中小学教育资源及组卷应用平台
专题26.2实际问题与反比例函数七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：反比例函数的图像与实际
【经典例题1】在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【变式训练1-3】已知圆柱的侧面积是 ，若圆柱底面半径为 ，高线长为 ，则 关于 的函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】一个矩形的面积是，则这个矩形的一组邻边长与的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-5】甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（单位：h）表示为汽车平均速度x单位：）的函数，则此函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：从图像中获取信息判断正误
【经典例题2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大
【变式训练2-1】小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字．
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．
C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．
D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务．
【变式训练2-2】根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．P关于S的函数关系式为，；
B．当时，物体所受的压强是；
C．当时，受力面积是；
D．压强随着面积的增大而增大．
【变式训练2-3】为保护视力，某公司推出一款亮度可调节的台灯．导体中的电流与导体的电阻和导体两端的电压之间满足关系式．台灯灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．如图是通过该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，根据图象判断下列说法错误的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当电阻减小时，通过该台灯的电流增大
D．当时，的取值范围是
【变式训练2-4】嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
【变式训练2-5】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大
C．当时，
D．当时，
题型三：列解析式
【经典例题3】矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是 ．
【变式训练3-1】合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是 ．
【变式训练3-2】数学来源于生活，又服务于生活．反比例函数是描述现实世界中具有反比例变化规律的数学模型．根据反比例函数，编一道生活中的数学问题： ．
【变式训练3-3】近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．（无需确定的取值范围）
【变式训练3-4】你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式 ．
【变式训练3-5】在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
题型四：实际应用之消毒类问题
【经典例题4】某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
【变式训练4-1】为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示．
(1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
(2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【变式训练4-2】为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
(2)当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【变式训练4-3】国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式；
(2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
【变式训练4-4】为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．
(1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式；
(2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
【变式训练4-5】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
(3)当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？
题型五：实际应用之行程问题
【经典例题5】小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为，所需时间为 ．已知当小林骑车的平均速度为 时，所需时间为 ．
(1)求时间关于速度的函数表达式．
(2)如果小林骑车的速度为 ，那么他需要几分钟到达单位？
(3)如果小林骑车到单位不得超过 ，那么他骑车的平均速度至少是多少？
【变式训练5-1】一段高速公路上，当汽车平均速度为 时，通过这段路程所需时间为，设汽车的平均速度为，所需时间为．
(1)求关于的函数表达式，并说明是哪一种函数；
(2)若这段高速公路上汽车的平均速度是，则行驶完这段路程需多少时间？
【变式训练5-2】某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）．
(1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式；
(2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？
【变式训练5-3】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间；
(3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度．
【变式训练5-4】“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间（分）的函数关系描述．如图，2~12分钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数的图象的一部分．
(1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）；
(2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间．
【变式训练5-5】自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速．
(1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式；
(2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？
(3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？
题型六：实际应用之物理问题
【经典例题6】如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．
(1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式．
(2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少，
【变式训练6-1】已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为．
(1)求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
(2)若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值．
【变式训练6-2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F，
(1)求动力F与动力臂l的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件．
【变式训练6-3】综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
(1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
(2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
【变式训练6-4】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)这个反比例函数的解析式是______；
(2)若使用时电阻，则电流是______；
(3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？
【变式训练6-5】如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
(3)若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
【变式训练6-6】某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，该气球内气体的压强和气体体积成反比例．测得一组数据如下表：
150
(1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式．
(2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？
(3)当气球内气体的压强小于且大于时，气球不会爆炸并且形态刚好，求问此时气体的体积的取值范围．
题型七：实际应用之其他问题
【经典例题7】喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．
(1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【变式训练7-1】心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【变式训练7-2】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【变式训练7-3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与的函数表达式；
(2)若该蔬菜适宜生长温度低于16℃，则这天该蔬菜适宜生长的时间是多长？
【变式训练7-4】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）．
(1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中．
(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明．
【变式训练7-5】如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)当时，求与的关系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题26.2实际问题与反比例函数七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：反比例函数的图像与实际
【经典例题1】在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y与x的函数解析式，即可判断其图象．
【详解】解∶根据题意，得，即．
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故答案：C．
【变式训练1-1】已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：．
【变式训练1-2】小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案．
【详解】解：设，当时，，
解得：，
故与的函数表达式为：，
为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，
，
解得：，
他骑车的速度至少是0.2．
故选：A．
【变式训练1-3】已知圆柱的侧面积是 ，若圆柱底面半径为 ，高线长为 ，则 关于 的函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图象的识别，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
根据题意有：，化简可得；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义、应大于0，其图象在第一象限；即可得出答案．
【详解】解：，
．
故选：B．
【变式训练1-4】一个矩形的面积是，则这个矩形的一组邻边长与的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考查了反比例函数的应用及图象，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据题意有：；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象应在第一象限．
【详解】解：由矩形的面积公式可得：，
∴
故选：D．
【变式训练1-5】甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（单位：h）表示为汽车平均速度x单位：）的函数，则此函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，形如的函数叫反比例函数，反比例函数的图象是双曲线；有实际意义的反比例函数图象应只在第一象限．根据时间路程速度，得到相应的函数解析式，看属于哪类函数，得到相应图象即可．
【详解】解：，
，
符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数，
图象应为双曲线在第一象限的一支．
故选：C
题型二：从图像中获取信息判断正误
【经典例题2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求反比例函数解析式、求函数值、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法可求得，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解．
【详解】设反比例函数的解析式为：，其中，将点代入，
得：，解得：，即该反比例函数的解析式为：，故A正确；
当时，则，故B错误；
由图像可知，当时，，故C错误；
因为电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，
所以当电阻越大时，蓄电池的电流越小，故D错误；
故选：A．
【变式训练2-1】小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字．
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．
C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．
D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务．
【答案】C
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断C选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断D选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：，
解得：，
即反比例函数解析式为，
A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意；
B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意；
C、当录入时间时，，
，在第一象限内，随的增大而减小，
即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
D、当时，，
当时，，
（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
故选：C
【变式训练2-2】根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．P关于S的函数关系式为，；
B．当时，物体所受的压强是；
C．当时，受力面积是；
D．压强随着面积的增大而增大．
【答案】D
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数解析式，再利用函数解析式和函数图象分别进行解答即可．
【详解】解：把代入得到，，
∴P关于S的函数关系式为，，
故A正确；
当时，物体所受的压强是，故B正确；
当时，，解得，即受力面积是；故C正确；
∵，
∴在压力不变的情况下，某物体承受的压强随着面积的增大而减小，故D错误．
故选：D
【变式训练2-3】为保护视力，某公司推出一款亮度可调节的台灯．导体中的电流与导体的电阻和导体两端的电压之间满足关系式．台灯灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．如图是通过该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，根据图象判断下列说法错误的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当电阻减小时，通过该台灯的电流增大
D．当时，的取值范围是
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的性质逐项分析即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：A、将代入关系式得：，
解得：，
∴与的函数关系式是，故原说法正确，不符合题意；
B、当时，，故原说法错误，符合题意；
C、当电阻减小时，通过该台灯的电流增大，故原说法正确，不符合题意；
D、当时，的取值范围是，即，故原说法正确，不符合题意；
故选：B．
【变式训练2-4】嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入，
可得：，
解得：，
，
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
【变式训练2-5】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
【详解】解：设，
将代入得，
解得，
，故A选项错误，不符合题意；
容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意；
将代入得，解得：，
当时，，故C选项正确，符合题意；
将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
题型三：列解析式
【经典例题3】矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可．
【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，另一边长为，
∴，即．
故答案为：．
【变式训练3-1】合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据速度时间路程，即可得到结论，正确理解路程、速度、时间三者之间的关系对解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：，
故答案为．
【变式训练3-2】数学来源于生活，又服务于生活．反比例函数是描述现实世界中具有反比例变化规律的数学模型．根据反比例函数，编一道生活中的数学问题： ．
【答案】一辆汽车从甲到开往乙地，其速度为x千米/小时，求其到达乙地需要的时间y（小时）与速度x（千米/小时）的函数关系（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，只需要建立两个变量乘积为定值240，需要求解两个变量的函数关系式的问题即可．
【详解】解：甲、乙两地相距240千米，一辆汽车从甲到开往乙地，其速度为x千米/小时，求其到达乙地需要的时间y（小时）与速度x（千米/小时）的函数关系式．
故答案为：一辆汽车从甲到开往乙地，其速度为x千米/小时，求其到达乙地需要的时间y（小时）与速度x（千米/小时）的函数关系（答案不唯一）．
【变式训练3-3】近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．（无需确定的取值范围）
【答案】
【分析】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式．设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：，把代入即可求出k的值．
【详解】解：设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：，
把代入，
可得出，
∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为，
故答案为：．
【变式训练3-4】你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可．
【详解】解：设y与x的函数关系式为．
将代入上式，
解得：，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-5】在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
【答案】(1)
(2)当力时，物体在力的方向上移动的距离为
【分析】本题考查的是反比例函数系数等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单．
（1）设函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）把代入函数关系式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
其函数关系式为，
点是反比例函数图象上的点，
∴．
此函数的解析式为；
（2）解：把代入函数关系式得：，
．
即当力时，物体在力的方向上移动的距离为．
题型四：实际应用之消毒类问题
【经典例题4】某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设正比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由可得，当时，，
由可得，当时，，
由函数图象可得，当时，，
∵，
∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室．
【变式训练4-1】为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示．
(1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
(2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【答案】(1)分钟
(2)完全有效，见解析
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
（1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果．
（2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果．
【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
（分钟）．
答：至少经过分钟后学生方可返回教室．
（2）当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
对于，当时，，
，
，
此次消毒是完全有效，
答：此次消毒完全有效．
【变式训练4-2】为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
(2)当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【答案】(1)，
(2)分钟
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定反比例函数的解析式．
（1）药物燃烧后与的函数关系式为，将点代入即可求解；
（2）将代入反比例函数的解析式，求出对应的值，即可求解．
【详解】（1）解：药物燃烧后与的函数关系式为，
将点代入得：，
药物燃烧后与的函数关系式为，自变量取值范围是，
故答案为：，；
（2）当时，，
解得：，
从消毒开始，至少需要分钟后，学生才能回到教室．
【变式训练4-3】国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式；
(2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
【答案】(1)
(2)这次消毒很彻底
【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质．
（1）设双曲线的解析式为，将代入求得，再求出，设线段的函数解析式为，将，代入计算即可；
（2）将分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效．
【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，
将代入解析式得，，
药物在燃烧释放过程中，双曲线的函数解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
故，
设线段的函数解析式为，
将代入可得：，
解得：，
药物在燃烧释放过程中，线段的函数解析式为，
综上，；
（2）解：将代入中，可得：，解得：，
将代入中，，解得：，
∴空气中每立方米的含药量不低于4毫克的时间为，
这次消毒很彻底．
【变式训练4-4】为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．
(1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式；
(2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
【答案】(1)；
(2)此次消毒有效，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键．
（1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式；
（2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效．
【详解】（1）解：当时，
设，将代入，
则，
∴；
（2）解：此次消毒有效．理由如下：
当时，
设，将代入，
则，解得：，
∴；
当时，，解得，
当时，，解得，
∵，
∴此次消毒有效．
【变式训练4-5】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
(3)当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？
【答案】(1)反比例函数关系式为，正比例函数关系式为；
(2)至少需要经过6小时后，学生才能进入教室
(3)小时
【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案．
（3）把代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间．
【详解】（1）解：将点代入函数关系式得：，
解得，有，
将代入得：，
解得：，
所以所求反比例函数关系式为，
再将代入得：，
解得：，
所以所求正比例函数关系式为．
（2）解：根据题意可得：，
解得，
根据图象可知：当时，，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．
（3）解：把代入到得：，
解得：，
把代入到得：，
解得：，
∴消毒的有效时间为：（小时）．
题型五：实际应用之行程问题
【经典例题5】小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为，所需时间为 ．已知当小林骑车的平均速度为 时，所需时间为 ．
(1)求时间关于速度的函数表达式．
(2)如果小林骑车的速度为 ，那么他需要几分钟到达单位？
(3)如果小林骑车到单位不得超过 ，那么他骑车的平均速度至少是多少？
【答案】(1)
(2)12分钟
(3)至少是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键．
（1）根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；
（2）把代入函数解析式，即可求得时间．
（3）把代入函数的解析式，即可求得速度；
【详解】（1）解：时间 关于速度 的函数表达式为：，
即．
（2）解：把代入函数解析式得：，
解得：．
答：他至少需要12分钟到达单位．
（3）解：把代入函数的解析式，得：，
答：他骑车的平均速度至少是：．
【变式训练5-1】一段高速公路上，当汽车平均速度为 时，通过这段路程所需时间为，设汽车的平均速度为，所需时间为．
(1)求关于的函数表达式，并说明是哪一种函数；
(2)若这段高速公路上汽车的平均速度是，则行驶完这段路程需多少时间？
【答案】(1)，反比例函数
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据速度，时间与路程的关系，列出函数关系式即可求解；
（2）将代入（1）的关系式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
∴，
∴y是关于x的反比例函数；
（2）解：将代入
∴行驶完这段路程需．
【变式训练5-2】某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）．
(1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式；
(2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？
【答案】(1)
(2)该海轮从港返回港需小时
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函数关系是解决本题的关键．
（1）货船行驶的路程不变，因而时间与速度成反比例函数关系，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）在解析式中令，即可求得时间．
【详解】（1）设函数的解析式是，把，得：，
则函数的解析式是：；
（2）当时，．
从港返回港（沿原水路）需5小时．
【变式训练5-3】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间；
(3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度．
【答案】(1)
(2)车到达B地所需的最短时间为
(3)乙车的速度为
【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键．
（1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可；
（2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可；
（3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴y关于x的函数表达式为．
（2）解：∵，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y值最小， ，
∴甲车到达B地所需的最短时间为．
（3）解：乙车的速度为．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
，
答：乙车的速度为．
【变式训练5-4】“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间（分）的函数关系描述．如图，2~12分钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数的图象的一部分．
(1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）；
(2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间．
【答案】(1)；
(2)每天至少需要执勤的时间为分钟．
【分析】本题考查了函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量值，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据二次函数的顶点坐标设顶点式，再将点代入二次函数的表达式求出的值即可；将点代入反比例函数函数表达式，求出的值即可；
（2）求出当函数值为时，两段函数的自变量取值，再结合图象作差即可．
【详解】（1）解：由图象可知，二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数表达式为，
将点代入二次函数的表达式得：，
解得：，
二次函数表达式为；
将点代入反比例函数函数表达式得：，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：由，
解得：或（舍），
由，
解得：，
，
每天至少需要执勤的时间为分钟．
【变式训练5-5】自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速．
(1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式；
(2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？
(3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数应用，根据题目给定条件正确列出有关量的函数表达式，是解答关键．
（1）根据路程、速度、时间之间的关系列出t与v之间的函数表达式即可；
（2）把代入到（1）得到的函数表达式全程运行时间；
（3）把代入到（1）得到的函数表达式得到提速后的平均速度，再根据题意判定速度范围即可．
【详解】（1）解：
∴
（2）当时，
答：提速后全程运行3h．
（3）当时，
由函数增减性可知，速度至少为．
题型六：实际应用之物理问题
【经典例题6】如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．
(1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式．
(2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少，
【答案】(1)
(2)弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力即弹簧秤的示数最小，最小示数为
【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用反比例函数的性质求最值．
（1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到和的函数关系，从而可以写出和满足哪种函数关系；
（2）根据反比例函数的性质和木杆的总长度，可以得到移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小），并求出此时弹簧秤的示数为多少．
【详解】（1）解：根据杠杆原理可知：
，
，
即是关于的反比例函数，函数表达式为；
（2）解：，，
当时，随的增大而减小，
当取最大值时，取最小值，
木杆长，为木杆的中点，故，
当时，，
答：弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力（弹簧秤的示数最小），最小示数为．
【变式训练6-1】已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为．
(1)求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
(2)若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，求自变量的值．熟练掌握反比例函数的应用，求自变量的值是解题的关键．
（1）设I关于R的函数表达式为，将，代入，可求，则，由题意知，；
（2）将代入得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为，
将，代入得，，
∴，
由题意知，，
∴I关于R的函数表达式为，自变量R的取值范围；
（2）解：将代入得，，
解得，，
∴选用灯泡的电阻R的值为．
【变式训练6-2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F，
(1)求动力F与动力臂l的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析．
（1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可；
（2）将代入函数解析式，求出l的值即可；
（3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可．
【详解】（1）解：∵阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，
∴，
即；
（2）解：把代入得：
，
解得：，
答：他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头；
（3）解：∵动力臂为，
∴若想撬动石头，必须使，
即．
【变式训练6-3】综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
(1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
(2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据杠杆平衡条件列出等式．
（1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据，求出的取值范围即可；
（2）设点处的读数为，则点N处的读数为，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出．
【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为，
即，，
根据杠杆平衡条件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【变式训练6-4】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)这个反比例函数的解析式是______；
(2)若使用时电阻，则电流是______；
(3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？
【答案】(1)；
(2)0.3；
(3)．
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中求解即可；
（3）先求出当A时，，再由I随R的增大而减小，可知要使电流不能超过10A，则电阻要不低于．
【详解】（1）解：设反比例函数式，
∵把代入反比例函数式，
∴，
∴；
（2）解：当，；
（3）解：将代入，得，解得．
根据反比例函数的性质，，
∴在第一象限内，I随着R的增大而减小．
所以用电器的可变电阻至少是．
【变式训练6-5】如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
(3)若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
【答案】(1)
(2)人和木板对滩涂的压强是
(3)至少需要
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用等知识点，
（1）根据，得出结论；
（2）把代入（1）中解析式即可；
（3）根据反比例函数的性质得出结论；
关键是求出反比例函数解析式．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当时，，
答：人和木板对滩涂的压强是；
（3）解：∵，
∴当时，p随S的增大而减小，
∴当时，即，
∴，
答：“木海马”底面面积至少需要．
【变式训练6-6】某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，该气球内气体的压强和气体体积成反比例．测得一组数据如下表：
150
(1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式．
(2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？
(3)当气球内气体的压强小于且大于时，气球不会爆炸并且形态刚好，求问此时气体的体积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，利用反比例函数解析式的数值的意义求解是解题的关键．
（1）设函数解析式为，把点代入函数解析式求出值即可；
（2）将代入（1）中的反比例函数解析式即可求出；
（3）将和代入（1）中的反比例函数解析式，再根据增减性即可求出的范围．
【详解】（1）解：设，
将点代入，得，
，
故这个函数的解析式为；
（2）解：当时，．
（3）解：当时，．
当时，．
∵压强随体积的增大而减小，
∴．
题型七：实际应用之其他问题
【经典例题7】喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．
(1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】(1)，，
(2)min
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
（1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【详解】（1）解：设停止加热时，设，
由图可知，将代入得：，解得：，
，
当时，得，解得：，
点坐标为，
点坐标为，
设当加热烧水时，设，
由图及题意可知，将代入得：，解得：，
当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；；
（2）解：把代入，得，
（分钟）；
从烧水开到泡茶需要等待分钟．
【变式训练7-1】心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【答案】(1)
(2)老师安排不合理，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键；
（1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案；
（2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论；
【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为
过点，
，
．
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设
∵直线过点和
解得，，
令，
，
令，
，
老师安排不合理．
【变式训练7-2】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【答案】(1)
(2)
(3)饮水机内水温约为，共有6次达到
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数，
设将代入得：
，
解得，
∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：；
（2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为，
依据题意得：，解得，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，
经历时间为分钟，
，
∴当时，，
答：饮水机内水温约为，共有6次达到．
【变式训练7-3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与的函数表达式；
(2)若该蔬菜适宜生长温度低于16℃，则这天该蔬菜适宜生长的时间是多长？
【答案】(1)
(2)一天该蔬菜适宜生长的时间是14.5小时
【分析】本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解此题的关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再将分别代入两个函数解析式，求出两个时间差，再计算适宜蔬菜生长的时间即可．
【详解】（1）解：设双曲线解析式为，
∵，
∴，
∴双曲线解析式为；
答：y与的函数表达式为：；
（2）解：设直线的解析式为，将代入得：，
解得，
∴直线解析式为：，
当时，，
在反比例函数中，当时，，
一天中蔬菜不能生长的时间为：，
∴这天该蔬菜适宜生长的时间是（小时）．
答：一天该蔬菜适宜生长的时间是小时．
【变式训练7-4】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）．
(1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中．
(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明．
【答案】(1)5；
(2)教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据实际意义列出解析式是解题的关键．
（1）根据图像信息即可得到结论；
（2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差与比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由图像可知，
设线段的解析式为，
将代入，
得：，
解得，
故线段的解析式为，
设双曲线的解析式为，
将代入，求得，
双曲线的解析式为，
当时，，
当时，，
故上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第5分钟时学生的注意力更集中；
（2）解：当，，解得，
当，，解得，
，
教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．
【变式训练7-5】如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)当时，求与的关系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？
【答案】(1)；
(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是注意临界点的应用．
（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论．
【详解】（1）解：设双曲线解析式为：，
，
，
与的关系式为：；
（2）解：设的解析式为：，
把，代入中得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得：，
把代入，
得：，
解得：，
．
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
