2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期统练五数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期统练五
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.设，，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是的中点若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数( )
A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是奇函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减
6.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，设，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
7.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.记为等比数列的前项和已知，，则数列( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
9.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
10.已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴若在区间上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.，，三个数中最大数的是 ．
12.已知，且有，则 ．
13.已知正方形边长为，为的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的曲线的长度为 ．
14.若实数，且，满足方程组，则 ， 写出一组值即可
15.设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积，令给出以下四个结论：
存在，使得；
存在，使得；
若，则的取值范围是；
若，则满足的数表共有个
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）等差数列的前项和，其中为常数．
求的通项公式及的值；
设，求数列的前项和．
17.（12分）已知函数再从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知．
条件：函数的图象经过点；
条件：函数的最大值为；
条件：函数的最小正周期为．
求的解析式；
若函数在区间上有且仅有个零点，求的取值范围．
18.（12分）在中，．
求；
若，求的面积．
19.（12分）已知函数其中为常数．
若且直线与曲线相切，求实数的值；
若在上的最大值为，求的值．
20.（12分）设函数，直线是曲线在点处的切线．
求的单调区间；
求证：不经过点；
当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与面积是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？参考数据：，
21.（12分）设整数集合，，且满足：对于任意，若，则．
判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；
，
求证：，都有；
若，求满足条件的集合的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.由，
当时，，
，，
又，，
，解得，
，满足，
，．
由，
，
．

17.由题可知，，
选择：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
选择：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
选择：
因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以，与矛盾，不符合题意．
选择：
因为，所以，
又因为在区间上有且仅有个零点，
所以，所以，所以．
选择：
因为，所以，
又因为在区间上有且仅有个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．

18.由，
则，
又，则．
由，则，
又，且由知
则，
又，即，解得，
则．

19.解：Ⅰ时，，
设切点为，
则切线方程为，
把点代入，得，
化简解得．
Ⅱ法：由题意知在上恒成立，
且存在使得，
整理得，
令，则为在上的最大值．
，在上单调递减，令，
所以在上恒成立，当且仅当，
所以在上单调递增，所以在上的最大值为，
所以．
法：，
当，即时，在上恒成立，
故在上单调递增，则在上的最大值为，
故，满足；
当，即时，在上恒成立，
故在上单调递减，则在上的最大值为，
故，不满足，舍去；
当，即时，由可得．
时，；当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，即，
所以，，不满足，舍去．
综上可知，．
20.由题可得，，，
当时，有，则在上单调递增；
当时，令，得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由，切线的斜率为，
则切线方程为，
假设直线过点，将代入切线方程得，则，
即，整理得，，
令，则在上存在零点，
，
所以在上单调递增，则，
所以函数在上无零点，这与假设矛盾，
所以直线不过点．
当时，，
则，，
，设与轴交点为，
当时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾．
由知，，则，
则切线的方程为，
令，则，
，则，
，设，，
所以满足条件的有几个即有几个零点．
由，，
令，得，即在上单调递增，
令，得或，即在和上单调递减，
又，，，
所以函数在上没有零点，即不存在点使得成立．

21.设，则；
设，则，
一般地，对，有，
所以满足题设条件．
设，得，
所以不满足题设条件．
假设存在一个使得，
令，其中且，
由题意，得，
由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾，
所以任意，．
设集合中有个元素，，
由题意，得，，
由知，．
假设，则．
因为，
由题设条件，得，
因为，
所以由，得，
这与为中不超过的最大元素矛盾，
所以，
又，，
所以．
任给集合的元子集，
令，
以下证明集合符合题意：
对于任意，则，
若，则有，
所以，从而，故集合符合题意，
所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同，
故满足条件的集合有个．

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