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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题26.1.1 反比例函数六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．全体实数
【答案】C
【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∴，
故选：C．
2．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
3．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键．
①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【详解】解：①矩形的长y与宽x的关系式为，因此是的反比例函数，故①不符合题意；
②侧面积与圆柱的高x的关系式为：，因此是的正比例函数，故②不符合题意；
③利润y（元）与每件进价x（元）的关系式为：
，因此是的二次函数，故③符合题意；
故选：C．
4．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴反比例函数的图象一定经过的点是，
故选：．
5．用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（ ）
A．P为定值，I与R成反比例
B．P为定值，与R成反比例
C．P为定值，I与R成正比例
D．P为定值，与R成正比例
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，直接根据定义可得答案．
【详解】解：当为定值时，2与的乘积是定值，所以 2与成反比例．
故选：B．
6．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．a为任意实数
【答案】C
【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义可得，可解得．
【详解】解：根据反比例函数的定义可得，
解得．
故选C．
7．若函数是反比例函数，的值是（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出的值即可．
【详解】∵是反比例函数，
∴，
解得．
故选：A
8．某函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，则该函数的表达式可能是（ ）
x 0 1 2
y 0 2 4 6
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是关键．
将点代入解析式不能满足选项B、D，选项C自变量x不能为0，即可确定正误．
【详解】解：A、将表格中的对应值代入验证都满足关系式，故符合题意；
B、将代入解析式，左边，右边，不满足解析式，故不符合题意；
C、函数的自变量x不能取0，故不满足解析式，不符合题意；
D、将点代入解析式，左边，右边，不满足解析式，不符合题意．
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点落在一次函数图象上得到，根据P1的坐标是由P旋转得到的得到，又由P是反比例函数图象上的一点，得到，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵点落在一次函数图象上，
∴，
∴，
∵P1的坐标是由P顺时针旋转得到的，如图所示，作轴于点，作轴于点，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是反比例函数图象上的一点，
∴，
∴．
故选：C．
10．小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断．
【详解】解：由图象可知，当时，，
∵，，
∴
∴；
当时，函数值不存在，
∵函数图象在第二象限不连续，
∴，
故选：D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：∵双曲线经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可．
【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限，
∴点一定在第四象限，
∵反比例函数的图像经过其中两点，
∴反比例函数的图像经过，，
，
．
故答案为：．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则 ABC的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特性、点的坐标规律，设，则，，可得，再根据反比例函数图象上点的特征可得，即可求解．
【详解】解：设，则，，
∴，，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：10．
15．已知是关于的反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
故答案为：．
16．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围．
【详解】时，对应函数图象在直线l左侧，两部分，或
故答案为：或
【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．
17．已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由可得出，结合的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】解：，
，
．
又，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记是解题的关键．
18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
【答案】②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x 1 2
y 3 3 5
描点、连线，图象如下，
根据图象知：
①当时，x越小，函数值越大，错误；
②当时，x越大，函数值越小，正确；
③当时，x越小，函数值越大，正确；
④当时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、反比例函数的特征、代数式求值等知识点，掌握分比例函数图像上的点的横纵坐标之积等于k成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后根据反比例函数上点的特征求得a的值，然后代入计算即可．
【详解】解：
，
∵ 是反比例函数 图像上的点，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴ 原式 = = 1．
20．已知函数．
(1)若y是x的正比例函数，则m的值为________；
(2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，将一般式转化为的形式成为解题的关键．
（1）根据（k是不等于零的常数）是正比例函数，据此即可解答；
（2）根据一般式转化为的形式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵是正比例函数，
∴且，解得或．
故答案为：或．
（2）解：∵是反比例函数，
∴且，解得，
∴，
∴故y关于x的函数表达式为．
21．若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积．
x 1 8
y 4 2
(1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据函数关系式完成上表．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值，
（1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可；
（2）利用函数解析式求自变量或函数值即可．
【详解】（1）解：设，
把代入得，，
∴；
（2）解：把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
完成表格如下：
22．已知 ABC的三个顶点为、、，将 ABC向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值．
【答案】m的值为4或0.5
【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入，求出平移后的横坐标，进而可求出m的值．
【详解】解①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴AB中点坐标为．
在中，当时，，
故；
②∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴AC中点坐标为，
在中，当时，，
故；
③∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴BC中点坐标为，
在中，当时，没有意义．
∴m的值为4或0.5．
【点睛】此题考查了平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，分类讨论是解答本题的关键．
23．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示：
位置 视力值 的值（mm）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2.0 3.5
(1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由；
(2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可；
（2）将，，分别代入，求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系，
设视力值和宽度的函数解析式为：，
将点，代入求得，
故视力值和宽度的函数解析式为：．
（2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm，
即，将代入，求得；
∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm，
即，将代入，求得；
故求第4行、第7行的视力值分别是，．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键．
24．如图，直线与双曲线交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)点C为线段上的一个动点（不与A、B重合），作轴于点D，求面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将、代入，即可求出、，再利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，又可求出，进而可利用三角形面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵、在双曲线上，
∴，
∴，
∴、．
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：点C为线段上的一个动点，直线AB的解析式为，
∴可设C．
∵轴于点D，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识．熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
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专题26.1.1 反比例函数六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．全体实数
2．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
3．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系
A．① B．② C．③ D．①③
4．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
5．用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（ ）
A．P为定值，I与R成反比例
B．P为定值，与R成反比例
C．P为定值，I与R成正比例
D．P为定值，与R成正比例
6．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．a为任意实数
7．若函数是反比例函数，的值是（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
8．某函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，则该函数的表达式可能是（ ）
x 0 1 2
y 0 2 4 6
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
10．小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
12．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
13．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则 ABC的面积为 ．
15．已知是关于的反比例函数，则 ．
16．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．
17．已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是 ．
18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值．
20．已知函数．
(1)若y是x的正比例函数，则m的值为________；
(2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________．
21．若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积．
x 1 8
y 4 2
(1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据函数关系式完成上表．
22．已知 ABC的三个顶点为、、，将 ABC向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值．
23．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示：
位置 视力值 的值（mm）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2.0 3.5
(1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由；
(2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值．
24．如图，直线与双曲线交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)点C为线段上的一个动点（不与A、B重合），作轴于点D，求面积S的最大值．
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