湖北省“问津教育联合体”2024-2025学年高二10月联考数学试卷(含答案）

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则实数值为( )
A. B. C. D.
2.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
4.已知事件、，如果与互斥，那么如果与相互独立，且，，那么，则，分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
6.在一个袋子中装有分别标注，，，，，的个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为或的小球的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点与点在直线的两侧，给出下列命题：
当时，有最小值，无最大值
存在正实数，使得恒成立
当且，时，的取值范围是
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图为年中国大学生使用偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于年中国大学生使用的结论正确的是( )
A. 超过的大学生更爱使用购物类
B. 超过半数的大学生使用是为了学习与生活需要
C. 使用偏好情况中个占比数字的极差是
D. 使用目的中个占比数字的分位数是
10.设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则下列说法正确的有( )
A. B. 三角形面积的最大值为
C. D. 点到坐标原点的距离的最大值为
11.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为 ．
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率为 ．
14.正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三角形的顶点，边上的高所在直线方程为，点是边的中点．
求边所在直线的方程
求点的坐标．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面．
在棱上是否存在点，使得平面若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先
获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率
请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大．
18.本小题分
已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形为正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
证明：平面平面
若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求面和面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知，直线．
证明直线经过某一定点，并求此定点坐标
若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程
若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为边上的高所在直线方程为，
所以边所在直线的斜率为，直线经过点，
所以边所在直线的方程为，
即所在直线的方程为；
设点的坐标为，
因为边上的高所在直线方程为，
又因为点是边的中点，
所以点的坐标为，
由边所在直线的方程为，
所以，即，
由得到：
所以点的坐标为
16.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则由
得，令，则
则，
假设存在点使得平面，
设，，，
则，，
则有，
可得，
，
平面，为平面的一个法向量，
，
即，
解得，
综上，存在点，即当时，使得平面．

17.解：若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ；
乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ，
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 ．
若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为 ，
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 ，
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第问的结果 ，
因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大．

18.证明：取的中点，连接，，
由图二可知，，，，
，即，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：由知，平面，
连接，则即为直线与平面所成的角，
在中，，
当直线与平面所成的角最大时，最小，此时为的中点，
以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
同理可得，平面的法向量为，
，，
故面和面夹角的余弦值为．
19.解：直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
因为，则直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，
且，即，，
设直线与交于点，则，
即，
可得，即，
设，则，
可得，解得，即，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
设关于的对称点，关于的对称点，
因为直线的方程为，
则，解得
即，可得，
因为直线与直线关于轴对称，则，
则入射光线的方程为，即为．

第1页，共1页