穷多个正整数成立.
③若结论对成立，则对，有
.
从而结论对也成立.
由于原结论对无穷多个正整数成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数成立.
引理证毕，回到原题.
由于我们有，故
.
而当时，有.
所以的最小值是.