北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(PDF版,含答案)

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名称 北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(PDF版,含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-10-24 18:54:32

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文档简介

北京理工大学附属中学 2024-2025 学年高二上学期 10 月月考
数学试题
(2024.10)
班级______姓名______学号______
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.)
P 3, 1, 2
1. 已知点 ,则点 P关于 z轴的对称点的坐标为( )
A. 3,1, 2 B. 3,1, 2 C. 3, 1, 2 D. 3,1, 2

2. 已知向量 a 1,2,1 ,b 3, x, y ,且 a∥b,那么 b ( )
A. 3 6 B. 6 C. 9 D. 18

3. 如图,在三棱锥 O-ABC中,D是 BC的中点,若OA a,OB b,OC c,则 AD等于( )

A. a b c B. a b c
1 a b 1
1
C. c D. a b 1 c
2 2 2 2
4. 已知正四棱锥 S ABCD 4 3,底面边长是 2,体积是 ,那么这个四棱锥的侧棱长为( )
3
A. 3 B. 2 C. 5 D. 2 2
5. 如图,在三棱锥D ABC中, AC BD,且 AC BD,E,F分别是棱DC, AB的中点,则 EF和
AC所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 已知m,n是两条不重合的直线, , , 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若m ,m ,则 / / ;
②若 , ,则 / / ;
③若m ,n ,m / /n,则 / / ;
④若m,n是异面直线,m ,m / / ,n ,n / / ,则 / / .其中真命题是( )
A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④
7. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中,直线 l是底面 ABCD所在平面内的一条动直线,记直线 A1C与直线 l所
成的角为 ,则 sin 的最小值是( )
A. 3 1B. C. 2 D. 6
3 2 2 3
8. 如图,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中, AB AD 1,
uuur
AA1 2, BAA

1 DAA1 45 , BAD 60
,则 AC1 ( )
A. 1 B. 3 C. 9 D. 3
9. 如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB 3,BC CC1 4,E为棱 B1C1 的中点,P为四边形 BCC1B1
内(含边界)的一个动点.且DP BE,则动点 P的轨迹长度为( )
A. 5 B. 2 5 C. 4 2 D. 13
10. 如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AC BC ,AC 2,BC 1,AA1 2,点D在棱 AC上,点E在
棱 BB1上,下列结论中不.正.确.的是( )
2
A. 三棱锥E ABD的体积的最大值为
3
B. 点E到平面 ACC1A1的距离为1
2
C. 点D到直线C1E 的距离的最小值为 55
D. A1D DB的最小值为 2 5
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.)

11. 已知向量 a 2,5, 4 ,b 6,0, x ,若 a b,则 x ______.
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1,则点C1到直线 BD1的距离为______.
13. 如图,60 的二面角的棱上有A,B两点,直线 AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂
直于 AB.已知 AB 4, AC 6,BD 8,则CD的长为__________
14. 在我国古代数学名著《九章算术》中,四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P ABC
中, PA 平面 ABC,PA AB BC 2.M为 PC的中点,则点 P到平面 MAB的距离为______.
15. 如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,点 P在线段 B1C上运动,则下列结论正确的是________.
①直线 BD1 平面 A1C1D
②三棱锥D A1C1P 的体积为定值
π π
③异面直线 AP与 A1D所成角的取值范围是 , 6 2
6
④直线C1P与平面 A1C1D所成角的正弦值的最大值为
3
三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程.)
16. 如图,在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD是平行四边形,E, F 分别为 PC, BD的中点.
(1)求证:EF //平面 PAD;
(2)若 PA AD, AB 平面 PAD,求证: EF 平面 ABCD .
17. 如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中,AB BC AA1 2,E、F 分别为 AC、CC1的中点,BF A1B1 .
(1)求证:BE A1C;
(2)求直线 A1C与平面 ABB1A1所成角的正弦值;
(3)求点 A1到平面 BEF的距离.
18. 如图,在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD是边长为 2的正方形,侧面 PAD为等腰直角三角形,且
PAD π ,点 F 为棱 PC上的点,平面 ADF与棱 PB交于点 E .
2
(1)求证:EF //AD;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,求平面 PCD与平面 ADFE所成锐二面
角的大小.
条件①: AE 2;
条件②:平面 PAD 平面 ABCD;
条件③: PB FD .
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得 0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解
答计分.
π
19. 在梯形 ABCD中,AB//CD, BAD ,AB 2AD 2CD 4,P为 AB的中点,线段 AC与DP
3
交于O点(如图 1).将△ ACD沿 AC折起到△ ACD 位置,使得D O OP(如图 2).
(1)求证:平面D AC 平面 ABC;
6 PQ
(2)线段 PD 上是否存在点Q,使得CQ与平面 BCD 所成角的正弦值为 若存在,求出 的值;
8 PD
若不存在,请说明理由.
参考答案
1. D.
2. A.
3. C.
4. C
5. B.
6. D.
7. A .
8. D.
9. B
10. D.
11. 3.
12. 6 .
3
13. 2 17
14. 2
15.①②④
16. (1)证明:连接 AC,
∵四边形 ABCD是平行四边形,且 F 是 BD的中点,
∴ F 是 AC的中点,
∵E为 PC的中点,
∴ EF / /PA,
∵PA 平面 PAD,EF 平面 PAD,
∴ EF //平面 PAD .
(2)证明:∵ AB 平面 PAD,PA 平面 PAD,
∴ AB PA,
∵ PA AD, AB AD A, AB, AD 平面 ABCD,
∴ PA 面 ABCD,
∵ EF //PA,
∴ EF 平面 ABCD .
17. (1)证明:因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱,所以 A1A 平面 ABC,
因为 BE 平面 ABC,所以 A1A BE,
又因为 AB BC, E为 AC中点,所以 BE AC,
因为 A1AI AC A, A1A、AC 平面 A1ACC1,所以 BE 平面 A1ACC1,
因为 A1C 平面 A1ACC1,所以 BE A1C .
2 3( )
3
(3) 6
18. (1)证明:因为底面 ABCD是正方形,所以 AD // BC,
BC 平面 PBC , AD 平面 PBC ,
所以 AD //平面 PBC ,
又因为平面 ADF与 PB交于点 E .
AD 平面 ADFE,平面PBC 平面 ADFE EF ,
所以 EF // AD .
π
(2)
3
19. (1)证明:∵在梯形 ABCD中, AB / /CD,
BAD πAB 2AD 2CD 4, , P为 AB的中点,
3
∴CD / /PB,CD PB, BC DP,
∴△ADP是正三角形,四边形DPBC为菱形,
∴ AC BC , AC DP,
∵ AC D O,D O OP ,
又∵ AC OP O, AC,OP 平面 ABC,
∴D O 平面 ABC,
∵D O 平面D AC,
∴平面D AC⊥平面 ABC.
1
(2)存在,
3
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