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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题26.1.2 反比例函数的图像与性质（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键．
先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．
∴.
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
综上所述， ．
故选C．
2．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
3．若反比例函数的图像在二、四象限，则的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，首先根据反比例函数图像所在的象限，判断得出，从而得出m的取值范围，即可得到答案；
【详解】解：∵反 比例函数的图像在二、四象限，
∴，
∴，
故选：A．
4．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限，
∴，，，
当时，由图象可得，
∴，
∴，
故选：．
5．如图，反比例函数（是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．该函数图象经过点
C．当时，随的增大而减小 D．当，
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点
∴，故A正确，不符合题意；
B. 当时，，则该函数图象经过点，故该选项正确，不符合题意；
C. 根据函数图象可得，当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 根据函数图象可得，当，，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
6．下列函数中，随增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质和反比例函数的图像与性质，正比例函数，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．反比例函数，当时，在或 中，随增大而减小；当时，在或 中，随增大而增大．
【详解】A. ，随增大而减小，故此选项错误；
B. ，随增大而增大，故此选项正确；
C. ，随增大而减小，故此选项错误；
D. ，随增大而减小，故此选项错误，
故选B．
7．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当时，，即，
∴当时，y随x的增大而增大．
A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数的图象开口向上，对称轴为，
则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数的图象开口向下，对称轴为，
则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选：C
8．若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式．此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可．
【详解】解：，，三点都在函数的图象上，
，，．
．
故选：B．
9．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，，
∴，，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
故选：A．
10．如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线的对称点，利用数形结合的思想解答．先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．
【详解】解：∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴A，B，
作点关于直线的对称点，则：，，
∴，
∴当三点共线时，，最小，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：，
∴；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点，，
∴，，
∴，，
∴，，
由图象可得：若，则x的取值范围是或，
故答案为：或．
12．反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可．
【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵反比例函数的图象经过点，，，，
∴，
故答案为：．
13．若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题关键，由题意可得，，再将代数式通分后计算求值即可．
【详解】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，
，，
，
故答案为：．
14．如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键．
当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象可得：当时，则的取值范围是：或，
故答案为：或．
15．观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ；如果x与y成反比例，那么m的值为 ．
x 4 m
y 6 8
【答案】 3
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，运用它们的定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：当x与y成正比例时，设，
得，
解得，
，
，
解得：；
当x与y成反比例，设，
得，
解得，
，
，
解得：，
故答案为：；3．
16．老师给出一个函数，甲，乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一，三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小，请你写一个满足上述性质的函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的性质．当时，图象经过第一，三象限，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，图象经过第二，四象限，在同一个象限，随的增大而增大．根据反比例函数的性质解答．
【详解】解：根据反比例函数的性质满足上述性质的函数只要的反比例函数即可，
例如（答案不唯一）．
17．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值．
【详解】解：∵，
，
，
而，
．
故答案为：．
18．如图，已知，，，…，从是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底高，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)判断该反比例函数图象经过的象限．
【答案】(1)；
(2)第一、三象限．
【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质；
（1）根据图象经过点的意义，代入计算即可；
（2）根据反比例函数的符号进行判断即可．
【详解】（1）解：图象经过点，
，
解得：．
（2）解：当时，
，
，
双曲线的两支分别位于第一、三象限．
20．已知反比例函数（m为常数，且）．
(1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
（1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围；
（2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值．
【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小，
∴，
解得：；
（2）将代入中，得：，
∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：．
将代入得：，
解得：．
21．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)反比例函数的解析式为
(3)或
【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点，可知，再由可求出的长，故可得出A、C点坐标．
（2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
（3）设，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：设交y轴于点D，，
∵点C是点A关于y轴的对称点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴设，
∴，
∵，即，
∴，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出的长是解题的关键．
22．在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象．
(1)填写表格：
__ __
__ __
(2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象．
【答案】(1)填表见解析
(2)画图见解析
【分析】（）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可；
（）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象；
本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，；当时，；
当时，，当时，；
∴填写表格如下：
（2）解：画函数图象如下：
23．图所示曲线是反比例函数的图像的一支．
(1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
(2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值．
【答案】(1)第四象限；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解；
（2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标，再由一次函数可求得点，则，解此方程求出n即可．
【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限；
由图知，解得．
（2）过作轴的垂线，垂足为，如图．
在中，令，则，
解得：
即．
由得，
∴，
即A点的纵坐标为．
将代入，求得，
即．
∴
∴．
24．阅读下面解题过程．
解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（ ）；
A．换元思想 B．数形结合思想 C．整体思想
(2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______；
(3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由．
【答案】(1)B
(2)
(3)只有一个实数根，理由见解析
【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
（1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题．
（2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可．
（3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可，
【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想，
故选：B
（2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标，
∵直线：与直线：交于点，
则，
∴两条直线的交点为，
∴方程组的解是，
故答案为：．
（3）一元三次方程有1个实数根．
由方程得 ，
∴，
∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题，
如图所示：
，
两个函数图像只有一个交点，
∴一元三次方程只有一个实数根．
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专题26.1.2 反比例函数的图像与性质（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若反比例函数的图像在二、四象限，则的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，反比例函数（是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．该函数图象经过点
C．当时，随的增大而减小 D．当，
6．下列函数中，随增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ．
12．反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ．
13．若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
14．如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 ．
15．观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ；如果x与y成反比例，那么m的值为 ．
x 4 m
y 6 8
16．老师给出一个函数，甲，乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一，三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小，请你写一个满足上述性质的函数 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．
18．如图，已知，，，…，从是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知关于的反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)判断该反比例函数图象经过的象限．
20．已知反比例函数（m为常数，且）．
(1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
21．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
22．在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象．
(1)填写表格：
__ __
__ __
(2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象．
23．图所示曲线是反比例函数的图像的一支．
(1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
(2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值．
24．阅读下面解题过程．
解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（ ）；
A．换元思想 B．数形结合思想 C．整体思想
(2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______；
(3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由．
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