北师八上2.7.1二次根式（1）

(共28张PPT)
第二章 实数
2.7.1二次根式（1）
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1、理解二次根式的性质.了解最简二次根式的定义.会利用积的与商的算术平方根的性质化简二次根式.
2、经历探索二次根式概念的过程，理解二次根式的意 义，掌握其运算及应用方法
情景导入
前面，我们学会平方根和算术平方根：
情景导入
前面，我们学会平方根和算术平方根：
1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。记作，读作“正负根号a”
2.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”.
情景导入
1 ．正数有没有算数平方根，负数呢，0的算数平方根是什么？
2 ．求下列各数的算数平方根，并用式子表示.
16， ， 3 ， 121 ， 12
有
没有
0
探索新知
二次根式的概念及有意义的条件
一
观察下列代数式：
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.
总结归纳
探索新知
其中a叫做被开方数．
特点：①都是形如 的式子，
②a都是非负数.
二次根式的概念
一般的，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．
探索新知
例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
探索新知
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号 ；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
1. 表示a的算术平方根；
4. a≥0, ≥0
( 双重非负性)；
注意：一般地，形如 （a≥0)的式子叫做二次根式.
探索新知
思考：（1）当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
x≥2
（2）当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
当x为任意实数时， 在实数范围内都有意义．
当x≥0时， 在实数范围内有意义．
探索新知
总结归纳
求二次根式中字母的取值范围的依据：
1.根号内的式子是非负数。
2.若含有分母，则分母不为零.
探索新知
例： x取何值时,下列二次根式有意义
（1） ；（2）；（3）；
（4）; （5）; (6)
解 ：（1）x≥1 （2）x≤0 （3）x为任意实数
（4） x>0 （5）x≥0 （6）x≠0
探索新知
例：当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
分析： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．
解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0， 所以x≥3且 x≠5.
(2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以2≤x≤5.
探索新知
二次根式的性质及化简
二
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
6
6
20
20
探索新知
思考： 成立吗？为什么？
∵
∴这个等式不成立.
成立吗？为什么？
∵
∴这个等式不成立.
探索新知
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是
公式 的一部分，不应忽略．
积的算术平方根，等于算术平方根的积；
商的算术平方根，等于算术平方根的商．
总结归纳
探索新知
观察化简结果（关键看被开方数），想一想有什么共同特征？
探索新知
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
最简二次根式特点：
1、被开方数不含分母;
2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式;
3、分母不含根号.
总结归纳
最简二次根式概念：
探索新知
例： 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．
(3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是,因为分母中有二次根式．
(2)是．
探索新知
例：化简成最简二次根式：
解:
探索新知
总结归纳
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
分母有理化
当堂检测
1.下列式子不是二次根式的是(　 D 　)
A . B ． C ． D ．
D
2.若 + ＋1在实数范围内有意义，则x满足的
条件是(　 C 　)
A . x≥ B ． x≤ C ． x＝ D ． x≠
C
当堂检测
3.下列二次根式中，最简二次根式的是(　 D 　)
A . B ． C ． D ．
D
4． 能使等式 ＝ 成立的x的取值范围是(　 C 　)
A ． x≠1 B ． x≥0
C ． 1＜x≤2 D ． 1≤x≤2
C
当堂检测
5. 下列式子：① ；② ；③ ；④ .其中二次根式有 个．
2　
6． (1) ＝ 　5 　 ；(2) ＝ 　 　 ．
5 　
　
7. 最简二次根式 和 是同类二次
根式，则x的值为 ．
4　
当堂检测
8. 化简：
(1) ; (2) ；
(1)解： ＝ ＝ × ＝2 .
(2)解： ＝ ＝ × ＝3 .
当堂检测
(3) ; (4) .
(3)解： ＝ ＝ ＝ ＝ .
(4)解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
1、二次根式的定义：形如（a≥0）的式子
2、二次根式的性质
3、最简二次根式及化简
感谢收看