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2024年九年级相似作业
一、相似与作图
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．都是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图2中，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图3中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
2．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
(1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分；
(2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分．
3．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________．
(3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的．
4．（2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图：
(1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）；
(2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）．
5．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
(2)证明和相似．
6．（23-24九年级上·广东深圳·期末）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
(1)在图1中，______；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在上找点P，使得；
②如图3，在上找点P，使得．
7．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）将图中的作下列变换，画出相应的图形：
(1)关于y 轴对称图形；
(2)以B点为位似中心，将放大到2倍．
8．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将作下列变化，请画出相应的图形．
(1)向上平移个单位；
(2)以点为位似中心，相似比为．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形．
(1)的面积为______；
(2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的；
(3)图2中，在上找一点，使得平分的面积；
(4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使．
10．（22-23九年级上·河南南阳·期末）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个）
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使 ；
(3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使 ，且相似比为．
11．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹
(1)在图①中，以线段为边画一个，使它与相似；
(2)如图②，在线段上找一个点P，使；
(3)如图③，在线段上找一点E，连接，使．
13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，点、、、、、、、均在格点上．在给定的网格中画图或填空，要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)图①中，的值为________．
(2)图②中，在找一点，连接、，使．
14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，C为线段外一点．
(1)在图1中，求作四边形，使得，且；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图）
15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标_________；与的周长比是_______，与的面积比是_______．
16．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，请在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段的中点F；
(2)在图②中，画线段上的点G，使得；
(3)在图③中，找出所有格点R，使被线段分成两部分图形的面积比为．
17．（2024·浙江台州·三模）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图．
(1)在图1中画出一个以为顶点的平行四边形；
(2)在图2的边上画点，使．
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，为格点，为与网格线的交点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格内完成画图，画图过程虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)如图1，直接写出______，并在上画一点，使得；
(2)如图2，先将线段平移到，使点为点的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形．
二、相似与证明
19．（22-23九年级上·上海·开学考试）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么．
(1)试写出这个研究结论的证明过程；
(2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长；
(3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由．
20．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，是上一点，，若是上的点，，求的值．
22．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，中，E为边的中点，连并与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为5，求的面积．
24．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
25．（2024·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点E，F分别为边上的动点，且，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．
(1)连接，交于点O，证明：O为的中点；
(2)当，时，求的长；
(3)若，当点E从A开始向上运动到点B时，求点G运动路径的长度．
26．（2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
27．（2024·广东广州·二模）如图，中，是边的中点，，垂足是．
(1)作的高（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的值．
28．（23九年级下广州）中，于点，于点，交于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
29．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．
30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，，P点从A点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接交于点Q．
(1)求证：；
(2)求当t为何值时，．
31．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，是的角平分线，过点D分别作、的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求四边形的边长和面积．
32．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
33．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在与中，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
34．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点B沿向点A运动（点P不与点A，B重合），连接．过点P作，交于点Q．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由．
35．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积．
36．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点，分别在、上，且，
(1)求证：；
(2)若的边长为，，求的长．
37．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求的长．
38．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，以A为圆心，为半径画弧交于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，连接，相交于点O．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接交于点Q，若四边形的周长为40，，求的长．
39．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在和中，,且．求证：
40．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为．
(1)当 时，的面积为？
(2)当 时，使线段的长度为 ？
(3)当与相似时，的值是多少？
41．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论．
三、相似应用
42．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
(1)求小明的身高；
(2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
43．（2024·广东惠州·一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
44．（2024·广东广州·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．
(1)若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度；
(2)设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
45．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少米？
46．（23-24九年级上·广东东莞·期末）近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长（光路图做法：作于点D，延长线交于点E，使得线段和关于对称）．
(1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高，那么小视力表中相应“E”的高是多少m？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，通过计算请直接写出__________m，至少为__________m．
47．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光下的投影，已知该笔筒底面圆的直径，笔筒的高，点在灯光下的投影为点，点在灯光下的投影为点，过点作于点，，点，，，在同一直线上．
(1)求的长；
(2)求点到的距离．
48．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
49．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米．
(1)图中与是否相似？为什么？
(2)求信号发射塔的高度．
50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高．
51．（23-24八年级下·山东烟台·期末）根据以下材料，完成探究任务．
利用相似三角形测高
发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？
分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度．
解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度．
52．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动工具 标杆、卷尺
测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛）180标杆高度400小明到标杆距离400旗杆到标杆距离1200
解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
53．（2024·河南周口·模拟预测）某“创意设计”组设计了一组光源测高仪器，仪器是一根圆柱，在顶部处设计一对投射光源，射出的光线根据所需可进行角度调整．如图，这是在晚上对校园旗杆测量的示意图，，，测量时两束光源恰好垂直，即．已知，，，．求旗杆的高度（结果精确到整数）．
54．（23-24八年级下·山东威海·期末）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度．
55．（23-24八年级下·山东济南·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度．
56．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度．
57．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
58．（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．
59．（2024·陕西咸阳·模拟预测）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计）
60．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．
61．（2024·河南南阳·三模）张老师周末给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量周边某物体(高楼、路灯、大树等)的高度．
善思小组决定测量人民公园一棵高大的柿子树的高度，下面是该小组的部分测量方案及测量数据：
测量工具 标杆，皮尺
测量方案 选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使树的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．这时其他同学测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据 线段表示树，标杆 ，观测者的眼睛到地面的距离 ，观测者的脚到树底端的距离 ，观测者的脚到标杆底端的距离 ．
…
请你根据上述信息，帮善思小组求出树AB的高度．
62．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
63．（2024·陕西渭南·三模）仓颉庙是中国仅存的纪念文字发明创造的庙宇，曾被国务院列为全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完仓颉庙后，准备用所学知识测量仓颉雕塑的高度，如图，雕塑的顶端和底部处均不易到达，雕塑垂直于地面，昕昕在地面上的点处测得雕塑顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案．
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：昕昕只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮尺三种工具．
(1)你所选用的测量工具是______；（填序号）
(2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据（不要求写测量过程）；（线段长度用a、b、c……表示）
(3)根据你的测量数据，计算该雕塑的高度AB．（用含a、b、c……的式子表示）
64．（2024·陕西咸阳·三模）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度．
65．（2024·陕西西安·模拟预测）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是古都西安的标志性建筑．慕梓睿想利用所学的知识测量大雁塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与大雁塔的距离，当他站在点E处时，观察到C、D、B三点共线，表示慕梓睿眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点F处，将镜面做有标记的平面镜水平放置在距F点2步远的点G处（G在线段上），镜面上的标记与点G重合，他站在点F处，恰好在平面镜内看到大雁塔顶端点B与镜面上的标记重合．已知，，，，慕梓睿每步步长约为，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数）
66．（2024·陕西西安·二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为的手机站在广场上离大雁塔的点处（即米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到手机的距离为．则大雁塔的高度为多少米？（精确到）
67．（2024·陕西西安·二模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
四、相似压轴
68．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，请直接写出的值．
69．（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）探究以下问题：
(1)如图①，已知，求证：；
(2)如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，求证：；
(3)如图③，是内一点，，，求证：．
70．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；
（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．
71．（2020·四川成都·中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
72．（2024·河南周口·模拟预测）【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系是 ．
【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长．
73．（22-23九年级下·吉林长春·期中）【问题提出】（1）数学课上，同学们遇到这样的一个问题：如图①，在矩形中，对角线与交于点O，点E是中点，连接，，与交于点F， 当，时，
则______，_______；
【方法探究】（2）言言发现，在图①的矩形中，，航航说，如果将“在矩形中”这一条件改为“在中”，如图②，那么的结论也仍然成立，对于航航的说法，你同意吗？请证明你的结论，
【方法应用】（3）如图③，在中，中线与中线交于点F，点H是的中点，连接并延长交于点G，若，，则_____________，
74．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D是上一点，，连接．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度；
(3)如图③，作交的延长线于点F，求证：．
75．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．
(1)【问题初探】
如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．
请你帮助他们证明这一发现．
(2)【问题应用】
如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G．
①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：；
②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长．
(3)【问题拓展】
如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________．
76．（2024·湖北十堰·二模）如图，正方形的边长为6，点P是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F，E点．
(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；
(2)如图②，当时，求的长；
(3)如图③，当时，求的面积．
77．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】
（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ；
【模型应用】
（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
【变式拓展】
（3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．
78．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题：
(1)如图1，若M是边上的中点且，求的值；
(2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积．
79．（2024·浙江·模拟预测）如图是一个菱形花坛，现计划在花坛中间铺设一块草地，并修建一个水池，已知E，F，G，H分别是各边上的中点．请你解答下列问题：
(1)菱形___________（选填是/不是，下同）轴对称图形，___________中心对称图形；
(2)判断草地的形状，并说明理由；
(3)若水池的面积为，求草地的面积．
80．（2024·湖南娄底·模拟预测）探究与证明
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
【图形认知】
（1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：；
【探究证明】
（2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：；
【拓展运用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积．
81．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图
(1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ；
(2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为 ．
82．（2024·四川成都·模拟预测）在中，，，是边上一点，连接．
(1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
83．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长．
洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
(1)请回答：的度数为__________，的长为__________．
(2)参考洛洛思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长；
②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长．
84．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．
如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：．
小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；
【拓展探究】
(3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：．
85．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是上任意一点，点是射线上一点，连接，．
(1)如图1，当点在线段上时，若，，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，和相交于点．求证：；
(3)如图3，连接，将沿翻折得到，连接，若点是的中点，且，，当取最小值时，求的值．
86．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，，，．
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在边上，求证：；
(3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．
87．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
图1 图2 图3
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求的面积．
88．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图（1），在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，与交于点，过点作交于点．若，求的值．
(1)尝试探究
在图（1）中过点作于点，作于点，则和的数量关系是______，的值是______．
(2)类比延伸
如图（2），在原题的条件下，若，则的值是______（用含的代数式表示），试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图（3），在矩形中，过点作于点，交于点，点是边上一点，与相交于点，过点作交于点．若，（，），则的值是______（用含，的代数式表示）．
89．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
90．（2024·乐山·模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：
①；
②；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．
①求证：，
②的面积是 ．
91．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；
(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．
92．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F．
(1)如图①，当点E与点B重合时，求证：．
(2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)若，求点A到线段的距离．
93．（2024·河南商丘·模拟预测）【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值．
经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交于点K，交BE于点Q，如图3所示……
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P……
（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值：__________．
【类比分析】
（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．
94．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．
(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；
(2)如图②，当D是的中点时，求证：；
(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．
95．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G
(1)如图1，当点E为的中点时，求的值；
(2)如图2，若，求的长；
(3)连接，求的最小值.
96．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）（1）用数学的眼光观察．
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．求的度数；
（2）用数学的思维思考．
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，判断，，三点位置关系，并说明理由；
（3）用数学的语言表达．
如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．
97．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
已知：矩形，是边上一点．
【基本图形】
（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；
【扩展延伸】
（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．
98．（2024·江苏扬州·模拟预测）（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长．
99．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】
（1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值．
【类比探究】
（2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：．
（3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系．
100．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．
(1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长；
(2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求折痕的长．
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2024年九年级相似作业
一、相似与作图
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．都是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图2中，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图3中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
2．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
(1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分；
(2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分．
3．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________．
(3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的．
4．（2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图：
(1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）；
(2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）．
5．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
(2)证明和相似．
6．（23-24九年级上·广东深圳·期末）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
(1)在图1中，______；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在上找点P，使得；
②如图3，在上找点P，使得．
7．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）将图中的作下列变换，画出相应的图形：
(1)关于y 轴对称图形；
(2)以B点为位似中心，将放大到2倍．
8．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将作下列变化，请画出相应的图形．
(1)向上平移个单位；
(2)以点为位似中心，相似比为．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形．
(1)的面积为______；
(2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的；
(3)图2中，在上找一点，使得平分的面积；
(4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使．
10．（22-23九年级上·河南南阳·期末）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个）
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使 ；
(3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使 ，且相似比为．
11．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹
(1)在图①中，以线段为边画一个，使它与相似；
(2)如图②，在线段上找一个点P，使；
(3)如图③，在线段上找一点E，连接，使．
13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，点、、、、、、、均在格点上．在给定的网格中画图或填空，要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)图①中，的值为________．
(2)图②中，在找一点，连接、，使．
14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，C为线段外一点．
(1)在图1中，求作四边形，使得，且；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图）
15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标_________；与的周长比是_______，与的面积比是_______．
16．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，请在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段的中点F；
(2)在图②中，画线段上的点G，使得；
(3)在图③中，找出所有格点R，使被线段分成两部分图形的面积比为．
17．（2024·浙江台州·三模）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图．
(1)在图1中画出一个以为顶点的平行四边形；
(2)在图2的边上画点，使．
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，为格点，为与网格线的交点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格内完成画图，画图过程虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)如图1，直接写出______，并在上画一点，使得；
(2)如图2，先将线段平移到，使点为点的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形．
二、相似与证明
19．（22-23九年级上·上海·开学考试）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么．
(1)试写出这个研究结论的证明过程；
(2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长；
(3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由．
20．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，是上一点，，若是上的点，，求的值．
22．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，中，E为边的中点，连并与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为5，求的面积．
24．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
25．（2024·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点E，F分别为边上的动点，且，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．
(1)连接，交于点O，证明：O为的中点；
(2)当，时，求的长；
(3)若，当点E从A开始向上运动到点B时，求点G运动路径的长度．
26．（2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
27．（2024·广东广州·二模）如图，中，是边的中点，，垂足是．
(1)作的高（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的值．
28．（23九年级下广州）中，于点，于点，交于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
29．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．
30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，，P点从A点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接交于点Q．
(1)求证：；
(2)求当t为何值时，．
31．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，是的角平分线，过点D分别作、的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求四边形的边长和面积．
32．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
33．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在与中，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
34．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点B沿向点A运动（点P不与点A，B重合），连接．过点P作，交于点Q．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由．
35．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积．
36．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点，分别在、上，且，
(1)求证：；
(2)若的边长为，，求的长．
37．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求的长．
38．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，以A为圆心，为半径画弧交于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，连接，相交于点O．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接交于点Q，若四边形的周长为40，，求的长．
39．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在和中，,且．求证：
40．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为．
(1)当 时，的面积为？
(2)当 时，使线段的长度为 ？
(3)当与相似时，的值是多少？
41．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论．
三、相似应用
42．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
(1)求小明的身高；
(2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
43．（2024·广东惠州·一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
44．（2024·广东广州·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．
(1)若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度；
(2)设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
45．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少米？
46．（23-24九年级上·广东东莞·期末）近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长（光路图做法：作于点D，延长线交于点E，使得线段和关于对称）．
(1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高，那么小视力表中相应“E”的高是多少m？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，通过计算请直接写出__________m，至少为__________m．
47．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光下的投影，已知该笔筒底面圆的直径，笔筒的高，点在灯光下的投影为点，点在灯光下的投影为点，过点作于点，，点，，，在同一直线上．
(1)求的长；
(2)求点到的距离．
48．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
49．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米．
(1)图中与是否相似？为什么？
(2)求信号发射塔的高度．
50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高．
51．（23-24八年级下·山东烟台·期末）根据以下材料，完成探究任务．
利用相似三角形测高
发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？
分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度．
解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度．
52．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动工具 标杆、卷尺
测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛）180标杆高度400小明到标杆距离400旗杆到标杆距离1200
解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
53．（2024·河南周口·模拟预测）某“创意设计”组设计了一组光源测高仪器，仪器是一根圆柱，在顶部处设计一对投射光源，射出的光线根据所需可进行角度调整．如图，这是在晚上对校园旗杆测量的示意图，，，测量时两束光源恰好垂直，即．已知，，，．求旗杆的高度（结果精确到整数）．
54．（23-24八年级下·山东威海·期末）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度．
55．（23-24八年级下·山东济南·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度．
56．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度．
57．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
58．（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．
59．（2024·陕西咸阳·模拟预测）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计）
60．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．
61．（2024·河南南阳·三模）张老师周末给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量周边某物体(高楼、路灯、大树等)的高度．
善思小组决定测量人民公园一棵高大的柿子树的高度，下面是该小组的部分测量方案及测量数据：
测量工具 标杆，皮尺
测量方案 选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使树的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．这时其他同学测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据 线段表示树，标杆 ，观测者的眼睛到地面的距离 ，观测者的脚到树底端的距离 ，观测者的脚到标杆底端的距离 ．
…
请你根据上述信息，帮善思小组求出树AB的高度．
62．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
63．（2024·陕西渭南·三模）仓颉庙是中国仅存的纪念文字发明创造的庙宇，曾被国务院列为全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完仓颉庙后，准备用所学知识测量仓颉雕塑的高度，如图，雕塑的顶端和底部处均不易到达，雕塑垂直于地面，昕昕在地面上的点处测得雕塑顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案．
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：昕昕只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮尺三种工具．
(1)你所选用的测量工具是______；（填序号）
(2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据（不要求写测量过程）；（线段长度用a、b、c……表示）
(3)根据你的测量数据，计算该雕塑的高度AB．（用含a、b、c……的式子表示）
64．（2024·陕西咸阳·三模）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度．
65．（2024·陕西西安·模拟预测）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是古都西安的标志性建筑．慕梓睿想利用所学的知识测量大雁塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与大雁塔的距离，当他站在点E处时，观察到C、D、B三点共线，表示慕梓睿眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点F处，将镜面做有标记的平面镜水平放置在距F点2步远的点G处（G在线段上），镜面上的标记与点G重合，他站在点F处，恰好在平面镜内看到大雁塔顶端点B与镜面上的标记重合．已知，，，，慕梓睿每步步长约为，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数）
66．（2024·陕西西安·二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为的手机站在广场上离大雁塔的点处（即米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到手机的距离为．则大雁塔的高度为多少米？（精确到）
67．（2024·陕西西安·二模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
四、相似压轴
68．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，请直接写出的值．
69．（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）探究以下问题：
(1)如图①，已知，求证：；
(2)如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，求证：；
(3)如图③，是内一点，，，求证：．
70．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；
（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．
71．（2020·四川成都·中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
72．（2024·河南周口·模拟预测）【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系是 ．
【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长．
73．（22-23九年级下·吉林长春·期中）【问题提出】（1）数学课上，同学们遇到这样的一个问题：如图①，在矩形中，对角线与交于点O，点E是中点，连接，，与交于点F， 当，时，
则______，_______；
【方法探究】（2）言言发现，在图①的矩形中，，航航说，如果将“在矩形中”这一条件改为“在中”，如图②，那么的结论也仍然成立，对于航航的说法，你同意吗？请证明你的结论，
【方法应用】（3）如图③，在中，中线与中线交于点F，点H是的中点，连接并延长交于点G，若，，则_____________，
74．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D是上一点，，连接．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度；
(3)如图③，作交的延长线于点F，求证：．
75．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．
(1)【问题初探】
如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．
请你帮助他们证明这一发现．
(2)【问题应用】
如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G．
①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：；
②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长．
(3)【问题拓展】
如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________．
76．（2024·湖北十堰·二模）如图，正方形的边长为6，点P是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F，E点．
(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；
(2)如图②，当时，求的长；
(3)如图③，当时，求的面积．
77．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】
（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ；
【模型应用】
（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
【变式拓展】
（3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．
78．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题：
(1)如图1，若M是边上的中点且，求的值；
(2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积．
79．（2024·浙江·模拟预测）如图是一个菱形花坛，现计划在花坛中间铺设一块草地，并修建一个水池，已知E，F，G，H分别是各边上的中点．请你解答下列问题：
(1)菱形___________（选填是/不是，下同）轴对称图形，___________中心对称图形；
(2)判断草地的形状，并说明理由；
(3)若水池的面积为，求草地的面积．
80．（2024·湖南娄底·模拟预测）探究与证明
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
【图形认知】
（1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：；
【探究证明】
（2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：；
【拓展运用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积．
81．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图
(1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ；
(2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为 ．
82．（2024·四川成都·模拟预测）在中，，，是边上一点，连接．
(1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
83．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长．
洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
(1)请回答：的度数为__________，的长为__________．
(2)参考洛洛思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长；
②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长．
84．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．
如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：．
小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；
【拓展探究】
(3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：．
85．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是上任意一点，点是射线上一点，连接，．
(1)如图1，当点在线段上时，若，，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，和相交于点．求证：；
(3)如图3，连接，将沿翻折得到，连接，若点是的中点，且，，当取最小值时，求的值．
86．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，，，．
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在边上，求证：；
(3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．
87．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
图1 图2 图3
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求的面积．
88．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图（1），在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，与交于点，过点作交于点．若，求的值．
(1)尝试探究
在图（1）中过点作于点，作于点，则和的数量关系是______，的值是______．
(2)类比延伸
如图（2），在原题的条件下，若，则的值是______（用含的代数式表示），试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图（3），在矩形中，过点作于点，交于点，点是边上一点，与相交于点，过点作交于点．若，（，），则的值是______（用含，的代数式表示）．
89．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
90．（2024·乐山·模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：
①；
②；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．
①求证：，
②的面积是 ．
91．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；
(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．
92．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F．
(1)如图①，当点E与点B重合时，求证：．
(2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)若，求点A到线段的距离．
93．（2024·河南商丘·模拟预测）【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值．
经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交于点K，交BE于点Q，如图3所示……
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P……
（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值：__________．
【类比分析】
（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．
94．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．
(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；
(2)如图②，当D是的中点时，求证：；
(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．
95．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G
(1)如图1，当点E为的中点时，求的值；
(2)如图2，若，求的长；
(3)连接，求的最小值.
96．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）（1）用数学的眼光观察．
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．求的度数；
（2）用数学的思维思考．
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，判断，，三点位置关系，并说明理由；
（3）用数学的语言表达．
如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．
97．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
已知：矩形，是边上一点．
【基本图形】
（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；
【扩展延伸】
（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．
98．（2024·江苏扬州·模拟预测）（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长．
99．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】
（1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值．
【类比探究】
（2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：．
（3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系．
100．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．
(1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长；
(2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求折痕的长．
参考答案：
1．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接和的中点并延长交于点，即可得到答案；
（2）根据位似图形的性质得到，，取中点和上一点，连接并确定其中点，取上一点，连接并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例得到点为的中点，则即为所求作；
（3）首先确定点关于的对称点：取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点关于对称；过点作的垂线，确定点：取格点，使得为等腰三角形，连接确定点，连接并延长确定点，连接并延长，交于点，交于点，连接，即可获得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握平行四边形和相似三角形的性质是解题的关键，
（1）根据平行四边形的对角线互相平分作图；
（2）根据网格线是平行的得出相似三角形，再利用相似三角形的性质作图．
【详解】（1）解：如下图：线段即为所求；
如图：根据勾股定理可得：，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
（2）解：如下图1，2，3：线段、、即为所求．
如图：
，
，
，
∴点、、为的三等分点，
∴点、为的三点等分点，
过的三等分点画出即可．
如图1，2，3：、、即为所求．
3．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
（1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可；
（2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可．
（3）根据位似的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵点是的中点，
点是的中点，
根据作图可知：，，
点的坐标为；
（3）解：如图，即为所求．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了位似变换以及中心对称，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于原点对称图形的性质得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）如图所示：，即为所求；
（2）如图所示：，即为所求．
5．(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查作图 位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
（1）根据和位似，且位似比为作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
，，，，，，
，，，
∴，
∴．
6．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）根据网格性质可得，进而可得，即得；
（2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可；
②利用对称，即可图形转化为（1）的形式．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）①如图中，点P即为所求；
②如图中，点P即为所求；
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可．
本题考查了轴对称作图，位似作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，
故对称坐标为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
8．(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查图形的平移，画位似图形，掌握图形平移的方法，位似图形的画法上解题的关键．
（1）根据图形平移的方法即可求解；
（2）根据位似图形的做法，延长，使得，即即可求解．
【详解】（1）解：向上平移4个单位，作图如下，
∴即为所求图形；
（2）解：以点为位似中线，相似比为，作图如下，
∵，
∴，即相似比为2，
∴即为所求图形．
9．(1)6
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算公式是解题的关键．
（1）根据所给图形可知是直角三角形，分别求出和的长即可；
（2）根据题意，画出旋转后的图形即可；
（3）找出的中点即可解决问题；
（4）将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，即，再根据平行线分线段成比例计算即可求解；
【详解】（1）由勾股定理可得：
，
，
，
，
是直角三角形，
．
故答案为：．
（2）
即为所求作的三角形．
（3）
点即为所求作的点．
（4），
，
由勾股定理可得，
，
，
．
点即为所求作的点．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使，作出图形即可；
（2）由图及勾股定理可知，进而可得根据相似三角形的判定作出图形即可；
（3）取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点中任取两个即为所求；
（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，，
，
又，
，
是直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图，取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求，
如图：，
四边形是平行四边形，
，
则：，
∴，
相似比为：．
11．见解析
【分析】本题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，作的角平分线交于，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，点即为所作，
∵，，
∴，
由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据相似三角形的性质得出，找到格点，，连接，即可求解；
（2）勾股定理求得，取格点，，则，根据相似比为，即可得出
（3）连接交于点，连接，，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵，，，
∴，
（2）解：如图所示，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，连接交于点，连接，，点即为所求，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
13．(1)
(2)作图见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，
（1）证明，根据相似三角形的性质可得答案；
（2）由图②可知，，，而，点需要满足，且与是对应边，它们的比为，所以在上取点，使即可；
通过作图正确地构造出所需要的相似三角形是解题的关键．也考查了正方形的性质．
【详解】（1）解：如图①，
∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为，
故答案为：；
（2）如图②，取格点，连接、，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则点及、即为所作．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，关键是掌握基本作图：作一个角等于已知角；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（1）由基本作图：作一个角等于已知角，即可作出，在上截取，即可得到所要作的四边形．
（2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算．
【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求作的四边形，
（2）解：如图2，
，
，
，
，
与的面积比为．
故答案为：．．
15．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，，
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似的性质，画出即可；
（3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知，，
∵翻折，
∴，
∵与的相似比为
∴与的相似比为，
∴与的周长比是，与的面积比是；
故答案为：，，．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的判定和性质，三角形中位线，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．
（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求；
（2）取格点，连接交于点，此时；
（3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解．
【详解】（1）解：点F如图①所示：
；
（2）解：如图②：
；，
；
（3）解：点和如图③所示．
．
17．(1)作图见解析（答案不唯一）
(2)作图见解析
【分析】本题考查负值作图，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，根据题意，结合平行四边形性质、相似三角形的性质作图即可得到答案．
（1）由平行四边形性质，取的矩形，连接对角线；取的矩形，连接对角线；取的矩形，连接对角线；任选一个即可满足题意；
（2）将点向下平移1个单位长度得到；将点向上平移3个单位长度得到，连接与交于点，根据相似性质即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：
即是所求平行四边形（或或均可）；
（2）解：如图所示：
点即为所求．
18．(1)，作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造相似三角形解决问题，构造等腰直角三角形寻找点；
（2）先平移得到，构成等腰梯形，利用对称性作出的平行线,
延长，交于点即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
如图，将绕点逆时针旋转得，
易找到点的对应点（与第6列网格线交点），
连接交于点，
点即为所求．
（2）如图，先平移得到，
取格点构成等腰梯形，
连接，交等腰梯形对称轴于点，
连接并延长交于点，
连接并延长，交于点，
四边形即为所求．
19．(1)见解析
(2)
(3)结论依然成立，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）过点C作，交的延长线于点E，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求证；
（2）由勾股定理得 ，由（1）同理可证，可得，即可求解；
（3）过点D作，交延长线于E， 同理可证，由相似三角形的性质得，即可得证；
掌握相似三角形的判定及性质，构建相似三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点E，
，
平分，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：由折叠得：
，
，
．
在中，
，
由（1）同理可证：，
，
即，
，
解得：，
；
（3）解：结论依然成立．；
理由如下：
如图，过点D作，交延长线于E，
，
，
由（1）同理可证，
，
．
20．(1)见详解
(2)26
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键．
（1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案；
（2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如下图，过点作于点，交于点，
∵，
∴可设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键．
过作，得出，根据相似三角形的性质即可求解；
【详解】解：过作，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
22．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，
，
，
．
（2）四边形是正方形，
．
为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得．
【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再根据为边的中点，，即可证得，从而得到；
（2）根据，可得，再根据四边形为平行四边形，易得，根据，即可得到，从而解题．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
为边的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
24．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
25．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定是解题的关键．
（1）证明，即可得答案；
（2）过E点作于M点，过G点作于N点，连接DN，DG．证明，四边形ABME是矩形，进一步利用勾股定理进行解答即可；
（3）证明点运动路径为线段KL，过D作，垂足为Q，进一步求出答案即可．
【详解】（1）解：如图，
正方形，
，
又，
，
为的中点
（2）过E点作于M点，过G点作于N点，连结．
如图，
，
又，
，
四边形是矩形，
，
在中，
．
（3）绕点F逆时针旋转得到线段，O为中点
又
，
过O作，垂足为P，
过O作，取
，
又，
，
点在定直线上
当E点在A处时，点G在L处
当E点在B处时，点G在K处
点运动路径为线段
过D作，垂足为Q
，，
，，
在上取一点Z，使得，连接
设，则，
在中，
解得
即G运动路径的长度为
26．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质；
（1）根据矩形的性质得出，根据，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
（2）解：在中，
即
解得
27．(1)作图见详解
(2)
【分析】本题主要考查尺规作垂线，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线，构造相似三角形，结合其判定和性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，作射线交于点，即可求解；
（2）根据都是直角三角形，点为中点，可得点四点共圆，由可得是等腰直角三角形，结合，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，于点，
∴即为所求线段；
（2）解：如图所示，设交于点，
∵，中，，点是的中点，
∴点四点在以点为圆心，以为直径的圆上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，
∴，
∴．
28．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
（1）由垂线的定义可得，结合即可得出；
（2）由得出，证明得出，证明，即可得证．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
29．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是角平分线，
∴．
∵，，，
∴，解得，经检验符合题意．
故的长为．
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，，进而可得判定；
（2）首先证明，结合相似三角形的性质即可得到的值．
【详解】（1）证明∶四边形是矩形，
（2）当时，；
解得∶，
即当时，．
31．(1)证明见详解；
(2)；
【分析】本题考查菱形的判定，菱形面积，三角形相似的判定与性质：
（1）根据，，得到平行四边形，根据是的角平分线得到，根据得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）根据得到，即可得到菱形的边长，从而得到，结合菱形的面积等于两对角线积的一半即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵,
∴，
∴，
设菱形的边长为，
∵，，
∴，
解得：，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
．
32．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
（1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证；
（2）先得出四边形为平行四边形，则，根据相似三角形的性质得出，求出，即可解答；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
33．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可；
（2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴．
34．(1)见解析
(2)
(3)当点P运动到边的中点时，，理由见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可；
（2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求；
（3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，，
，
设，则，
，
解得，
；
（3）解：当点P运动到边的中点时，，理由如下：
P是的中点，
，
，
，即，
，
，
，
又，
．
35．(1)见解析；
(2)边长为，面积为．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由平分，得，则，所以，即可证明四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得，，，则，，所以，则，即可证明，得，求得，所以，，进而可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵菱形的两条对角线交于点O，
∴，，，
∴，，
∵于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为：，
∴菱形的边长为，面积为．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，证明，是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质；
（1）根据三角形外角的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（2）根据，可得，由，，可得，，由，求得，，证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
37．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，即可得到，进而得到，然后证得，根据平行四边形判定得到四边形是平行四边形，再由，即可证得平行四边形是菱形；
（2）由菱形对角线的性质得到，，，然后证明，可得，根据题意得，，由勾股定理得，进而得到，由代入已知值即可求出的长．
【详解】（1）证明：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：平行四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键．
38．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到是的角平分线且，即可得到，由平行四边形得到，即可得到，可得，即可得到证明；
（2）先求得菱形边长为，证明，利用相似三角形的性质，列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵以A为圆心，为半径画弧交于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，且周长为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
39．见解析
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
40．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）经过秒，的面积等于9，先用含的代数式分别表示和的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；
（2）根据勾股定理求得，根据线段的长度为，建立方程，解方程，即可求解；
（3）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，则．
，
由题意得，
解得，
所以运动时间为；
（2）解：在中，，
∵，，
∴
解得：或，
∴或时，使线段的长度为
故答案为：或．
（3）解：若当时，．
即，
解得；
当时，．
即，
解得．
综上所述，当与相似时，的值是或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
41．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质，可得到，，证明两三角形全等，可得到对应角相等，进而得到答案；
（2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似；
（3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∵四边形是菱形，点是延长线上一点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
在中，
，
∴；
（3）解：当时，，证明如下：
由（2）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
整理可得．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间的关系．
42．(1)米
(2)变短了，变短了米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，得出，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
43．（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【分析】本题考查了相似三角形的的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，
∴，
，
；
② ，，，，
．
．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
44．(1)2米
(2)，说明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；
（1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米；
（2）由（1）得，，则，据此可得，当，即时，，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴米，
∴蜡烛的像的长度为2米；
（2）解：由（1）得，
∴，即，
∴，
当，即时，，
∴，即，
∴物高大于像高，即呈缩小的像．
45．旗杆高度为8米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
，
即，
，
旗杆高度为8米．
46．(1)
(2)
【分析】本题为考查了相似三角形应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）证明，得到，代入相关数值即可求解；
（2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
又∵，
，
，
由题意知，，，，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是；
（2）解：由题意知，，
∵，，
，
∵，
，
，
由题意知，，，
，
，
．
故答案为：2；0.64．
47．(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，
（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】（1）解：∵笔筒的高，即，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，点，，，在同一直线上，
∴，
∴
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：的长为；
（2）根据题意：，
∴，，
∴，
∴，
∵笔筒的高，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴．
答：点到的距离为．
48．(1)旗杆的高度约为10米
(2)不可以．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用：
（1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可；
（2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度．
【详解】（1）解：由题意，可知．
∴．
又∵，
∴．
∴，即．
∴（米）．
答：旗杆MN的高度约为10米．
（2）解：不可以．
理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可）
49．(1)相似，理由见解析
(2)19.8米
【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
【详解】（1），，
，
，
（2），
，
即，
（米），
信号发射塔的高度为19.8米．
50．小明的身高是米
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N，
设小明的身高为米，米，则米，米，
由题意得：，，米，
，，
，，
即，
，
解得，
则，解得：
经检验，是所列分式方程组的解，
答：小明的身高是米．
51．
【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，连接．
，
．
．即．
．
同理，．
．即．
．
解得，．
．
∴围墙的高度为．
52．旗杆的高度为
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，作于，交于，证明四边形、、是矩形，，再利用相似三角形的性质可得答案；
【详解】解：如图，作于，交于，
由题意得：，，，
，四边形、、是矩形，
，，，
∴，，
∵，
，
，
，
，
．
∴旗杆的高度为；
53．
【分析】如图，过点作交于点，交于点．先证四边形，四边形，四边形是平行四边形，，，，进而证明，得．即，求解即可得解．
【详解】解：如图，过点作交于点，交于点．
∵，，
∴四边形，四边形，四边形是平行四边形，
∴ ，，，
∴，，，，即．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．即，
解得，则．
答：旗杆的高度约为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，垂直定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
54．大拇指的高度为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
∴．
∴．
由题意可得：，
∴．
∴．
∵，
∴，即，解得：．
将代入，得．解得．
∴大拇指的高度为．
55．真身宝塔的高度为48米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论．
【详解】解：由题意知，，
，
，
由题知，，
，
，
，
，
米，米，米，
，
米．
，
米，
答：真身宝塔的高度为48米．
56．咸阳奥体中心的高度为50．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，
，
，
由题意得： ， ， ，
，
，，
，
，
，
解得：，
善咸阳奥体中心的高度为50．
57．米
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴真身宝塔的高度为米．
58．古塔的高度为96米
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
，
，
米，米，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义，
故米．
答：古塔的高度为96米．
59．21.5米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由求出，再由求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，即，
．
，，
，
，
，
，即，
，
答：该雕像的高度为21.5米．
60．米
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可．
【详解】解:根据题意可知, 均垂直于地面,
，
，
，
，
，
解得 ，
∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ，
，
，
，
，
解得 米．
61．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线的性质：过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
， ， ，
，
由题意得，
，
，即，
，
，
答：树的高度为 ．
62．问题一：；问题二：；问题三：见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得．
问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得；
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【详解】解：问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
63．(1)①③
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）根据实际情况选取工具即可；
（2）建立相似三角形即可；
（3）根据相似三角形的性质列出比例关系即可．
【详解】（1）解：根据题意可选：①③；
（2）测量示意图如图所示：
测得，．
（3）∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
，
即，
．
64．47米
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．先证明，利用相似比得到，再证明，利用相似比得到，利用等量代换得到，进而得到，解得的长，据此求解即可求出的长．
【详解】解：由题知，，，
，
．
由题知，，，
，
．
，
．
米，米，米，
，
米．
，
，
米，
答：真身宝塔的高度为47米．
65．大雁塔高度约为65米
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，延长交于M，则四边形是矩形，可得；，证明，得到，设，则，则可得，进而得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于M，则四边形是矩形，
∴；，
∵，，
∴，
由光的反射定律可知，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴大雁塔的高度约为65米．
66．大雁塔的高度约为．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，
，
，
由题知：，，，
，
，
，即，
解得：．
答：大雁塔的高度约为．
67．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行投影．先证，推出；再根据平行投影的性质，推出，，进而可得，代入数值求出，进而可得小雁塔的高度．
【详解】解： ，，
，
又 ，
，
；
由平行投影可知，
，
又 ，
，
，
，即，
解得，
代入，得，
解得，
即小雁塔的高度为．
68．问题背景：见解析
尝试应用：3
拓展创新：4
【分析】问题背景：由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用：连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案；
拓展创新：过点作的垂线，两垂线交于点，连接，由直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，再根据勾股定理即可求得．
【详解】问题背景：证明：，
，，
，，
；
尝试应用：解：如图1，连接，
，，
，
由（1）知，
，，
在中，，
，
，
，，
，
；
拓展创新：解：如图2，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键.
69．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，即可得证；
（2）由已知可得，再根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，，再由对顶角相等，即可得证；
（3）由三角形外角的定义和已知等量代换可得，再由，可得，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，，
，即，
．
（2）证明： ，，
，
，，
，即，
，
，
，
又 ，
．
（3）证明： ，，
，即，
又 ，
，
，
又 ，
，即，
，
，
又 ，
，
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
70．（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论；
（2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论；
（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∴CF=BD，
故答案为：CF=BD，CF⊥BD；
（2）BD=CF成立．
理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ，
由（1）得AC=AB，AF=AD，
在△ABD和△ACF中，
∵
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF；
（3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M．
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=，
在△MAD中，AM2+DM2=AD2，
∴AM=DM=3，
∴MB=AM-AB=3-2=1，
在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，
∴
在Rt△ADF中，AD=，
∴，
由（2）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴∠DHF=∠DMB=90°，
∵∠BDM=∠FDH，
∴△BDM∽△FDH，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
71．（1）15°；（2）；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）∵矩形，
∴，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
72．，；，，理由见解析；的长为7或17．
【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质即可解答．
（2）根据等腰直角三角形的性质与三角函数，证明，得到，求出，即可解答；
（3）分两种情况进行讨论，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）；；
和是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2），．
理由：和都是等腰直角三角形，，
，
，
，，
，
，
．
．
点C、E、D在同一直线上，
，
，
°．
（3）的长为7或17；
如图1，当时，同（2）知，
三点在一条直线上．
在中，，
，
；
如图2，当时，同理，
三点在一条直线上．
在中，，
，
．
综上所述，的长为7或17．
73．（1）2，5；；（2）同意，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，然后得到是得中位线，求出，然后利用勾股定理求出；
（2）根据题意证明出，然后得到，进而求解即可；
（3）连接交于点M，首先根据中线的概念得到是的中位线，然后得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形
∴，
∵点E是中点
∴是得中位线
∴
∴
∵
∴，
故答案为：2，5；
（2）在中，，
∵点E是的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴；
（3）如图所示，连接交于点M
∵中线与中线交于点F，
∴是的中位线
∴，
∴
∴
∵点H是的中点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中线的性质，矩形的性质和平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
74．(1)见解析
(2)；
(3)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据相似三角形的性质，以及比例线段的性质，得到，，即可得证；
（2）证明，得到，代值计算即可；
（3）根据，推出，证明，推出，进而得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵交的延长线于点F，
∴，
∴．
∴，即；
∴，
∴．
75．(1)见解析
(2)①见解析；②或
(3)
【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明；
（2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明．
②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解；
（3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
由旋转可知，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：①证明：如图3，
∵M，N分别为边与的中点．
∴，
∴，
∴．
由旋转可知，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴．
②解：如图4，当点G在线段上时，
∵在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图5，当点G在线段延长线上时，
同理可得，．
（3）解：取中点P，
∵K为中点，连接，
∴．
∵H为中点，
∴．
∵，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似．
76．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）由折叠可得，由四边形是平行四边形，可得，可得，再证明，从而可得，从而得出，最后由等腰三角形的判定即可得结论；
（2）先求得，由，得到，再由相似三角形的性质可得，从而求得，设，则，根据，列出方程并求解即可；
（3）设，则，由，可得，可得，再证明，可得，求得，最后用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）由折叠可得，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
中，，
，
中，，
，
中，，
，
解得：，
；
（3）设，则，
中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
77．（1）见解析 （2） （3）或
【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决．
（3）分两种情况，①沿l折
