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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（一）七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：判断点是否在反比例函数上
【经典例题1】反比例函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．
根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．
【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意；
B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意；
C项将代入反比例函数得到，故C项符合题意；
D项将代入反比例函数得到，故D项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-1】下列各点不在反比例函数图像上的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，判定点与反比例函数的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：∵，
∴点在反比例函数上，故A不符合题意；
∵，
∴点在反比例函数上，故B不符合题意；
∵，
∴点不在反比例函数上，故C符合题意；
∵，
∴点在反比例函数上，故D不符合题意；
故选C．
【变式训练1-2】点在函数（ ）的图像上
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了函数的性质，掌握点坐标代入函数解析式成立，则点在函数图象上是解题的关键．
将点分别代入解析式即可求解；
【详解】解：将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
将点代入，等式成立，故该选项符合题意；
将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．根据反比例函数中对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，此点不在反比例函数的图象上；
B、，此点不在反比例函数的图象上；
C、，此点不在反比例函数的图象上；
D、，此点在反比例函数的图象上．
故选：D
【变式训练1-4】若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入求出即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴反比例函数一定还经过点，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．
【变式训练1-5】下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，代入求出的值，根据纵横坐标的积等于，逐项判定即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
，
A、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
B、，∴点在反比例函数图象上，故此选项符合题意；
C、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
D、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的点坐标的特征为：纵横坐标的积为常数．
题型二：已知反比例函数分布象限求参数范围
【经典例题2】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
【详解】依题意有，解得或，
∵函数图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴的值是，
故选：．
【变式训练2-1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限，
则，
解得，
故选：A．
【变式训练2-2】若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案．
【详解】反比例函数的图形位于第一、三象限，
，
解得．
故选：A．
【变式训练2-3】若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，解得，所以，然后找出此范围内的整数即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
，解得，
，
整数为4．
故选：C．
【变式训练2-4】已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值．
【详解】解：多项式是一个完全平方式，
，
反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得：，
，
故答案为：．
【变式训练2-5】若双曲线经过第二、四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据双曲线经过第二、四象限，则据此求解即可．
【详解】解：双曲线经过第二、四象限，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
题型三：判断反比例函数的增减性
【经典例题3】对于反比例函数，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】当时，，
反比例函数中，，
此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
，
当时，；
当时，，
综上所述：y的取值范围是或，
故选：D．
【变式训练3-1】在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意利用反比例函数图象及性质可知随增大而减小，继而根据关系得到的关系．
【详解】解：∵函数的图象上有两点，
∴当时，随增大而减小，
∵，
∴，
故选∶D．
【变式训练3-2】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接）
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且个每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，都在函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-3】对于反比例函数，下列说法正确的是( )
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数，
A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意；
B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、在每个象限内，随的增大而增大，故选项C不符合题意；
D、∵当时，，时，
∴当时，，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式训练3-4】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是反比例函数的性质和象限内点坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限函数的增减性解答．
【详解】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y的值随着x的值增大而减小，
点在第三象限，
，
，
，两点在第一象限，
，
，，的大小关系为．
故选：B．
【变式训练3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象在一、三象限
B．当时，随增大而减小
C．若在该函数图象上，则
D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意；
、当时，随增大而增大，故不符合题意;
、若在该函数图象上，则，故符合题意；
、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意；
故选：.
题型四：判断反比例函数所在象限
【经典例题4】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，根据当时，反比例函数的图象经过第二、四象限求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
【变式训练4-1】已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴此函数的图象位于一、三象限，
故选：B．
【变式训练4-2】若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质.
先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限，
故选：C
【变式训练4-3】直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，
∴，；
∴
∴反比例函数的图象位于第二、四象限
故选：C
【变式训练4-4】已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限．
【详解】解：把代入，
则，
∴此反比例函数的图象在一，三象限，
故选：B．
【变式训练4-5】二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了利用二次函数图象判断各项系数的符号，反比例函数的性质；由图象可判断，，，由反比例函数性质即可求解；会利用二次函数图象判断各项系数的符号，理解反比例函数性质是解题的关键．
【详解】解：由图象得
抛物线开口方向向上，
，
与轴交点在轴的负半轴，
，
对称轴在轴的左侧，
，
，
，
反比例函数的图象一定位于第二、四象限；
故选：D．
【变式训练4-6】当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限．
【答案】 一、三
【分析】此题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程、反比例函数的图象和性质等知识．
根据定义得到，解得，，再根据当时，反比例函数随x的减小而增大得到，图象分别在第一、三象限．
【详解】解：根据题意，得，
∴
解得，
∵当时，反比例函数随x的减小而增大，
∴，
∴
∴，
此时图象分别在第一、三象限．
故答案为：，一、三
题型五：已知反比例函数增减性求参数
【经典例题5】已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得．
【详解】解：，
函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
点在函数的图象上，
又，，
∴，
，
∴，
∴的值可以是1；
故答案为：C．
【变式训练5-1】在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在象限是解答本题的关键．
先根据“当，”得到反比例函数在二、四象限，进而得到，求解即可解答本题．
【详解】解：时，，
反比例函数在二、四象限，
，
解得：，
故选：A．
【变式训练5-2】如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（ ）
A．或
B．或或
C．或
D．或或
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集．
【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或．
故选：C．
【变式训练5-3】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据，且，得到，解答即可．
本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据，且，
∴即，
解得，
故答案为：．
【变式训练5-4】已知反比例函数（为常数）．
(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
(2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解；
（2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得：，
∴a的取值范围是：；
（2）解：∵当时，y随x的值增大而减小，
，
解得：，
∴a的取值范围是：．
【变式训练5-5】已知函数．
(1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？
(2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可．
（1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可．
（2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可．
【详解】（1）解：当函数为正比例函数时，
则，
解得：，
∵随的增大而增大．
∴，
∴，
∴．
（2）当函数为反比例函数时，
则，
解得：，
∵图象经过第一、三象限
∴，
∴，
∴．
题型六：反比例函数与二次函数图像综合
【经典例题6】已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可．
【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限，
符合条件的只有A选项，
故选：A．
【变式训练6-1】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】A.由二次函数图象可知， ，时，
∴
∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误；
B. 由二次函数图象可知， ，时，
∴
∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误；
C. 由二次函数图象可知， ，时，
∴
∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确；
D. 由二次函数图象可知， ，时，
∴
∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误；
故选：C．
【变式训练6-2】如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可．
【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴，
，，，
函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限，
故选：B．
【变式训练6-3】二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可．
【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，
一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合，
故选：B．
【变式训练6-4】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键；
分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确；
当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确，
当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确，
故选：A．
题型七：画反比例函数图像
【经典例题7】如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF(1)请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)．
【答案】(1)
(2)见解析，函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小
(3)或
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质；
（1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可；
（2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可；
（3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴；
（2）解：函数、的图象如图：
函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）解：由两个函数图像可知，当时的取值范围为或．
【变式训练7-1】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____；
x …… 1 2 3 4 5 ……
y …… 1 5 5 a ……
②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象：
(2)探究函数性质
请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________．
(3)运用函数图象及性质
①写出方程的解_________________；
②写出不等式的解集_________________；
③写出不等式与的解集_________________．
【答案】(1)①1；②见解析；③见②图
(2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
(3)①或；②或；③或．
【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案．
【详解】（1）解：①列表：当时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大；
故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大；
（3）①观察函数图象可得：当时，或，
∴方程的解是或，
故答案为：或；
②观察函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集或，
故答案为：或；
③观察函数图象可得，当或时，，
不等式与的解集或，
故答案为：或．
【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或，图见解析
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
（1）先根据的图象经过点，得到，即可得到解析式．
（2）联立函数和，确定交点横坐标分别为，，根据图象，即可得到关于的不等式的解集．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）函数和的图象如下：
由题意，联立，
解得，，
结合图象可知关于的不等式的解集为：或．
【变式训练7-3】如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的方向移动到点（含端点和点），设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记．
(1)求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在的取值范围内画出，的图象；
(3)写出函数的一条性质：的一条性质 ；
(4)结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)图见解析
(3)当时，是一次函数
(4)时，
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，熟练掌握一次函数和反比例函数的知识是解题的关键．
（1）分段得出，与的函数关系式即可；
（2）根据（1）的函数关系式画出图象即可；
（3）根据函数图象写出一条性质即可（答案不唯一）；
（4）根据图象得出时，的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
，，
点经过的路程为，
当时，，
当时，，
当时，，
，
，
；
（2）解：根据（1）的函数关系式画出图象如下：
（3）解：由图象知，当时，是一次函数（答案不唯一），
故答案为：当时，是一次函数（答案不唯一）；
（4）解：由图知，当时，，
当时，．
【变式训练7-4】（1）画出函数的图象．
①列表：
x … …
y … …
②描点并连线．
（2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”）
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
（1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象；
（2）根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）列表：
x … …
y … 1 2 3 6 …
函数图象如答图：
（2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大．
故答案为：上升；变大．
【变式训练7-5】如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为．
(1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ；
(3)结合函数图象，当时，的取值范围为 ．
【答案】(1)，与之间的函数关系式为，．
(2)画和的函数图象见解析；函数性质：的最大值为（答案不唯一）．
(3)或．
【分析】（1）根据菱形性质、勾股定理求出，由点的运动路程为，，分两种情况得到与的关系：点在上时、点在上时；求出的边上的高后即可求得与的关系；
（2）利用描点法作出两函数图象后写出函数的一条性质即可；
（3）结合函数图象，利用函数关系式求出第一象限中两函数的交点即可得到时的取值范围．
【详解】（1）解：四边形是菱形，，，
，，，
，
点的运动路程为，，
当点在上时，，的面积为，
当点在上时，，
的面积为，
与之间的函数关系式为，
设的边上的高为，
，
，
的面积为，
综上所述：，与之间的函数关系式为，．
（2）解：如图所示为和的函数图象，取点，，画出函数的图象，
取点，，，画出函数的图象，
由图象可知：函数的一条性质为的最大值为，
故答案为：的最大值为（答案不唯一）．
（3）解：结合函数图象，当时，的取值范围为或，
理由如下：当或，
解得或，
由图象可知：或，
当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、勾股定理、结合题意列一次函数及反比例函数、画一次函数图项象及反比例函数图象、一次函数性质、一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是熟练运用数形结合方法解题．
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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（一）七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：判断点是否在反比例函数上
【经典例题1】反比例函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下列各点不在反比例函数图像上的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】点在函数（ ）的图像上
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知反比例函数分布象限求参数范围
【经典例题2】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【变式训练2-1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-4】已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ．
【变式训练2-5】若双曲线经过第二、四象限，则的取值范围是 ．
题型三：判断反比例函数的增减性
【经典例题3】对于反比例函数，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练3-1】在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接）
【变式训练3-3】对于反比例函数，下列说法正确的是( )
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大 D．当时，
【变式训练3-4】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象在一、三象限
B．当时，随增大而减小
C．若在该函数图象上，则
D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
题型四：判断反比例函数所在象限
【经典例题4】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【变式训练4-1】已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【变式训练4-2】若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【变式训练4-3】直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式训练4-4】已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定
【变式训练4-5】二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【变式训练4-6】当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限．
题型五：已知反比例函数增减性求参数
【经典例题5】已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【变式训练5-1】在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（ ）
A．或
B．或或
C．或
D．或或
【变式训练5-3】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ．
【变式训练5-4】已知反比例函数（为常数）．
(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
(2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
【变式训练5-5】已知函数．
(1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？
(2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？
题型六：反比例函数与二次函数图像综合
【经典例题6】已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-1】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-3】二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：画反比例函数图像
【经典例题7】如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF(1)请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)．
【变式训练7-1】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____；
x …… 1 2 3 4 5 ……
y …… 1 5 5 a ……
②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象：
(2)探究函数性质
请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________．
(3)运用函数图象及性质
①写出方程的解_________________；
②写出不等式的解集_________________；
③写出不等式与的解集_________________．
【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集．
【变式训练7-3】如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的方向移动到点（含端点和点），设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记．
(1)求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在的取值范围内画出，的图象；
(3)写出函数的一条性质：的一条性质 ；
(4)结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）．
【变式训练7-4】（1）画出函数的图象．
①列表：
x … …
y … …
②描点并连线．
（2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”）
【变式训练7-5】如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为．
(1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ；
(3)结合函数图象，当时，的取值范围为 ．
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