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专题26.1.1反比例函数六大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：用反比例函数描述数量关系
【经典例题1】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【答案】 反
【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例．
【详解】解：由表格可知：，
，
y与x成反比例关系．
故答案为：，反．
【变式训练1-1】如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【答案】(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数，
故答案为：，一次．
（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数，
故答案为：，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函数，
故答案为：，二次．
【变式训练1-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可．
【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系，
∴根据压强公式得： ，
故答案为：．
【变式训练1-3】一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：，可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式．
【变式训练1-4】下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了正比例和反比例的概念；
根据乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例逐项判断即可．
【详解】解：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数的和一定，未读的页数与已读的页数不成正比例，说法错误；
②如果保持圆的半径不变，圆的周长也不变，而圆周率是定值，故圆的周长与圆周率不成正比例，说法错误；
③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例，说法正确；
④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例，说法正确；
正确说法的个数有2个，
故选：B．
题型二：根据定义判断是否为反比例函数（解析式）
【经典例题2】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地，形如，其中是常数的函数叫做反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意；
B、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意；
C、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意；
D、可化为，符合的形式，是反比例函数，符合题意，
故选：D．
【变式训练2-1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论．
【详解】解：反比例函数形式为：，
则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数，
④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数，
故①③④是反比例函数，
故选：C．
【变式训练2-2】下列关系式中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意形如“”形式称为是关于的反比例函数，逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：是反比例函数，B选项符合题意，
中是关于的正比例函数，A选项不符合题意，
和中也不是关于的反比例函数，C，D不符合题意，
故选：B．
【变式训练2-3】下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
根据形如，y叫x的反比例函数，作出判断即可．
【详解】解：①是正比例函数，故①不能表示y是x 的反比例函数；
②是反比例函数，故②能表示y是x 的反比例函数；
③∵，∴，故③能表示y是x 的反比例函数；
④ ∵，∴，故④能表示y是x 的反比例函数；
⑤是正比例函数，故⑤不能表示y是x 的反比例函数；
∴②③④，共3个能表示y是x 的反比例函数．
故选：B．
【变式训练2-4】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示y是x的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数及反比例函数的定义，正确理解相关定义是解题的关键．
根据反比例函数的定义分析即可得出答案．
【详解】解：①，不是反比例函数；
②，是反比例函数；
③，是反比例函数；
④，是反比例函数；
⑤，不是反比例函数．
综上所述，能表示y是x的反比例函数的有3个．
故选：B．
【变式训练2-5】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，．
利用反比例函数定义进行解答即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是反比例函数，故此选项符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
题型三：根据定义判断是否为反比例函数（叙述）
【经典例题3】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【答案】C
【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．
【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；
B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意；
C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；
D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．
【变式训练3-1】下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式．
根据正比例函数的定义及形式反比例函数的定义及形式可判断各个命题的真假．
【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y，
∴，即，
∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误；
B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b，
∴等腰三角形底边上的高为，
∵等腰三角形的面积为1，
∴，即，
∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误；
C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1，
∴长与宽的乘积为定值，
∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确；
D、设等边三角形的边长为t，面积为S，
∴等边三角形的高为，
∴，
∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误．
故选C．
【变式训练3-2】下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案．
【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意；
B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意；
C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意；
D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意；
故选：D
【变式训练3-3】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）
A．读一本书，已读的页数与未读的页数
B．小明的年龄和妈妈的年龄
C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数
D．平行四边的面积一定，它的底和高
【答案】D
【详解】本题考查成反比例关系的判定，关键是就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例．按成反比例关系的定义判定即可．
【解答】解：A、已经读了的页数未读的页数这本书的总页数（一定），和一定，所以已经读了的页数与未读的页数不成比例；
B、妈妈的年龄与小明的年龄差一定，所以小明的年龄和妈妈的年龄不成比例；
C、出勤人数：总人数出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例；
D、平行四边形的底高平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的底和高成反比例．
故选：D．
题型四：根据定义求反比例函数中的参数
【经典例题4】已知函数 是反比例函数，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
解得，，
∴，
故选：B ．
【变式训练4-1】已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数．
【详解】∵函数是关于的反比例函数，
∴，解得：，
故答案为：．
【变式训练4-2】若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】已知函数是反比例函数，则
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案．
【详解】解：∵
则，
解得：
．
故答案为：．
【变式训练4-4】已知是反比例函数，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：4．
【变式训练4-5】已知函数．
(1)当m取什么值时，y是x的二次函数．
(2)当m取什么值时，y是x的反比例函数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的定义，反比例函数的定义，解一元二次方程及不等式，掌握相关定义是解题关键．
（1）根据二次函数的定义列方程和不等式求解即可；
（2）根据反比例函数的定义列方程和不等式求解即可．
【详解】（1）解：函数是y关于x的二次函数，
，，
解得：，
即当时，y是x的二次函数；
（2）解：函数是y关于x的反比例函数，
，，
解得：，
即当时，y是x的反比例函数．
题型五：求反比例函数值
【经典例题5】反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故符合题意；
D、当时，，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-1】若点不在双曲线上，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意在双曲线上的点满足，然后逐项代入判断即可．
【详解】解：
在双曲线上的点满足
A、，故该点在此双曲线上，选项A不符合题意；
B、，故该点不在此双曲线上，选项B符合题意；
C、，故该点在此双曲线上，选项C不符合题意；
D、，故该点在此双曲线上，选项D不符合题意；
故选：B．
【变式训练5-2】已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解．
【详解】解：点是反比例函数图象上一点，
，，
，
，
当，时，有最小值为，
故选：A．
【变式训练5-3】已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ．
【答案】
【分析】直接根据解答即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象过点和点，
∴，
，
解得．
故答案为：．
【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故答案为：0．
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，，
又∵，
∴，
即；
即的值为．
故答案为：．
题型六：反比例函数之定义新运算
【经典例题6】定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标．
【答案】(1)①②
(2)的值为或或或；
(3)
【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可；
（2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可；
（3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在中，令得，
∴或，
∴当时，当时，，
∴的图象上存在“平衡点”和，
同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”；
故答案为：①②；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
当时，，
，，，
若，则，
解得；
若，则，
解得或；
若，则，
解得或（此时，重合，舍去）；
的值为或或或；
（3）解：设，
，
抛物线的顶点为，
点关于的对称点为，
旋转后的抛物线解析式为，
在中，令得：
，
，
旋转后的图象上恰有个“平衡点”
有两个相等实数根，
，即，
，
∴的纵坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式训练6-1】定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．
例如，点是点的“级变换点”
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
(3)且
【分析】对于（1），根据定义解答即可；
对于（2），先求出两直线的关系式，再将代入关系式，讨论得出结论；
对于（3），由定义可知“1级变换点”都在函数的图象上，再将两个函数关系式联立，根据图像有交点求出，进而确定两个图象的交点为，然后分和两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）不存在，理由如下：
根据定义可知的k级变换点为，
将点代入函数，得，
无解，所以不存在；
（2）点的“k级变换点”为，
∴直线和直线的关系式为，，
当时，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）二次函数的图象的点的“1级变换点”都在函数的图象上，
即，
整理，得，
，
函数的图象和直线有公共点，
由的公共点是．
当时，，得，
又，
解得，
∴且；
当，时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
所以n的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级变换点”是解题的关键．
【变式训练6-2】平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点
根据定义，解答下列问题：
(1)点的“可控变点”为点________．
(2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________．
(3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或．
【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点；
（2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为；
（3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点，
（2）当时，点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，…，
故每四次变化出现一次循环；
当时，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，…，
故每四次变化出现一次循环；
∵，
∴当点的坐标为，则点的坐标为．
（3）由题意知，点M在上，设，
当时，的“可控变点”坐标为：，
∵点是函数图象上点的“可控变点”，
∴，则，
∴，
当时，的“可控变点”坐标为：，
∵点是函数图象上点的“可控变点”，
∴，则，
此时，
∴
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断．
【变式训练6-3】在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)点的限变点的坐标是 ；
(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；
(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点B是函数图象上某一个点的限变点，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据限变点的定义进行求解即可；
（2）先分别假设A、B是函数图象上某一个点的限变点，进而求出函数图象上对应点的坐标，看该点是否在函数图象上即可；
（3）根据题意可得图象上的点P的关联点必在函数的图象上，然后结合函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点的限变点的坐标是，
故答案为：
（2）解：点B是函数图象上某一个点的限变点，理由如下：
∵，
∴若点A是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，
又∵不在函数图象上，
∴点A不是函数图象上某一个点的限变点；
∵，
∴若点B是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，
又∵在函数图象上，
∴点B是函数图象上某一个点的限变点；
（3）解：由题意得，图象上的点P的关联点必在函数的图象上，
∵，
∴或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数与几何综合等等，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练6-4】在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点．
(1)在，，，中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或；
【分析】（1）根据负等积点定义直接求值判断即可得到答案；
（2）设点，根据负等积点定义代入列式求值即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
，故不是点M的负等积点，
，故是点M的负等积点，
，故不是点M的负等积点，
，故是点M的负等积点，
故答案为：，；
（2）解：设，
∵点N是点M的负等积点，
∴，
解得：，
∴点N的坐标为：或；
【点睛】本题考查新定义下运算及反比例函数图像上点，解题的关键是读懂新定义，根据新定义列方程求解．
【变式训练6-5】定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”．例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为（1，1）．
(1)在下列关于x的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“√”．
①________；②________；③________．
(2)若点A，点B是“等值函数”（其中m＞0）上的“等值点”，且，求m的取值范围；
(3)若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，n的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)①×，②√，③√；
(2)
(3)，．
【分析】（1）根据等值函数的定义判断即可；
（2）根据根与系数关系求出m的取值即可；
（3）根据得出m，n，k的关系式，分情况讨论得出k的值即可．
【详解】（1）解：①∵时无解，
∴不是“等值函数”；
②时，解得，
∴是“等值函数”；
③时，
解得或，
∴是“等值函数”；
故答案为：①×，②√，③√；
（2）解：∵是“等值函数”，
∴，
整理得，，
∵点A、点B是“等值函数”上的“等值点”，
设，，
∴，，，
∴
∵，∴，
∴；
（3）解：∵“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，
∴，且，
∴，
，
∴，
n是关于m的二次函数，对称轴为，
①若，即，
当时，n有最小值k，，
∴；（舍去），
∴；
②若，即，当时，n有最小值k，，
解得（舍去）；
③若，即，当时，n有最小值k，，
解得；
综上所述：，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，根据二次函数与x轴交点的个数得出的取值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
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专题26.1.1反比例函数六大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：用反比例函数描述数量关系
【经典例题1】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【变式训练1-1】如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【变式训练1-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
【变式训练1-3】一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ．
【变式训练1-4】下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：根据定义判断是否为反比例函数（解析式）
【经典例题2】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】下列关系式中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-4】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示y是x的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-5】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据定义判断是否为反比例函数（叙述）
【经典例题3】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【变式训练3-1】下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
【变式训练3-2】下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【变式训练3-3】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）
A．读一本书，已读的页数与未读的页数
B．小明的年龄和妈妈的年龄
C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数
D．平行四边的面积一定，它的底和高
题型四：根据定义求反比例函数中的参数
【经典例题4】已知函数 是反比例函数，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．任意实数
【变式训练4-1】已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
【变式训练4-2】若函数是反比例函数，则的值是 ．
【变式训练4-3】已知函数是反比例函数，则
【变式训练4-4】已知是反比例函数，则 ．
【变式训练4-5】已知函数．
(1)当m取什么值时，y是x的二次函数．
(2)当m取什么值时，y是x的反比例函数．
题型五：求反比例函数值
【经典例题5】反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】若点不在双曲线上，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式训练5-3】已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ．
【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
题型六：反比例函数之定义新运算
【经典例题6】定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标．
【变式训练6-1】定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．
例如，点是点的“级变换点”
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围．
【变式训练6-2】平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点
根据定义，解答下列问题：
(1)点的“可控变点”为点________．
(2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________．
(3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标．
【变式训练6-3】在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)点的限变点的坐标是 ；
(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；
(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
【变式训练6-4】在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点．
(1)在，，，中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标．
【变式训练6-5】定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”．例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为（1，1）．
(1)在下列关于x的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“√”．
①________；②________；③________．
(2)若点A，点B是“等值函数”（其中m＞0）上的“等值点”，且，求m的取值范围；
(3)若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，n的最小值为k，求k的值．
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