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2024年九年级特殊平行四边形
一、单选题
1．（22-23九年级下·广东深圳·开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形
2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．平行四边形的四个内角相等
C．矩形的对角线相等 D．有一个角是的平行四边形是矩形
3．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．（11-12八年级上·全国·期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
5．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）四边形为菱形，E为边上的中点，P为对角线上一点，要使最小，则应满足（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形
7．（23-24九年级上·广东深圳·期中）下列命题中，假命题是（）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．正六边形的每一个内角为 B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
9．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
10．（20-21九年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
12．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
13．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是菱形
14．（23-24九年级上·深圳·开学考试）如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（ ）
A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍
C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍
15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
16．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则等于（ ）
A．6 B． C．4 D．
17．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
18．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点E，F分别在和上，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形是正方形，在正方形外且；将逆时针旋转至，使旋转后的对应边与重合．连接、，已知，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．24 C．30 D．36
21．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
22．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线相交于点O， ，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．28 B．26 C．24 D．25
23．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，过点A作，且，连接，E是的中点，则的面积为（ ）
A．50 B． C．51 D．
24．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至，延长交于点，连接，，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
25．（23-24九年级上·广东深圳·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．
当时，如图①，测得．当时，如图②，（ ）
① ②
A． B．2 C． D．
26．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中．，于D，的平分线交于点E，交于F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
27．（2023·四川乐山·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
28．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
29．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
30．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．16 C． D．
31．（深圳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则长方形纸片的长宽比为( )
A．2：1 B．：1 C．：1 D．2：
32．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，点P、Q为边上的两个动点，且，当（ ）时，四边形的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．
33．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，点E、F分别在正方形的边上，且垂直于，若，，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
34．（2020·广东·中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
35．（19-20九年级上·湖北孝感·期末）如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，选项图是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
36．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，将对角线长为的正方形折叠，使点B落在边的中点处，点落在处，折痕为．连接，则的长为 ．
37．（22-23八年级下·广东河源·开学考试）已知：中，，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ．
38．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为 ．
39．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：
（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；
（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点；
（3）作射线交于H，则线段的长为 ．
40．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则 cm．
41．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为3，以点为圆心，长为半径画弧交数轴上点左侧于点，则点表示的数为 ．
42．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．
43．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，，过边中点的直线与直线的交于点．将边关于直线作轴对称得到线段，当时，的值为 ．
44．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为
45．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
46．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
47．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 ．
48．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为 ．
49．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ．
50．（深圳·期末）如图，沿某方向平移一定距离得到，直角顶点C恰为中点，连接．给出结论：①；②；③四边形为菱形，其中正确结论的序号是 ．
51．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，正方形内有一点，连接，，，，过点作交于，过点作交于．若，，则的长是 ．
52．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为 ．
53．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，等腰中，为底边上的高，点为的中点．若，则
54．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．
55．（22-23深圳·期末）如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为分别交于两点，则 ．
56．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图为边长为的正方形，点是边上的动点（点不与点，重合），连续，过点作交延长线于点，连接，点为的中点，连接和，当时，的长为 ．
57．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，过点作，连接，，过点作于点，若，的面积为6，则的长为 ．
58．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E是的中点，F是线段上一动点，P是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
59．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．
60．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是 ．
三、解答题
61．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意， ， ；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送 ．
62．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求线段的长度．
63．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的面积．
64．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，连接、、、，若．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，请判断与有什么数量关系，并说明理由．
65．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 ；
②若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点H的坐标．
66．（23-24九年级上·深圳·期末）如图，正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
67．（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合．
(1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：____________，使得点，与的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
(2)如图2，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______
68．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如果，求的值．
69．（23-24八年级上·广东深圳·期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
70．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．
(1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ；
(2)如图2，当点E落在上时，求的面积；
(3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由；
(4)在旋转过程中，请直接写出的最大值．
71．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给出如下证明思路：作交的延长线于点F，再证，再证四边形是平行四边形，即可证明定理．
【新知体验】（1）小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的．
如图2，在四边形中，，，若，，，则的值为______．
【灵活运用】（2）如图3，在矩形和中，连接交于点G，连接．若，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图4在第（2）题的条件下，连接，若，求的面积．
72．（23-24九年级上·广东深圳·期中）上课时，老师要求同学们解决下面这道问题：
(1)问题1：如图（a），矩形中，，，点E在边上，将沿翻折，点D刚好落到边上的点F处.
①的长为 ；
②求的长.
请你也完成这道问题.
完成问题1后，老师进行了如下的变式：
(2)问题2：如图（b），矩形中，，，若E为边的中点，将沿翻折到，延长交于点M，的周长是多少？请你直接写出答案.
(3)问题3：如图（c），将矩形变为边长为6的正方形，点E在边上，，将沿翻折到，延长交于点N，请你直接写出的长.
73．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在正方形中，为对角线上一点，连接，．
(1)如图1，图中的全等三角形有 （不必证明）．
(2)如图2，为延长线上一点，且，交于点．判断的形状，并说明理由．
(3)如图3，过点作交的延长线于点．
①求证：．
②若，，请直接写出的长．
74．（2022·广东深圳·二模）如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接；
(1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________；
(2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积．
75．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
(1)【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）；
(2)【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明；
(3)【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值．
76．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
77．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【探索发现】
“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．
某同学进行如下探索：
第一步：将绕点顺时针旋转90°，得到，且、、三点共线；
第二步：证明≌；
第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系．
请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．
【问题解决】
如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．
请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）
【拓展运用】
如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设（），，直接写出关于的函数表达式：_______________．
78．（22-23九年级下·广东深圳·期中）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
； ； ； ．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
79．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
80．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知四边形满足，，对角线、交于点，是等边三角形，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的面积．
81．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线相交于点．过点作，过点作交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
82．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，平分，．
(1)试比较线段与的大小．并证明你的结论；
(2)连接，求的大小．
83．（2023·吉林长春·一模）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若四边形为菱形，H为中点，连接，若，则长为 ．
84．（22-23八年级下·广东深圳·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？
(2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题：
①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论；
②若连接和，当时，请算出四边形的面积；
(3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由．
85．（22-23九年级上·广东佛山·期中）如图，在平行四边形中，，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)连接，若，，求的长
86．（22-23九年级上·广东深圳·期中）已知，如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知，，求四边形的面积.
87．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点F是上一点，若将沿折叠，点C恰好与上的点E重合，过点E作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当时，求点B到直线的距离．
88．（2023·广东深圳·模拟预测）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
89．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则_______；
【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
①线段与的数量关系是_______；
②若是的三等分点，则的面积为_______．
90．（22-23九年级上·河南信阳·期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点B与点E重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2根据以上操作，则______．
(2)迁移探究
将图2中的绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点I，J，连接，如图3探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线BE，若图3中的的边，分别交对角线于点K，R，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．
图1 图2 图3 图4
91．（23-24九年级上·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
(1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______；
(2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长；
(3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．
92．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别是的中点，，延长到点F，使得，连．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
93．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】
（2）如图2所示，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，连接，若，求线段的长度．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，如图3，当点在射线上运动时，求的最小值为______
94．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．
【问题解决】：
(1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
95．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且．
(1)请从以下三个条件：①是的中点，②平分，③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，若，求菱形的面积．
96．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
97．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F．过点F作于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
98．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求菱形的周长．
99．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积．
100．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，过点C作，分别交于点F、E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D D C A B C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A D D C D B A B B C
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 D B C B C C B B A D
题号 31 32 33 34 35
答案 C B B D A
1．C
【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定定理，利用判定方法判断即可求解.
【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题．
故选：
2．B
【分析】根据平行四边形的性质定理，矩形的性质与判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确，不符合题意；
B. 平行四边形的对角相等，故该选项不正确，符合题意；
C. 矩形的对角线相等，故该选项正确，不符合题意；
D. 一个角是的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理，矩形的性质与判定定理，掌握以上性质定理是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查命题与定理的知识，利用矩形、菱形及正方形的判定方法逐一判断后即可确定正确的选项．解题的关键是掌握矩形、菱形及正方形的判定方法，
【详解】解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C．四个角相等的菱形是正方形，则原命题是真命题，故此选项符合题意；
D．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可．
【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，
∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意；
对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意；
对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意；
对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】本题考查菱形的性质，轴对称解决线段和最小问题，全等三角形的判定和性质．连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，可得：，进而得到，得到，即可．
【详解】解：连接，
∵菱形，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，如图，
∵，
∴，
∴，即：；
∴当时，最小；
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，牢记判定方法是解答本题的关键．
【详解】解：．∵，
∴平行四边形是菱形，
故结论正确，不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
故结论正确，不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故结论正确，不符合题意；
．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意；
故选：．
7．C
【分析】根据正方形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；
B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；
故选：C．
8．A
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【详解】解：A．正六边形的每一个内角为，是真命题；
B．正六边形的外角和等于正五边形的外角和，原命题是假命题；
C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
D．对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
故选A．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
9．B
【分析】利用矩形和菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，符合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查了菱形及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形及矩形的判定方法．
10．C
【分析】根据正方形，菱形，矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：、四边相等的四边形是菱形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原选项说法正确，符合题意；
、对角线平分且相等的四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定方法，掌握特殊四边形的判定知识是解题的关键．
11．A
【分析】利于平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定分别判断后即可确定正确的结论．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
B、有一组邻边相等且对角线互相平分的四边形是菱形，错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，是假命题；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误，是假命题，
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定方法，难度不大．
12．D
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，熟练掌握它们的判定方法是解此题的关键．
13．D
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
14．C
【分析】利用菱形的性质依次进行判断即可．
【详解】解：A．在菱形中，，
∵由图可知，的周长，的周长，
∴的周长大于的周长
故选项错误，不符合题意；
B．菱形的周长与两条对角线之和无关，故选项错误，不符合题意；
C．，，则与的面积相等，故选项正确，符合题意；
D．菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质的运用，正确灵活的运用菱形的性质是解决问题的关键．
15．D
【分析】因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
【详解】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选D．
故选：D．
【点睛】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
16．B
【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出．
【详解】是菱形，E为AD的中点，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．
17．A
【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④．
【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故①正确；
过B作，交的延长线于F，则，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即点B到直线的距离为1，
故②不正确；
如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
故③正确；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上可知，①③④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
18．B
【分析】设，则，根据三角形内角定理可得，进而可得，再根据可得，联立求出x，即可求出．
【详解】解：由题意知菱形和等边的边长相等，
，，
，，
设则，
，
等边中，，
，
又 ，
，
，即，
，
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是通过不同方法表示出的度数．
19．B
【分析】本题考查求线段长，谁旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，过作于，如图所示，由旋转性质及勾股定理和勾股定理的逆定理求出相关线段及角度，在中，利用勾股定理求出即可得到答案，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：过作于，如图所示：
将逆时针旋转至，使旋转后的对应边与重合，
，，
在中，，，则，
在中，，，，则，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，
，则，
在等腰中，，则，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
正方形的面积为，
故选：B．
20．C
【分析】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识．解题的关键是根据折叠的性质求出，再由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：四边形时矩形，，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：C．
21．D
【详解】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．延长交于点G，首先根据勾股定理的逆定理得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，延长交于点G，
∵正方形的面积为25，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
故选：D．
22．B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
由矩形的性质可得，，由勾股定理得，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形，然后根据四边形的周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为，
故选：B．
23．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质，作交的延长线于点H，作交于F，交的延长线于点，可得四边形是矩形，利用可得，进而可得，再利用可得，可得，利用三角形的面积公式即可求解，解题的关键是掌握其判定及性质，借助适当的辅助线，利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：作交的延长线于点H，作交于F，交的延长线于点，如图：
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
故选C．
24．B
【分析】根据翻着的性质可知，,再看和也可以证明全等的，在结合运用勾股定理，可直接求出的长，进而求出，面积的可求的面积．
【详解】∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
；
∴；
设；
∴；
∵；
∴;
在中，
；
解得：；
即
∴；
∴
∵；
∴；
∴；
故选．
25．C
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的性质结合含角直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算出的长，即可得到答案；本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含角直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
当时，，四边形为菱形，连接交于，
则，，
，
，
，
，
，
故选：C．
26．C
【分析】连接，根据证得，即可证得，可以判断②正确；由已知，，，从而证得三个直角三角形，即：，，再通过已知，的平分线和对顶角得，即得为等腰三角形，，证明四边形是菱形，可以判断①③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵的平分线交于E，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，故①③正确；
在中，，
∵，
∴，故④错误．
综上所述：①②③．
故选：C．
【点睛】此题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．
27．B
【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∴由勾股定理，得，
∵E为边的中点，
∴
故选：B．
【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
28．B
【分析】由矩形的性质可得，，由折叠可知，，于是可得，得到，利用平行线的性质可得，以此即可求解．
【详解】解：取的中点E，连接，
∵四边形为矩形，
∴，，
根据折叠的性质可得，，
∵，
∴，
在中，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质，利用折叠的性质得到得到，进而得到是解题关键．
29．A
【分析】先判断出时，最小，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，由折叠知，，，
当时，最小，
即，
∵，
∴，
∴点，，在同一条直线上时，最小，
由折叠知，，
在中，，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键．
30．D
【分析】由菱形性质可知：，，，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，再利用双勾股列方程求出，即可解答．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，
又∵，
∴，，
∵，，
设，则，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
在中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．C
【分析】设长方形的长、宽分别为b、a，由折叠的性质及矩形的性质可证明，由含角直角三角形的性质得，由勾股定理可得结论．
【详解】解：设长方形的长、宽分别为b、a，
∵四边形是长方形，
∴，；
由折叠性质得：，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
即，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，勾股定理，含直角三角形的性质，其中折叠的性质是解题的关键．
32．B
【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过F点作的平行线交于一点，即为P点，此时四边形的周长最小，过G点作的平行线交的延长线于H点，先求出，得出，设，则，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过F点作的平行线交于一点，即为P点，此时四边形的周长最小，过G点作的平行线交的延长线于H点，
∵四边形为矩形，
∴，，
，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
即时，四边形的周长最小，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形的周长最小时，点P的位置．
33．B
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理可得，设，则，根据，列出，解得x的值，进而可得的周长．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴，
则的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的性质，根据图形的特点构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
34．D
【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：，
∴，
∴，
设AE=x，则，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
35．A
【分析】根据点P在AD边上运动时，△PBC的面积保持不变，当点P在BD边上运动时，过点P作PE⊥BC于点E，可得S△PBC＝ PE，根据BC的长不变，PE的长随着时间x增大而减小，即可得到面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象．
【详解】解：如图，
当点P在AD边上运动时，
△PBC的面积保持不变，
当点P在BD边上运动时，
过点P作PE⊥BC于点E，
∴S△PBC＝ PE
∵BC的长不变，
PE的长随着时间x增大而减小，
∴y的值随x的增大而减小，
∴符合条件的图象为A，
故选：A．
【点睛】此题考查菱形的性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
36．
【分析】作于点，连接交于点，由折叠知，可证明，则，，在直角三角形中由勾股定理可求．
【详解】解：在正方形中，对角线长为，
，
∵点为中点，
∴，
设，由折叠可知，在直角三角形中，由勾股定理可得：
，解得：．
故，
∴，
作于点，连接交于点，
由折叠可知，，
，
又，
，
在和中，
，
∴，
，
，
由折叠可得，，，
由勾股定理有；
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于的方程是解题的关键．
37．2.4
【分析】根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，于F，于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
要使最小，只要最小即可，
当时，最小，
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，
即，
故答案为：2.4．
【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，最短，题目比较好，难度适中．
38．
【分析】根据菱形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，再利用菱形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质得出是解题的关键．
39．/1.5
【分析】如图，过点H作于点M，由作法可知，为的平分线，，，，由勾股定理得，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点H作于点M，
由作法可知，为的平分线，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查作角平分线，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的性质与作图方法、矩形的性质是解答本题的关键．
40．
【分析】连接、，根据题意得出、分别为、的中点，是的中位线，得出，再由已知条件根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出．
【详解】解：连接、，如图所示：
四边形是菱形，
，
将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
菱形的面积为，，
，，
，，
，即，
∴，
∴，
∴，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及翻折变换的性质；根据题意得出为的中位线是解决问题的关键．
41．
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的开方运算，正方形的面积，先由正方形面积为3可知边长为，根据作图可知：，点向左移动个单位得到点，故得解，熟练掌握数轴上的点表示的数的特征是解题的关键．
【详解】解：正方形面积为3，
，
，
点表示的数为3，点在点的左边，
点表示的数为，
故答案为：．
42．
【分析】延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设则
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
43．
【分析】连接，，，，令交于，延长交于，由折叠的性质可得，，，，，由垂线的定义可得，设，则，，由为的中点，得出，连接、，由菱形的性质可得，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，证明四边形是矩形，，利用平行线的性质与角之间的关系得出，利用三角形外角的定义及性质得出，设，则，，，用表示出，从而得出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，，，令交于，延长交于，
由折叠的性质可得：，，，，，
，
，，
，
，
，
设，则，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
连接、，
四边形是菱形，
，，
，，
，
是等边三角形，
为的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活应用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于压轴题．
44．5
【分析】根据正方形的性质可得，，利用可证明，可得，根据，，可证明四边形是矩形，进而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及矩形的性质，正确作出辅助线，证得四边形是矩形是解题关键．
45．/
【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，
∴，
∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．
46．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
47．
【分析】由折叠可知，，进而可以证明，由全等的性质可得，设，在中利用勾股定理建立方程，求解即可得出结论．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，
由折叠可知，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，则，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、方程思想等，利用全等三角形的性质得出是解题的关键．
48．
【分析】过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E，利用旋转的性质得到，证明得到，再由三线合一定理得到，证明四边形是矩形，得到，利用三角形面积公式得到，则，由勾股定理可得，，据此利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E，
∵将边绕点B逆时针旋转得到，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三线合一定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
49．/
【分析】由折叠可知，通过“”易证明，得到．于是．设，则，进而可得．在中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】∵四边形为矩形，
∴．
由折叠可知：．
∴．
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则 ．
∴．
在中，，即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质得出是解题关键．
50．①②/②①
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平移的性质和菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．由平移的性质得出，得出①正确；由平移的性质得出，，得出四边形是平行四边形，③错误，由四边形是平行四边形得出，由C恰为中点，得出，由平移的性质得出，，得出四边形是平行四边形，得出，继而得出，得出，②正确；
【详解】解：∵平移，得到，
∴，①正确；
∴，，
∴四边形是平行四边形，③错误；
∴，
∵C恰为中点，，
∴，
∴，
∵平移，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，②正确；
故答案为：①②．
51．/
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及二次根式的混合运算等知识．先证明四边形是平行四边形，则，求得，由四边形是正方形，，则．由等积法得到，证明，则，，则，在中，由勾股定理得到的长．
【详解】解：延长分别交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
，
∴，
在中，由勾股定理得
．
故答案为：
52．
【分析】如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，证明得到，，利用勾股定理求出，从而得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即可利用勾股定理得到．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
53．4
【分析】根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形斜边中线的性质求出答案．
【详解】解：∵是等腰三角形，底边，
∴，
∵为底边上的高，
∴，
∵点为的中点．
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
54．
【分析】延长至，使得，连接，证明，可得，作点关于的对称点，连接，，根据 ，则三点共线时，取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，
∵矩形中，，，
∴，，
依题意，，
∴
∴，
作点关于的对称点，连接，，
则，
∵ ，则三点共线时，取得最小值，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及矩形的性质，轴对称的性质．
55．
【分析】根据题意证明，进而求出，证明，设，勾股定理求得，进而求得的面积，根据它们的差即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正方形，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
在中，，则，
∵，，
∴，
∴,
设，
则，，
∴，
解得：
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
56．/
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，根据正方形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，求得，推出，，三点共线，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论，正确地作出辅助线是解题的关键.
【详解】连接，，过作于，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，三点共线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
57．
【分析】过作交的延长线于点，作于点，通过等腰直角三角形的性质和关系得出，从而有，后证明四边形为正方形，则有，通过勾股定理可得，再利用的面积即可求解的长．
【详解】解：过作交的延长线于点，作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为正方形，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理和平行线的性质，掌握等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理和平行线的性质是解题的关键，难点在于如何找到与之间的关系．
58．//4.8
【分析】如图，取中点G，连接交于O，连接，由中位线定理可得即为点P的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，取中点G，连接交于O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵矩形中，点E是中点，点G是中点，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
又∵P是的中点，
∴即为点P的运动轨迹，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点P的运动轨迹．
59．8
【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
60．
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得，，；设，，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算，得，从而完成求解.
【详解】由折叠性质可得：，，，，，，，
∴，，
设，，则，，
∴
在直角中，，
∴
∴
在直角中，设，则
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形、轴对称、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解.
61．(1)3；1
(2)秋千的长度是
(3)4
【分析】（1）证明四边形为矩形，得出，求出即可；
（2）设秋千的长度为，根据勾股定理得出，求出x的值即可；
（3）根据题意求出，根据勾股定理得出即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
故答案为：3；1．
（2）解：，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
（3）解：当时，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，“在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么”．
62．(1)是等腰三角形．理由见解析
(2)5
【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，等腰三角形即可证明；
（2）设，则，在中，由勾股定理求出x的值即可．
此题考查了折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下：
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
即线段的长度为5．
63．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．
（1）根据菱形的判定证明即可；
（2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
在菱形中，
∴均为等边三角形，
∴，
如图，作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴△EBC的面积
64．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先用证明，推出，，推出，再用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
（2）结论：，作于．分别含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质用证明，，从而得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
∴四边形是平行四边形
（2）结论：
理由：作于，
在中，，，
∴
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
65．(1)点A的坐标为，点B的坐标为；
(2)①；②或．
【分析】（1）分别把，代入，求得点和点的坐标；
（2）①过点轴，设点的坐标为，证明，得，，从而得到与之间的关系式；
②连接，可得点与点重合，作点关于直线的对称点，得到点的坐标，求出直线的解析式，从而得到点的坐标．
【详解】（1）把代入，得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为；
（2）①过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，则，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，整理得，
点所在的直线的解析式为；
②连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，
四边形为正方形，
，
，此时点与点重合，
点是线段的中点，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
作点关于直线的对称点，可得，
此时，所以点为直线与的交点，
直线的解析式为，
联立，解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
66．(1)见解答；
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理．
（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
（2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
67．(1)，见解析
(2)6．
【分析】（1）根据平行四边形的判定补充条件，再画图并证明即可；
（2）分两种情况讨论：当M在A的左边时，证明四边形为菱形即可；当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，此时与已知条件不相符．
【详解】（1）解：如图，补充条件：，四边形为平行四边形；
证明如下：
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
又点M在直线上，且，
如图，当点M在点A左侧时，四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
∴；
当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，与已知条件不符，所以此种情况不存在，
综上，的长为6．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记基本几何图形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
68．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别证明、都是等腰直角三角形，进而推出，，再由即可证明结论；
（2）利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出，的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数；
（3）先证明，得到，由（2）得，得到，推出，得到，再求出，由勾股定理得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，，
∴、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
又∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的度数；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，，
∴，，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．
69．[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由见解析；[性质探究]：，理由见解析；[问题解决]：
【分析】[概念理解]：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
[性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
[问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】解：[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
[性质探究]：．理由如下：
如图2，已知四边形中，，垂足为，
，
，
由勾股定理得，，
，
；
[问题解决]：连接、，如图3所示：
，
，即，
在和中，
，
，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
70．(1)2
(2)
(3)，理由见解析
(4)的最大为12
【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可；
（2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积；
（3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；
（4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值．
【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴每个内角都等于，
∵，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知：，
∴，
故答案为：2；
（2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，
在中，由勾股定理得：
,
∵是直角三角形，，
∴,
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，
由旋转的性质知：，，
∴在等腰和等腰中得到：，，
∴，
∵，
∴，
即；
（4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，
∴， ，
∵
∴，
∴当最大时，最大，
在旋转过程中，，
∴，
∴当点三点共线时，，此时最大，
∴的最大值为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口．
71．；；
【分析】（1）过点D作交的延长线于点E，可得四边形是平行四边形，进而得到，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，可得四边形为平行四边形，再根据，得是等边三角形，根据 即可求解；
（3）设相交于点Q，由（2）得：，可得是的中垂线，进而用勾股定理求出，根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）过点D作交的延长线于点E，如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：（2）连接，如图，
∵矩形和，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵，
∴ ；
解：（3）设相交于点Q，如图，
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴互相垂直平分，
由（2）得：，
∵，
∴是的中垂线，
∴三点共线，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积、勾股定理等综合性较强，有一定的难度．
72．(1)①2；②
(2)26
(3)
【分析】（1）①根据矩形的性质及在中，利用勾股定理即可求解；②在中，利用勾股定理即可求解．
（2）连接，根据矩形的性质，利用得，进而得，再根据三角形的周长公式即可求解．
（3）将旋转至，根据翻折的性质，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：①四边形是矩形，且，，
，，，
是由延折叠得到，
，，，
在中，，
，
，
故答案为：2
②由①得：，，，
设，则，，
在中，，
即：，
解得：，
．
（2）连接，如图：
四边形是矩形，且，，
，，，
是由延折叠得到，
，，
点E是的中点，
，
在和中，
，
，
，
的周长为：
．
（3）将旋转至，如图：
，，
四边形是边长为6的正方形，
，，
将沿翻折到，
，
，
，
，
，
∴，
，
则设，则，
在中，，
即：，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握翻折的性质及勾股定理是解题的关键．
73．(1)
(2)为等腰三角形，见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质得，，，，，利用可证明，，利用可证明；
（2）先证明，由（1）同理可得：，可得，则，再证明，可得，可得，可得，从而可得答案；
（3）①如图，过点分别作，，垂足分别为，，证明，四边形是正方形，再证明，可得，结合，可得结论；
②先证明，设，则， ，，建立方程，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，．
理由：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴；
∵正方形，
∴，，
又∵
∴；
∵正方形，
∴，，
又∵
∴．
（2）解：为等腰三角形．
理由如下：
四边形是正方形，
，
．
由（1）知，，
，
．
，
，
．
，
，
，
为等腰三角形．
（3）解：①如图，过点分别作，，垂足分别为，．
四边形是正方形，
四边形是正方形，
，．
，
，
．
又，
，
．
由（1）知，，
，
．
②由（1）知，，
．
设，则，，
，
．
，，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练的利用正方形的性质进行证明是解本题的关键．
74．(1)AP=CE；90°；
(2)，理由见解析；
(3)12
【分析】（1）证明ΔADP≌ΔCDE，可得AP=CE，∠DAP=∠DCE，从而得到AP与CE的夹角的度数是90°；
（2）按照（1）的思路进行解答即可；
（3）连接BD，CE，利用正方形及等腰三角形性质可得OD=2，再由勾股定理求CE及CP 的长，最后求出四边形DCPE的面积即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形
∴AD = CD，DP = DE，∠ADC =∠PDE = 90°，
∴∠ADP+∠PDC =∠PDC +∠CDE= 90°，
∴∠ADP= ∠CDE，
在ΔADP和ΔCDE中
∴ΔADP≌ΔCDE（SAS）
∴AP=CE，∠DAP=∠DCE
∴∠PCE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠DAP = 90°，
∴AP与CE的夹角的度数是90°，
故答案为：AP=CE；90°；
（2），
理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形，
∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE = 90°
∴∠ADC+∠CDP =∠CDP +∠PDE
∠ADP=∠CDE
在ΔADP和ΔCDE中
∴ΔADP≌ΔCDE（SAS）
∴AP= CE
∵ΔADC是等腰直角三角形
∴AC=CD
∴EC= AP=AC+CP=CD+CP；
（3）如图，连接BD，CE，
∵四边形ABCD是正方形
∴CD = AB = 2，AC⊥BD，
∵AB = 2，ΔACB是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由（1）可知∠ACE = 90°，
∴，
由（2）可知，CE= CD + CP，
，
，
在RtΔCPE中，PE2 = CP2 + CE2 = 22 + 62 = 40，
∵ΔDPE是等腰直角三角形，
，
，
，
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度适中．
75．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，进而可得；
（2）由平行四边形，可得，，则，证明，则，，由勾股定理得，，，，根据 ，作答即可；
（3）如图3，延长到，使，则，证明四边形是平行四边形，由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，则，即，解得，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，，，
∴
，
，
∴；
（3）解：如图3，延长到，使，则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，
∴，即，解得，
∵；
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
76．（1）4；4；（2）3；3；（3）或；（4）；应用：米
【分析】（1）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（2）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（3）画出图形，进行分类讨论即可；
（4）根据定义画出图形，可得出答案．
【详解】（1）∵，，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边上时，即时
∴ 的最小值是，因此[点，线段]=，
故答案为：；
（2）∵ ，，四边形 是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边任意边上时，即或时，
∴的最小值是，因此[点， ]=，
故答案为：；
（3）如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为， [线段，]=，
∴，解得：或，
故答案为：或，
（4）由（3）得：四边形是菱形，过作于点，交于点，作于点，如图，则有，
∴，
∴，
故答案为：，
（4）由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，则如下图，
则所需彩绳的长度为：．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的性质和判定等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
77．见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）求证≌，
结合“探索发现”的结论即可证明；（3）利用几何图形建立等量关系，即可求解．
【详解】详细证明过程如下：
【探索发现】证明：
结论：，
【问题解决】证明：过点作的垂线，交于点，交于点，
，又，
∴≌（HL）
可得，所以为等腰直角三角形，∴
由前面结论知，当时，，作于点，则，
∴当旋转至位置时，，、三点共线，这三点所在直线与交于点
【拓展运用】
【点睛】本题以正方形作为几何背景，结合旋转变换，综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．旨在考查学生的自主探究能力．
78．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则矩形为的投影矩形，由点得到，从而即可得到答案；
（2）先根据坐标作出图形，再根据投影比的定义即可求解；
（3）设出点的坐标，分和两种情况考虑，找出两种情况下的投影矩形，根据投影比的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
则矩形为的投影矩形，
点，
，
投影比的值为，
故答案为：
（2）解：如图所示：
，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
点的坐标可能是 ， ，
故答案为：；
（3）解：点在函数（其中）的图象上，
设点坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点坐标为，点坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是作出图形，找出投影矩形的长边和短边长，分情况考虑，利用数形结合的思想解决问题．
79．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
80．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据等边三角形及平行四边形的性质可得，从而得，即可得到四边形是矩形；
（2）由（1）可得，由勾股定理可求得的长，由矩形的面积公式即可计算出矩形的面积．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，゜，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴゜，
∴由勾股定理得：，
∴四边形的面积 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识，等边三角形及平行四边形的性质是关键．
81．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，即可得证；
（2）由菱形的性质可得，，，，证明是等边三角形，得到，从而得到，由勾股定理可得，最后由矩形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明： ，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
82．(1)相等，见解析
(2)
【分析】（1）由四边形是矩形，平分知，得出是等腰直角三角形，，再证出是等边三角形，得出，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出，得出，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形；
∴，
∴；
（2）∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解题的关键．
83．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，由勾股定理和三角形的中位线定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵H为中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
84．(1)
(2)①，证明见解析；②
(3)的值为定值26
【分析】（1）通过证明，即可得出结论；
（2）①令相交于点O，连接，根据全等得出，根据三角形的内角和定理，即可得出结论；②易得，根据的面积推出，即可求解；
（3）根据勾股定理可得，，即可推出，即可求解．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵四边是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：①令相交于点O，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴的面积
．
（3）解：∵正方形边长分别为3，2，
∴，
∵，
∴，，
∴
，
∴的值为定值26．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
85．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理：
（1）由平行四边形的性质得出，，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，，则，再由勾股定理得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由1可知，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即的长为．
86．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点,根据正方形的性质对角线互相垂直平分，然后证明是菱形即可；
（2）作于点,根据正方形的性质和,可以得到，然后证得是等腰直角三角形，然后运用勾股定理求出和长计算面积即可．
【详解】（1）证明: 连接交于点, 如图.
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形.
，
∴四边形是菱形.
（2）作于点, 如图.
∵四边形是正方形，
∴.
∵，
∵,
∴.
∴.
∴
由（1）得, 四边形是菱形.
∴，
∴,
∴是等腰直角三角形.
，
∴，
设，则
，
在 中,
，
，
∴ ，
，
，
(负值不合题意舍去).
，
∴菱形的面积为
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
87．(1)证明见解析
(2)点B到直线的距离为．
【分析】（1）由折叠的性质得出，，，再根据平行线的性质可得，进而可证四条边相等；
（2）先由题意得出四边形是矩形，再利用勾股中小学教育资源及组卷应用平台
2024年九年级特殊平行四边形
一、单选题
1．（22-23九年级下·广东深圳·开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形
2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．平行四边形的四个内角相等
C．矩形的对角线相等 D．有一个角是的平行四边形是矩形
3．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．（11-12八年级上·全国·期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
5．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）四边形为菱形，E为边上的中点，P为对角线上一点，要使最小，则应满足（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形
7．（23-24九年级上·广东深圳·期中）下列命题中，假命题是（）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．正六边形的每一个内角为 B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
9．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
10．（20-21九年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
12．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
13．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是菱形
14．（23-24九年级上·深圳·开学考试）如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（ ）
A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍
C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍
15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
16．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则等于（ ）
A．6 B． C．4 D．
17．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
18．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点E，F分别在和上，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形是正方形，在正方形外且；将逆时针旋转至，使旋转后的对应边与重合．连接、，已知，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．24 C．30 D．36
21．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
22．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线相交于点O， ，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．28 B．26 C．24 D．25
23．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，过点A作，且，连接，E是的中点，则的面积为（ ）
A．50 B． C．51 D．
24．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至，延长交于点，连接，，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
25．（23-24九年级上·广东深圳·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．
当时，如图①，测得．当时，如图②，（ ）
① ②
A． B．2 C． D．
26．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中．，于D，的平分线交于点E，交于F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
27．（2023·四川乐山·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
28．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
29．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
30．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．16 C． D．
31．（深圳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则长方形纸片的长宽比为( )
A．2：1 B．：1 C．：1 D．2：
32．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，点P、Q为边上的两个动点，且，当（ ）时，四边形的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．
33．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，点E、F分别在正方形的边上，且垂直于，若，，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
34．（2020·广东·中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
35．（19-20九年级上·湖北孝感·期末）如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，选项图是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
36．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，将对角线长为的正方形折叠，使点B落在边的中点处，点落在处，折痕为．连接，则的长为 ．
37．（22-23八年级下·广东河源·开学考试）已知：中，，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ．
38．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为 ．
39．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：
（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；
（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点；
（3）作射线交于H，则线段的长为 ．
40．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则 cm．
41．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为3，以点为圆心，长为半径画弧交数轴上点左侧于点，则点表示的数为 ．
42．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．
43．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，，过边中点的直线与直线的交于点．将边关于直线作轴对称得到线段，当时，的值为 ．
44．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为
45．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
46．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
47．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 ．
48．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为 ．
49．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ．
50．（深圳·期末）如图，沿某方向平移一定距离得到，直角顶点C恰为中点，连接．给出结论：①；②；③四边形为菱形，其中正确结论的序号是 ．
51．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，正方形内有一点，连接，，，，过点作交于，过点作交于．若，，则的长是 ．
52．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为 ．
53．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，等腰中，为底边上的高，点为的中点．若，则
54．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．
55．（22-23深圳·期末）如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为分别交于两点，则 ．
56．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图为边长为的正方形，点是边上的动点（点不与点，重合），连续，过点作交延长线于点，连接，点为的中点，连接和，当时，的长为 ．
57．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，过点作，连接，，过点作于点，若，的面积为6，则的长为 ．
58．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E是的中点，F是线段上一动点，P是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
59．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．
60．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是 ．
三、解答题
61．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意， ， ；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送 ．
62．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求线段的长度．
63．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的面积．
64．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，连接、、、，若．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，请判断与有什么数量关系，并说明理由．
65．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 ；
②若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点H的坐标．
66．（23-24九年级上·深圳·期末）如图，正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
67．（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合．
(1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：____________，使得点，与的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
(2)如图2，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______
68．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如果，求的值．
69．（23-24八年级上·广东深圳·期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
70．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．
(1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ；
(2)如图2，当点E落在上时，求的面积；
(3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由；
(4)在旋转过程中，请直接写出的最大值．
71．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给出如下证明思路：作交的延长线于点F，再证，再证四边形是平行四边形，即可证明定理．
【新知体验】（1）小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的．
如图2，在四边形中，，，若，，，则的值为______．
【灵活运用】（2）如图3，在矩形和中，连接交于点G，连接．若，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图4在第（2）题的条件下，连接，若，求的面积．
72．（23-24九年级上·广东深圳·期中）上课时，老师要求同学们解决下面这道问题：
(1)问题1：如图（a），矩形中，，，点E在边上，将沿翻折，点D刚好落到边上的点F处.
①的长为 ；
②求的长.
请你也完成这道问题.
完成问题1后，老师进行了如下的变式：
(2)问题2：如图（b），矩形中，，，若E为边的中点，将沿翻折到，延长交于点M，的周长是多少？请你直接写出答案.
(3)问题3：如图（c），将矩形变为边长为6的正方形，点E在边上，，将沿翻折到，延长交于点N，请你直接写出的长.
73．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在正方形中，为对角线上一点，连接，．
(1)如图1，图中的全等三角形有 （不必证明）．
(2)如图2，为延长线上一点，且，交于点．判断的形状，并说明理由．
(3)如图3，过点作交的延长线于点．
①求证：．
②若，，请直接写出的长．
74．（2022·广东深圳·二模）如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接；
(1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________；
(2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积．
75．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
(1)【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）；
(2)【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明；
(3)【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值．
76．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
77．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【探索发现】
“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．
某同学进行如下探索：
第一步：将绕点顺时针旋转90°，得到，且、、三点共线；
第二步：证明≌；
第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系．
请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．
【问题解决】
如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．
请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）
【拓展运用】
如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设（），，直接写出关于的函数表达式：_______________．
78．（22-23九年级下·广东深圳·期中）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
； ； ； ．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
79．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
80．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知四边形满足，，对角线、交于点，是等边三角形，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的面积．
81．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线相交于点．过点作，过点作交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
82．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，平分，．
(1)试比较线段与的大小．并证明你的结论；
(2)连接，求的大小．
83．（2023·吉林长春·一模）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若四边形为菱形，H为中点，连接，若，则长为 ．
84．（22-23八年级下·广东深圳·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？
(2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题：
①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论；
②若连接和，当时，请算出四边形的面积；
(3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由．
85．（22-23九年级上·广东佛山·期中）如图，在平行四边形中，，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)连接，若，，求的长
86．（22-23九年级上·广东深圳·期中）已知，如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知，，求四边形的面积.
87．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点F是上一点，若将沿折叠，点C恰好与上的点E重合，过点E作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当时，求点B到直线的距离．
88．（2023·广东深圳·模拟预测）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
89．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则_______；
【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
①线段与的数量关系是_______；
②若是的三等分点，则的面积为_______．
90．（22-23九年级上·河南信阳·期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点B与点E重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2根据以上操作，则______．
(2)迁移探究
将图2中的绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点I，J，连接，如图3探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线BE，若图3中的的边，分别交对角线于点K，R，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．
图1 图2 图3 图4
91．（23-24九年级上·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
(1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______；
(2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长；
(3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．
92．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别是的中点，，延长到点F，使得，连．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
93．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】
（2）如图2所示，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，连接，若，求线段的长度．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，如图3，当点在射线上运动时，求的最小值为______
94．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．
【问题解决】：
(1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
95．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且．
(1)请从以下三个条件：①是的中点，②平分，③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，若，求菱形的面积．
96．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
97．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F．过点F作于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
98．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求菱形的周长．
99．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积．
100．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，过点C作，分别交于点F、E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
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