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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（二）七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：由反比例函数的对称性求点坐标
【经典例题1】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为．
故答案是：．
【变式训练1-1】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键．
根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可．
【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称，
∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练1-2】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是，
∴另一个交点的坐标是．
故答案为．
【变式训练1-3】已知反比例函数的图象位于第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值．
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的取值范围为或．
【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题；
（2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题；
（3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
解得，
∴的取值范围为；
（2）解：∵正比例函数的图象过点，
∴，
反比例函数与正比例函数交点为，
∴，
解得；
（3）解：由，则，解得：，
∴反比例函数与正比例函数的交点为，，
∴当时，的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
【变式训练1-4】如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．常数
B．在每个象限内，随的增大而增大
C．若，在图象上，则
D．若在图象上，则也在图象上
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论．
【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限，
∴，
∴A错误，故本选项不符合题意；
B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴B错误，故本选项不符合题意；
C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，，
∵，，
∴，
∴C正确，故本选项符合题意；
D、由反比例函数的对称性可知：
若在图象上，则在图象上，
∴D错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
题型二：比较反比例函数的值或自变量的大小
【经典例题2】在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出，，的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解∶∵在反比例函数的图象上有三个点，，，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
【变式训练2-1】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可．
【详解】解：∵函数（k为常数，且）中，
∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练2-2】若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：已知反比例函数解析式为，
∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中， 随 的增大而减小，
当时，；当时，；
∵，
∴，，
如图所示，
∵，
∴，
故选：C ．
【变式训练2-3】函数(为常数)的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出函数反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
【详解】解：，
，，
反比例函数的图象在二、四象限，
点的横坐标为，
此点在第四象限，；
，的横坐标，
两点均在第二象限，，
在第二象限内随的增大而增大，
，
．
故选：D．
【变式训练2-4】在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由可得反比例函数图象在第二、四象限，根据选项一—分析即可．
【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二、四象限，
若 则或，故A错误；
当时，若，则且或，
故或 ，故B错误；
若则，则，故C错误；
若则且或，故，故D正确；
故选：D．
【变式训练2-5】已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”）
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而增大，进行判断即可．
【详解】解：∵，是反比例函数图象上的两点：
∴函数图象在第二，四象限，随着的增大而增大，
∴时，；
故答案为：．
题型三：已知比例系数求特殊图像面积
【经典例题3】如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
故选：C．
【变式训练3-1】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则 ABC的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得 ABC的面积等于 AOB的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积．
【详解】解：如下图，连接，
由题意可知直线与y轴平行，
∴
设，则点A、B的横坐标都为a，
将代入得出，得，
故；
将代入得出，得，
故；
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练3-2】如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键．
设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
∵轴，
∴．
故选：B．
【变式训练3-3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若 ABC的面积是，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与轴交点为，
∵轴，
∴轴，，
∵点在双曲线上，点在双曲线上，
∴，，
∴，
解得，
∵双曲线分布在二、四象限，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-4】如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则 ABC的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设，
∵直线轴，
∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上，
∴当
即点Ａ的坐标为，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴当
∴B点坐标为，
∴，
∴
故答案为：3．
【变式训练3-5】如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H，易得四边形为矩形，则，进而得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H，
∵轴，
∴轴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【变式训练3-6】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则 ABC的面积等于 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．
延长交轴于，连接、，可求，，即可求解．
【详解】解：如图，延长交轴于，连接、，
轴，
，
，
，
故答案：．
题型四：根据图像面积求比例系数
【经典例题4】如图，矩形的顶点和对称中心在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与矩形综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键．设，可得点的纵坐标，根据点在反比例函数图象上，可得点坐标，则可求出，再利用，即可列式求解．
【详解】解：设矩形的中心为，连接，，
根据题意，设，
∵为中点，点纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，作轴于，轴于，由题意得到，，根据，得到，解得即可．
【详解】解：反比例函数的图象上有、两点，它们的横坐标分别为2和3，
，，
作轴于，轴于，则，
∴，
，
解得，
故答案为：．
【变式训练4-2】如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过点作轴于，先求出，再由结合勾股定理得到，则，，最后根据反比例函数的系数的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，
点，在反比例函数图象上，点的横坐标为1，
，，
，
设，则
，
，
，
整理得，即，
∵，
∴，
，
（负值舍），
∴，
，，
∵，，
∴，
，
，
，
∵由图可知：，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系．联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题．
【详解】解：联立，得到，
，
设方程的两个根为，，且，
，，
，
，
，
直线与轴交于点，
，
．
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案．
【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
四边形的面积为3，
由图可知，，
即，解得，
，
故答案为：6．
【变式训练4-5】如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到 ，，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解，
本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ，
∵轴
∴点与点的纵坐标相同，即 ，解得 ，
点与点的纵坐标相同，即，解得，
∵，，
∴ ， 解得 ，
∵与的距离为5，
∴ ，
把代入中，得，
故选：D．
题型五：求反比例函数解析式
【经典例题5】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且．
(1)求正比例函数与反比例函数的解析式；
(2)结合图象，指出当时的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到，即可求得，把点代入反比例函数的解析式即可求得t，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式；
（2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得B点的坐标，然后根据图象即可求得当时x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
把代入得，
∴，
∴正比例函数的解析式为；
（2）解：∵， 且两个函数的图象均关于原点对称，
∴，
由图象可知当时x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求正比例函数与反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数的对称性，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
【变式训练5-1】世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质．
（1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将代入函数关系式，求得即可．
【详解】（1）解：设，代入
（2）将代入
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式及A点坐标；
(2)直接写出不等式时x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；
(2)不等式时x的取值范围是或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）将代入得出，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，联立，计算即可得解；
（2）由函数图象即可得解．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为；
联立，解得或，
∴；
（2）解：由图象可得，不等式时x的取值范围是或．
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；
(2)点的坐标为或
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法．
（1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式是，
点在反比例函数的图象上，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式是；
（2）解：如图，作轴于，则，
∵，
∴
解得：，
点的坐标为或．
【变式训练5-4】已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为，若．
(1)直接写出点、两点的坐标；
(2)求一此函数与反比例函数的解析式．
【答案】(1)点、的坐标分别为，；
(2)一次函数的解析式为．反比例函数的解析式为．
【分析】
本题主要考查用待定系数法求函数解析式．
（1）根据和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；
（2）将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由点在一次函数的图象上可确定点坐标，将点坐标代入可确定反比例函数的解析式．
【详解】（1）
解：，
点、的坐标分别为，；
（2）
解：点、在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
点在一次函数的图象上，且轴，
点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
；
反比例函数的解析式为．
【变式训练5-5】如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点．
(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；
(2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围．
【答案】(1)， ，
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题；用待定系数法得到函数解析式是解决本题的基本思路；利用数形结合的思想解决问题是常用的解题方法．
（1）利用待定系数法把代入一次函数与反比例函数中，可解出、的值，进而可得解析式，求点坐标，就是把两函数解析式联立，求出、的值；
（2）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数大于或等于反比例函数的函数值，即可作答．．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
一次函数为常数）的图象经过点，
，
，
一次函数解析式为，
∵，
由，
解得：，，
经检验，，是的根，
当时，，
时，，
两个函数的交点坐标是：，
∵
；
（2）解：由图象可以看出，当或时，则．
【变式训练5-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
（1）由一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得．
（2）联立方程，解方程组即可求得的坐标；令的图象交轴和轴于点，求出的坐标为，根据可得答案．
【详解】（1）解：的图象经过，
，
解得，
，
反比例函数的图象经过，
反比例函数的解析式为；
（2）解：由，解得或，
，
令的图象交轴和轴于点，
则，解得：，
的坐标为，
，即的面积为3．
题型六：反比例函数与一次函数图像综合
【经典例题6】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项；
再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C，
故选：B．
【变式训练6-1】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案
【详解】解：①当时，一次函数的图象过一、三、四象限；反比例函数在一、三象限；
②当时，一次函数的图象过一、二、四象限；反比例函数在二、四象限，
观察图形可知，只有C符合，
故选：C
【变式训练6-2】如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象的知识，比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可．
【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，
∴两个函数图象必有交点，
又交y轴的正半轴，
∴符合这两个条件的选项只有C．
故选：C．
【变式训练6-3】如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题．
先求出、的值，再根据函数图象即可求解．
【详解】解：，在函数和函数上，
，，
即，，
则的范围如图中实线所示：
即或．
故选：．
【变式训练6-4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合题，掌握一次函数与反比例函数的图象与系数的关系是解题关键．根据和分析，确定图象即可．
【详解】解：当时，，则函数的图象在一、三象限，的图象在二、四象限；
当时，，函数的图象在二、四象限，的图象在一、三象限，
只有C选项符合题意，
故选：C．
【变式训练6-5】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象综合判断，分、两种情况，根据函数与经过的象限进行判断即可．
【详解】解：当时，过二、三、四象限，反比例函数过一、三象限，
当时，过一、三、四象限，反比例函数过二、四象限，
观察四个选项可知，只有C选项的图象满足要求，
故选C．
题型七：反比例函数与几何综合
【经典例题7】一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围）
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
当或时，，
故答案为：或．
【变式训练7-1】对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”，如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”有且只有个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由直线可得是等腰直角三角形，得到，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，，得是等腰直角三角形，可得，即得，先找图形到直线的“距点”只有个时，即只有个解，即或只有个解，分两种情况解得当，时，点为图形到直线的“距点”， 作出当，时的图象，通过图象发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据临界点即可求解．
【详解】解：令直线与轴、轴分别交于点、点，
对于直线，当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
先找图形到直线的“距点”只有个时，即只有个解，
则或只有个解，
∵，
∴，
∴，
当时，即，
则，
解得，
此时，，
解得，
即点为图形到直线的“距点”；
当时，即，
则，
解得，
此时，，
解得，
即点为图形到直线的“距点”；
作出当，时的图象如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有个，当图形到直线的“距点”只有个，
∴当图形到直线的“距点”只有个时，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，，
如图所示，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵点在反比函数的图象上，
∴在点的位置，，即，
同理，在点的位置，，即，
在点的位置，，即，
∵分别过点三个点作轴，轴的垂线，
∴四边形是矩形，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为： ．
【变式训练7-3】如图，直线（a，b为常数）与坐标轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，分别过C、D两点作轴，轴，垂足为E、F，连接、，判断下列结论：（1）；（2）四边形是平行四边形； （3）； （4）；其中结论正确的是 ．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】此题综合考查了反比例函数图象的性质、平行四边形的判定与性质，利用反比例函数系数的几何意义即可得出（4）成立；根据题意，得．结合（4）可以证明，则可以证明四边形是平行四边形；四边形是平行四边形，同理也是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：设点，
∵反比例函数的图象过第一、三象限，
，
，
同理可得：，
故（4）成立；
根据题意，得．
，
所以四边形是平行四边形，故（1）（2）成立；
∵四边形是平行四边形，同理也是平行四边形，
，
，
∴（3）正确，
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【变式训练7-4】已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【答案】5或或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键．对等腰三角形的腰进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：如图1所示，当时，；
如图2所示，当时，；
如图3所示，当时，设，
因为，
所以，
即，
令，
则，
解得或9，
则或9．
又因为，
所以或3，
则点A的坐标为或．
当时，
；
当时，
．
综上所述，的长为5或或．
故答案为：5或或．
【变式训练7-5】如图，A，B两点都在反比例函数的图象上，横坐标为m、n（），过B点作轴于C点，若 ABC的面积6，则的值为 ．
【答案】
【分析】三角形本题考查了反比例函数与几何综合．熟练掌握反比例函数的图象和性质，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键．
过点A作轴，交于点E，根据反比例函数的解析式求出点A、B的纵坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即得．
【详解】如图，过点A作轴，交于点E，
由题意得：，，
∴，
∴， ，
∴，
又，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式训练7-6】如图，，…，都是等腰直角三角形，点，……，都在函数的图象上，斜边，…，都在x轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，点坐标规律的探索，等腰三角形的性质；解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．
首先根据等腰直角三角形的性质，知点的横、纵坐标相等，根据等腰三角形的三线合一求得点的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点的坐标和双曲线的解析式求得点的坐标；根据点的坐标特征即可推而广之即可求出答案．
【详解】解：可设点，
根据等腰直角三角形的性质可得：，
又∵，
则，
∴（负值舍去），
则；
再根据等腰三角形的三线合一，得的坐标是，
设点的坐标是，
又∵，则，即
解得，，，
∵，
∴，
再根据等腰三角形的三线合一，得的坐标是；
可以再进一步求得点的坐标是，推而广之，则点的坐标是．
故点的坐标为．
故答案是：．
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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（二）七大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：由反比例函数的对称性求点坐标
【经典例题1】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
【变式训练1-1】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【变式训练1-2】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ．
【变式训练1-3】已知反比例函数的图象位于第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值．
(3)当时，直接写出的取值范围．
【变式训练1-4】如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．常数
B．在每个象限内，随的增大而增大
C．若，在图象上，则
D．若在图象上，则也在图象上
题型二：比较反比例函数的值或自变量的大小
【经典例题2】在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】函数(为常数)的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练2-5】已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”）
题型三：已知比例系数求特殊图像面积
【经典例题3】如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式训练3-1】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则 ABC的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练3-2】如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式训练3-3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若 ABC的面积是，则的值（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则 ABC的面积为 ．
【变式训练3-5】如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ．
【变式训练3-6】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则 ABC的面积等于 ．
题型四：根据图像面积求比例系数
【经典例题4】如图，矩形的顶点和对称中心在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，则的值为 ．
【变式训练4-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ．
【变式训练4-2】如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ．
【变式训练4-3】如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为 ．
【变式训练4-4】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ．
【变式训练4-5】如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型五：求反比例函数解析式
【经典例题5】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且．
(1)求正比例函数与反比例函数的解析式；
(2)结合图象，指出当时的取值范围．
【变式训练5-1】世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的值．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式及A点坐标；
(2)直接写出不等式时x的取值范围．
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
【变式训练5-4】已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为，若．
(1)直接写出点、两点的坐标；
(2)求一此函数与反比例函数的解析式．
【变式训练5-5】如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点．
(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；
(2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围．
【变式训练5-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
题型六：反比例函数与一次函数图像综合
【经典例题6】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-3】如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【变式训练6-4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（ ）
A．B． C． D．
【变式训练6-5】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
题型七：反比例函数与几何综合
【经典例题7】一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围）
【变式训练7-1】对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”，如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”有且只有个，则的取值范围是 ．
【变式训练7-2】如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ．
【变式训练7-3】如图，直线（a，b为常数）与坐标轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，分别过C、D两点作轴，轴，垂足为E、F，连接、，判断下列结论：（1）；（2）四边形是平行四边形； （3）； （4）；其中结论正确的是 ．
【变式训练7-4】已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【变式训练7-5】如图，A，B两点都在反比例函数的图象上，横坐标为m、n（），过B点作轴于C点，若 ABC的面积6，则的值为 ．
【变式训练7-6】如图，，…，都是等腰直角三角形，点，……，都在函数的图象上，斜边，…，都在x轴上，则点的坐标为 ．
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