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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题26.1.2 反比例函数的图像与性质（二）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点
C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称
2．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
8．若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且，则反比例函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为 ．
12．已知反比例函数的图象经过点，则 ．
13．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
14．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ．
15．如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ．
16．物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 度
镜片与光斑的距离
根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度．
17．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
18．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数．
(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？
(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
21．如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
22．已知关于的反比例函数
(1)若该函数的图象经过点，求的值，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围．
23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)结合图象，请直接写出不等式的解集．
(3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标．
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专题26.1.2 反比例函数的图像与性质（二）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点
C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题．
【详解】解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意；
．当，，所以经过，该选项正确，不符合题意；
．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意；
． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意；
故选：D．
2．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，．
【详解】解：∵，
∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵，
∴，，
∴．
故选：C．
3．若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键．
【详解】解：点，，在反比例函数的图像上，
，，，
，在反比例函数的图像上，在每一象限内随的增大而减小，
，
，，的大小关系是：．
故选：B．
4．如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式
根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积
【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，，
∴的面积都等于，
∴四边形的面积为，
故选：D.
5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
由反比例函数的性质可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由两式解得，
则，
故选：．
6．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式，
∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，
A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意；
D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，再列式，因为，所以得，再解方程即可作答．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，及切线的判定和性质，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
【详解】解：根据题意可知，
把代入，得；
把代入，得；
∴，，
，
，
，
，
解得或（，故舍去），
故选：D
8．若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且，则反比例函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质正，根据数轴可得，分别求出各个选项的解析式，再判断即可．
【详解】由数轴可得，
A.过，则，符合题意；
B.过，则，不符合题意；
C.过，则，不符合题意；
D.过，则，不符合题意；
故选：A．
9．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键．
把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式可求得、，进一步求得的值．
【详解】解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数图象上，
∴，
，
，
、在一次函数图象上，
，解得，
．
故选：A．
10．已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数图象点坐标特征，画出示意图，根据反比例函数图象的性质解答即可．
【详解】解：，
反比例函数图象为第一，三象限，
，
两点为圆与双曲线在第一象限的交点，且点A在点B的左侧，两点为圆与双曲线在第三象限的交点，且点D在点C的左侧，
点，且点P在第一象限，
∴点在直线的第一象限的图象上，
如图，连接，
当轴，且轴时，即，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数为：，
∴
∴二次函数的开口向上，对称轴为：，
点关于对称轴的对称点为，
∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
12．已知反比例函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点求出的值，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得
故答案为：．
13．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ．
【答案】12
【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意．
联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解；
【详解】解：将代入得，
整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点，
，
或0（舍去），
故答案是：12．
15．如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键．
设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果．
【详解】解：设，则．
设，则，
，
∴，
∵，
∴，
那么直线 的比例系数可表示为 或，
∴
变形得．
又，
∴．
16．物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 度
镜片与光斑的距离
根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可求解，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：D与f成反比例函数，设，把代入得，，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
17．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，
∴,的面积=的面积=，
∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积，
∴，
解得（负值已舍去），
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
18．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则的值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．由，得，，，所以，，根据，解得，即得，进而即可求得．
【详解】解：如图所示，
，，
，，
，
，
平分矩形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数．
(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？
(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？
【答案】(1)；
(2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大
【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限，
∴，
∴；
∵函数的图象分布在第二、第四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而减小；
∵在每一个象限内，函数随的增大而增大，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而增大．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】(1)反比例函数为，一次函数为
(2)或
【分析】（1）根据点A的坐标，用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，将点代入反比例函数解析式，求出m的值，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）把分别代入反比例函数解析式，求出对应x的值，结合图象，即可进行解答．
【详解】（1）解：点为
，即反比例函数为
将 代入反比例函数得
点为 将 、代入一次函数得
解得 ，
所以一次函数为．
（2）解：把代入得：，解得：；
把代入得：，解得：；
∵点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
21．如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．
（1）将点代入反比例函数可求出k的值；
（2）设点，则，，根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，，
；
（2）设点，则，
．
22．已知关于的反比例函数
(1)若该函数的图象经过点，求的值，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)，图见解析
(2)
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质．
（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据时，随的增大而减少，可知，进而求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得．
∴反比例函数的解析式为，
列表，
x 1 2 3 4
y 1 2 4
描点，连线，函数图象如图，
；
（2）解：在函数图象上，当时，随的增大而减小，
∴，
∴．
故答案是：．
23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解；
（2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
解得，，，
根据图形可得，，
∴，
∵轴，
∴，点到的距离为，
∵，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上，
∴，即，
∵轴，
∴，
∵正比例函数与反比例函数交于点，
∴点关于原点对称，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)结合图象，请直接写出不等式的解集．
(3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标．
【答案】(1)直线的表达式为；反比例函数的表达式为
(2)不等式的解集是
(3)或或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，综合应用反比例函数和一次函数的知识点是解题关键．
（1）将点A和点B的坐标代入直线表达式可得方程组，求解方程组得出参数即可得到直线表达式，将点C的横坐标代入直线表达式可得点C的纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数表达式可得方程，求解方程得出参数可得到反比例函数的表达式；
（2）根据数形结合的思想通过直线图像和反比例函数图像的位置关系求解不等式的解集即可；
（3）先求出，再分情况求出点P坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点和，
∴可得方程组
解得
∴直线的表达式为．
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴，
解得：，
∴．
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
（2）求不等式的解集相当于从图像上看x取何值时，反比例函数的图像不低于直线的图像．
所以从图像上看，当时，反比例函数的图像不低于直线的图像．
所以不等式的解集是．
（3）∵，
∴．
当时，
∵点P在x轴上，
∴或；
当时，
∵点P在x轴上，且，
∴，
∴综上所述或或．
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