23.3.3相似三角形的性质 同步练习（含答案）华师大版数学九年级上册

23.3.3相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．D、E是△ABC的边AB、AC的中点，△ABC、△ADE的面积分别为S、S1，则下列结论中，错误的是（　　）
A．DE∥BC B．DE=BC C．S1=S D．S1=S
2．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
3．如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：（　　）
A．： B．： C．： D．：
4．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F．连接．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
5．如图，反比例函数的图象经过A，B两点，过点A作轴，垂足为C．过点B作轴，垂足为D．连接AO，连接BO交AC于点E．若，四边形BDCE面积为2，则k的值为（ ）
A． B． C．－5 D．
6．如图，在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则和的面积比为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，点E是边上一点，点F在边延长线上，且，连接，过点A作交于M，交于N，若，，则（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
8．如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为的正六边形，已知桌子的高度为，桌面边长为，则吊灯距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，点、分别在边，上，，，，则的长为 ．
10．如图，在和中，，，则的度数为 ．
11．在直角梯形中，，，，，，点P是边上一动点，若与相似，则的长度是 ．
12．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为1，则的面积为 ．
13．如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则 ．
14．如图，已知正方形的边在的边上，顶点分别在边上，如果，的面积为12，那么的长为 ．

15．如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．如果当时量得，，联结、，那么 ．
三、解答题
16．如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90 .
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AC＝6㎝，AD＝4㎝，求AB的长.
17．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；
（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；
（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为线段AD上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE，交射线CD于点F，垂足为P．
(1)求证：CED∽BCF；
(2)当F为CD的中点时，求tan∠BAP的值；
(3)若ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长．
20．在等腰△ABC中，
(1)如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为 ；
(2)若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．
①根据题意在图2中补全图形；
②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：
思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；
思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；
思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；
……
请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）
(3)小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是 ．（直接给出结论无须证明）
参考答案：
1．D
2．A
3．D
4．B
5．D
6．D
7．C
8．A
9．10
10．40°
11．1或2.8或6
12．3
13．
14．
15．
16．（1）证明：∵AB平分∠CAD ∴∠CAB=∠BAD
∵∠ABC=∠D=90 ∴△ABC∽△ADB
（2）由（1）得△ABC∽△ADB
∴ ，即AB2=AC AD
∴
17．（1）证明：∵DE∥AC，
∴=，
又∵＝．
∴=，
∴DF∥BC；
（2）∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE=DF＝2，
∵BE＝4，
∴BC=4+2=6，
∵DF∥BC，
∴，
∴=．
18．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB10cm；
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图，过P作PH⊥BQ，
则BHBQ＝4﹣2t，PB＝5t，
∴PH∥AC，
∴，即解得：t；
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：t；
③当BQ＝PQ时，如图，过Q作QG⊥AB于G，
则BGPBt，BQ＝8﹣4t，
∵，，
∴，
∴即，
解得：t；
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或；
（3）如图，过P作PM⊥BC于点M，则PB＝5t，
∵AC⊥BC，，
∴，
∴△PMB∽△ACB，
∴，
∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t，
根据勾股定理得，CP2＝PM2＋MC2＝25t2﹣64t＋64，
∵CP＝CQ，
∴25t2﹣64t＋64＝16t2，
∴t（不符题意，舍去）或t，
∴CP＝CQ时，t；
（4）如图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
由（3）可知，PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t．
19．（1）∵四边形是矩形，
，
，
，
，
．
（2）如图1，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
；
，
，
，
解得，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
解得，
，
（3）当时，如图2，
作于点H，则AH＝BH，
，
，
，
，
，
，
∴AE，
∴DE＝；
当PA＝AB时，如图3，
作AM⊥BP于点M，则，
，
，
，
，
，
，
∴整理得CF，
，
，
；
当BP＝AB＝4时，如图4，
则，
，
，
．
综上所述，DE的长为或3或．
20．（1）解：∵ΔABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴∠BAD=30°，
∵线段AD和AE关于直线AB对称，
∴DE⊥AB，
∴∠ADE+∠BAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°-60°=30°；
故答案为：30°
（2）解：解：①作图如下：
②如图，连接AE．
为等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
，
；
（3）解： 如图，连接AE，
∵AC=kBC，AD=kDE，
∴，即，
∵∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE；
∵BC=BD+CD，
∴BC=BD+BE，
∵AC=kBC，
∴k(BE+BD)=AC．