2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线经过点，平面的一个法向量为，则( )
A. B.
C. D. 与相交，但不垂直
3.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( )
A. B. C. D.
4.设点在平面上的射影为，则等于( )
A. B. C. D.
5.在以下个命题中，不正确的命题的个数为( )
若，则；
若三个向量两两共面，则向量共面；
若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知向量，则“”是“或”的 条件．
A. 必要而不充分 B. 充分而不必要
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，，，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
8.设，，，是空间不共面的四点，且满足，，，则是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图的组合，这个组合表达了图所示的几何体．若图中每个正方体的棱长为，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体如图，已知一个正八面体的棱长为，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，点和分别是正方形和的中心，点为正方体表面上及内部的点，若点满足，其中，且，则满足条件的所有点构成的图形的面积是( )
A. B. C. D.
12.菱形的边长为，，为的中点如图，将沿直线翻折至处如图，连接，，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知向量，且，则 ．
14.已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则 ．
15.已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
16.已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是 ．
17.长方体中，分别是棱的中点，是该长方体的面内的一个动点不包括边界，若直线与平面平行，则的最小值为 ．
18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点不与三点重合给出下列四个结论：

直线与所成角的大小为；；的最小值为；若，则点的轨迹所围成图形的面积是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知空间中三点，设．
求；
求向量与向量夹角的大小．
20.本小题分
如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，为与的交点设．

用表示，并求的值；
求的值．
21.本小题分
如图，正方体棱长为，点是棱的中点．

求证：平面；
若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在点与不重合，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
23.本小题分
学习阅读以下材料，应用所学知识解决下面的问题．
类比于二维空间即平面，向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，对于，任意，有：
数乘运算：；
加法运算：；
数量积运算：；
向量的模：；
对于一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
在维向量空间中，基底是一组线性无关的向量，并且在空间中的任意向量都可以由这组基底线性表示，即，其中是一组实数．
设是元集合的子集，集合元素的个数记为，若集合组同时满足以下个条件，则称集合组具有性质：为奇数，其中；为偶数，其中．
当时，集合组具有性质，求的最大值，并写出相应集合组；
当时，集合组具有性质，求的最大值；
是元集合的子集，若集合组具有性质，求的最大值．
参考答案
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19.已知，，．
，
，
所以，
则．
根据向量点积公式，
，
，
，
则，
所以．

20.因为平行六面体中，为与的交点，
所以是中点，也是中点，
又因为，且平行六面体中，，
那么，
因为，，
所以，
，
因为，所以，又，，
所以，
，所以．
因为，
所以
．

21.连接，，连接，
分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．

22.因为平面平面，
所以，
又因为，
所以，而平面，
所以平面；
因为平面平面，
所以，而，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由可知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则有
设平面与平面夹角为，
；
设，设，
于是有，
，由可知平面的法向量为，
假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，
即．

23.当时，．
集合组具有性质，则为奇数，所以或．
当时，则可能是．
当时，则可能是．
若集合组中包含，设，
则对于其他集合，要使为偶数，
则所有可能集合为，但均不满足为奇数．
故集合组中不包含，
具有性质的集合组中只可能包含；
若集合组中存在两个集合相等，由，
则，则为奇数，不满足条件，
故集合组中任意两个集合不相等，即至多含个集合，
故．
若集合组为：，设，
则有为奇数，其中；
为偶数，其中；
所以集合组具有性质．
综上，的最大值为，相应满足条件的集合组为：．
集合．
设其子集对应向量，其中．
若为奇数，则为奇数，即为奇数，；
又由可知，
若为偶数，则为偶数，，且．
且由条件可知，，且．
当时，．
若集合组为：，设，
则有为奇数，其中；
为偶数，其中；
所以集合组具有性质，此时．
下面证明当时，任意集合，集合组：不符合题意．
设，
则．
若集合组为：具有性质，
设集合对应向量，
其中中有奇数个为，其余为，且；
不妨理解为这个集合对应维空间中的个向量，
且为奇数，，为偶数，．
下面用反证法证明不具有性质．
证明：假设具有性质，
由，
则，
若时，则为奇数，而为偶数，
则为奇数，这与为偶数矛盾，．
所以，则；
同理，由为偶数，可得．
故，即，
则，这与条件为奇数矛盾．
故集合组：不符合题意．
下面证明任意集合组都不具有性质．
证明：假设存在一个集合组具有性质．
设集合组中分别对应个向量，
若线性无关，则可为维向量空间的基底，
又由对应向量中或，，
则，，且不全为．
即可转化为存在不全为的个整数，
使得，
且其中向量等式中的整系数为最简形式不可再约．
则为偶数，
其中为奇数，为偶数，
若为奇数，则为奇数，则为奇数，
故这与产生矛盾，所以为偶数．
同理可得均为偶数，．
这与个整系数不全为且不可约的最简形式矛盾．
因此，若线性无关，则集合组不具有性质；
设集合组中分别对应个向量，
若其中对应个向量线性相关．
又由对应向量中或，．
则存在，且不全为，使得，
即存在不全为的个整数，使得，
且其中向量等式中的整系数为最简形式不可再约．
则为偶数，
其中为奇数，为偶数，
若为奇数，则为奇数，则为奇数，
这与产生矛盾，
所以为偶数．
同理可得均为偶数，．
这与个整系数不全为且不可约的最简形式矛盾．
因此，若向量线性相关，集合组不具有性质；
由可知假设错误，故任意集合组都不具有性质．
综上所述，的最大值为．
集合．
若集合组为：，设，
则有为奇数，其中；为偶数，其中；
即满足条件，所以集合组具有性质，此时．
下面证明当时，任意集合，集合组：不具有性质．
不妨设，
则．
若集合组为：具有性质，，，
设集合对应向量，其中中有为奇数，且个为，其余为；
不妨理解为这个集合对应维空间的个向量，
此时为奇数，；
且为偶数，．
下面用反证法证明集合组不具有性质．
证明：假设集合组具有性质，
，
则，
若时，则为奇数，而为偶数，
则为奇数，这与条件为偶数，矛盾．
所以，则；
同理，由为偶数，可得．
故，即，
则，这与条件为奇数矛盾．
故任意集合组：不具有性质．
下面证明任意集合组不具有性质．
证明：假设存在一个集合组具有性质．
设集合组中分别对应个向量，
若线性无关，则可为维向量空间的基底，
又由对应向量中或，．
则，，且不全为．
即可转化为存在不全为的个整数，
使得，
且其中向量整系数为最简形式整系数向量等式不可再约．
则为偶数，
其中为奇数，为偶数，
若为奇数，则为奇数，则为奇数，
这与产生矛盾，所以为偶数．
同理可得均为偶数，．
这与个整系数不全为且不可约的最简形式矛盾．
因此，若线性无关，则任意集合组不具有性质；
设集合组中分别对应个向量，
若其中对应个向量线性相关．
又由对应向量中或，．
则存在，且不全为，使得，
则存在不全为的个整数，使得，
且其中向量等式中的整系数为最简形式不可再约．
则为偶数，
其中为奇数，为偶数，
若为奇数，则为奇数，则为奇数，
这与产生矛盾，故为偶数．
同理可得均为偶数，．
这与个整系数不全为且不可约的最简形式矛盾．
因此，若向量线性相关，集合组不具有性质；
由可知假设错误，故任意集合组都不具有性质．
综上所述，的最大值为．

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