湖南省长沙部分学校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（PDF版，含答案）

湖南省长沙部分学校联考2024-2025学年高三上学期10月
月考数学试题
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２０２５届高三１０月联考 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】A
m２＝１
【解析】因为A＝{－１,１},B A,所以{ ,即得m＝－１．m＝－１
２．【答案】D
【解析】当a＝－２,b＝１时,a２＞b２,但是ea＜eb,故a２＞b２/ ea＞eb
当a＝１,b＝－２时,ea＞eb,但是a２＜b２,故ea＞eb/ a２＞b２
故“a２＞b２”是“ea＞eb”的既不充分也不必要条件．
３．【答案】C
【解析】由已知可得－２＝a＋bi＋a－bi,解得a＝－１．
４．【答案】C
( π) ２ ２cosθ＋４ ２cosθ－２sinθ【解析】依题意有 ,且 １－tanθtanθ＞０ tanθ＝ ＝ ＝ ,
( π １＋tanθcosθ－ ) ２ ２４ ２cosθ＋２sinθ
故tan２θ＋２tanθ－１＝０,结合tanθ＞０,解得tanθ＝ ２－１．
５．【答案】B
【解析】因为f(x)在R上单调递增,所以当x＜０,y＝－x２＋ax 单调递增,所以a≥０,
当x≥０时,f′(x)＝ex－a≥０,由f(x)单调递增可知a≤１,
且当x＝０,０≤f(０)＝１,所以a 的取值范围是[０,１]．故选:B．
６．【答案】C
【解析】设P(x,y),则PA２＋PB２＋PC２＝(x＋１)２＋(y－１)２＋(x－１)２＋(y＋１)２＋(x－３)２＋(y－３)２＝
３(x２＋y２－２x－２y)＋２２＝７０,故P(x,y)的轨迹方程为(x－１)２＋(y－１)２＝１８．
PA→ PB→＝ PO→ ２－ OA→ ２＝ PO→ ２－２,而 PO ≤３２＋ ２＝４２,故PA→ PB→≤３０,选C．
７．【答案】B
【解析】对于 A,令x＝±１,则f(e)＝±１,有２个函数值对应,故 A错误;
对于C,取x＝０,可知f(x２＋２x)＝f(０)＝０,再取x＝－２,可知f(x２＋２x)＝f(０)＝２,故C错误;
对于D,取
π
x＝ ,
５π, ２
４ ４ f
(０)＝± ,故D错误;２
【高三数学试题参考答案　第　１ 页(共６页)】
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对于B选项,令t＝x|x|,对于每一个t,都有唯一的x 与之对应,也即有唯一的x３＋１与之对应,因此符合函数
定义,故B正确．
８．【答案】A
【解析】不妨设P 在第一象限,设PA,PB 的倾斜角分别为α,β,则tan(
２
β－α)＝tan∠APB＝２
故tanβ－tanα ２, yP y y
２
注意到 P P １,
１＋tanαtan ＝β ２
tanαtanβ＝ ＝ ２ ＝
xP－３２ xP＋３２ xP－１８ ２
因此 ２ ３２ ２tanβ－tanα＝ (２ １＋tanαtanβ
)＝ ,解得４ tanα＝
, ,
４ tanβ＝ ２
y
故 P ２＝ ,
yP ,代入解得:
４ ＝ ２ x＝５２
,yP＝４
xP＋３２ xP－３２
故 １△PAB 的面积为S＝２|AB|
|yP|＝１２２．
９．【答案】ABD
【解析】对于 A选项,f(－x)＝－f(x),正确;
对于B选项,f′(x)＝３x２－a＞０,f(x)单调递增,正确;
对于C选项,f′(x)＝０恰有一个解,则a＝０,但此时f(x)无极值点,故C错误;
对于D选项,f(x)＝x(x＋ a)(x－ a),存在三个零点０,a,－ a,故D正确．
１０．【答案】ACD
【解析】对于 A,B选项,根据通项公式,a m－１ n－１ ２ m＋n－２ ２ ２ ２p－２man＝a１q a１q ＝a１q ＝ap＝a１q ,
故 A正确;若q＝１,则ama ２n＝ap 恒成立,故B错误;
对于C,D,由Tm＝Tn,不妨设m＜n,则am＋１am＋２ an＝１,则am＋１an＝１．
而T２m＋n＝(a１am＋n)(a２am＋n－１)(a３am＋n－２) (am＋na１)＝１,可知Tm＋n＝１,
反之也成立,故C,D均正确．
１１．【答案】AC
【解析】对于 A选项,如图１,连接PA,PB,由α＝β,可知∠APA１＝∠BPE,故PA＝２PB,以A 点为原点,AB
为x 轴,AD 为y 轴建系,B(b,０),设P(x,y),则x２＋y２＝４(x－b)２＋４y２,即３x２＋３y２－８bx＋４b２＝０,故P
点的轨迹为圆,A正确;
对于B选项,如图２,作PT⊥AD 于T,
RT
TR⊥A１D１ 于R,则tanγ＝ ,同理作PT PM⊥CD
于M,MN⊥C１D１
于 ,则 MNN tanθ＝ ,由PM γ＝θ
可知,PT＝PM,故P 为∠ADC 的平分线,点P 的轨迹为直线,B错误;
【高三数学试题参考答案　第　２ 页(共６页)】
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, AA对于 选项 如图 , １, MNC ３tanα＝ ,由 可知, ,根据抛物线的定义可知点 的轨迹为PA tanθ＝PM α＝θ PM＝PA P
抛物线,C正确;
对于D选项,由C选项可知PM＝２PB,显然不是直线,D错误．
１２．【答案】
１３
－８
【解析】λa＋b＝( ,
１３
λ＋２２λ＋３),由(２a＋b) b＝０,得２(λ＋２)＋３(２λ＋３)＝０,解得λ＝－８．
１３．【答案】[４,＋∞)
【解析】 ４y a
２ ４a２ ４a
x＋x ＋x ≥x＋２ x２ ＝x＋x ≥４ a
,故４ a≥８,即a≥４．
y
２π
１４．【答案】３
【解析】考虑f(x)的周期为π,不妨设x∈[０,π],
f′(x)＝２cos２xcos２x－２sinxcosx sin２x＝２cos２x(cos２x－２sin２x)＝２cos２x(２cos２x－１)
令 １′(x)≤０,即cos２x≤ ,解得x∈ êéπ,５πù
２π
f ２ ê６ ６ ú
ú ,故b－a≤３．
１５．【解析】(１)因为 ２sinB＝ ３sinC,所以 ２b＝ ３c, ２分
又b２＋c２＝５a２,所以b＝ ３a,c＝ ２a, ４分
２ ２ ２ ２ ２
从而 b ＋c －a ５a －a ６cosA＝ 分２bc ＝ ＝ ． ６２３a ２a ３
(２)由余弦定理可知b２＋c２－２bccosA＝a２,则bccosA＝２a２, ７分
又AB→ A→C＝bccosA＝８,故a＝２, ８分
即b２＋c２＝２０,故２bc≤２０,即bc≤１０, １０分
从而 １ １S ＝ bcsinA＝ b２c２ ２
１
△ABC ２ ２ －
(bccosA)＝ b２２ c
２－６４≤３, １２分
当b＝c＝ １０时取等号,即△ABC 的面积的最大值为３． １３分
３ ３
１６．【解析】(１)法一:由PA２＝PO 可得P (１, ) ,设直线l:y＝k(x－１)＋ , １分２ ２
【高三数学试题参考答案　第　３ 页(共６页)】
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２
联立椭圆方程３x２＋４y２＝１２得 ２
３
３x ＋４(kx－k＋２ ) ＝１２,
即(３＋４k２)x２－(８k－１２)x＋(２k－３)２－１２＝０． ３分
由 １Δ＝(８k－１２)２－４(３＋４k２)[(２k－３)２－１２]＝０,解得k＝－ , ２ ６
分
因此直线 的方程为: １l y＝－ x＋２． ７分２
法二: ２ １ １ －３x １３x ＋４y２＝１２,则y＝ １２－３x２ ,y′＝ ,令x＝１,则y′＝－ , ２ ２ ５
分
１２－３x２ ２
故直线l的方程为:
１
y＝－ x＋２, ７分２
(２)依题意,直线MN 的方程为
１
y＝－ x,联立椭圆 ２２ ３x ＋４y
２＝１２可得x２＝３,即x＝± ３,
即 ３M ( － ３, ) , ３ ３２ N ( ３,－ ) ,２ P (１, ) ,A１(－２,０)． ２ ９分
设圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０,代入A１,P,M 可得:
ì １３ ３
ì １D＝
４＋D＋２E＋F＝０ ８


í ４－２D＋F＝０ ,解得 １í E＝ , ４ １３
分


１５ ３
４－ ３D＋ E＋F＝０
１５
２ F＝－ ４
此时圆方程为 ２ ２ １ １ １５x ＋y ＋８x＋ y－ ＝０
,因为点N 也在此圆上,所以P,M,A１,N 四点共圆,４ ４
２ ２
其标准方程为 ( １ １ ９６５x＋ ) ＋ (y＋ ) ＝ ． １６ ８ ２５６ １５分
１７．【解析】证明:(１)设AC∩BD＝O,OP∩EF＝Q,过点D 作DH⊥BQ 于H,
由面PBD⊥面BEF,且面PBD∩面BEF＝BQ,故DH⊥面BEF,
即DH⊥EF; ２分
因为E,F 分别为PA,PC 的中点,因此EF∥AC,因此DH⊥AC． ４分
由底面ABCD 为正方形可知AC⊥BD,因此AC⊥面PBD ５分
由PO 面PBD,故AC⊥PO,
因为O 为AC 的中点,因此PA＝PC; ６分
(２)不妨设AB＝ ２,以O 为坐标原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴建立空间直角坐标系,则A(１,０,０),B(０,１,０),
C(－１,０,０),D(０,－１,０), ７分
【高三数学试题参考答案　第　４ 页(共６页)】
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由(１)可知,点P 在yOz平面内,设P(０,y０,z０),由PB２＝２PD２,
即(y０－１)２＋z２０＝２(y ２ ２ ２ ２０＋１)＋２z０,即(y０＋３)＋z０＝８,
当P－ABCD 的体积最大时,z０＝２２, １０分
此时P(０,－３,２２),则 ( １E , ３－ ,２) , １, ３,２ ２ F ( －２ －２ ２) ,
则FE→＝(１,０,０),BE→
１ ５
＝ ( , ,２ －２ ２) ,AB
→＝(－１,１,０)
ìm AB→＝０
ì －a＋b＝０

设面PAB 的法向量为m＝(a,b,c),则 í ,即 í ,
１ ５ m BE→＝０ ２a－ ２b＋ ２c＝０
令a＝１,则m＝(１,１,２)． １２分
ì → ì x＝０
n FE＝０
设面BEF 的法向量为n＝(x,y,z),则 í ,即 í ,
n BE→＝０
１ ５
２x－２y＋ ２z＝０
令z＝５,则n＝(０,２２,５), １４分
则 , m
n ７２ ７ ６６
cos＜m n＞＝|m| |n|＝ ＝
,
４ ３３ ６６
即平面PAB 与平面BEF 的夹角的余弦值为
７ ６６
． 分６６ １５
１８．【解析】(１)依题意R＝lna５＋lna５＝ln１６,又R＝lna１＋lna９, ２分
所以lna９＝R＝ln１６,即a９＝１６． ４分
(２)()
a a
i依题意bi＝
m－i＋１,则
a b
i
m＋１－i＝ ,因此bibm＋１－i＝１, 分
i a ６m＋１－i
从而lnbi＋lnbm＋１－i＝０,即数列{bn}是一个项数为m 的对数等和数列． ７分
m－１
(i)依题意,b ＝bqm－１
１ １
m １ １０２４＝１０２４( ,４ )
( １ )m－１即 ４ ＝ (
１
２ )
２０
,即m＝１１, １０分
则b ＝１０２４qi－１＝４６－ii , １１分
又R＝０,故lnai＋lnam＋１－i＝０,即aiam＋１－i＝１,
a
此时 m－i＋１ １,即 ２ １bi＝ ＝ a i－６２ i＝ ＝４ ,a ＝２i－６, a a b i １３
分
i i i
注意到i×２i－６＝(i－１)２i－５－(i－２)２i－６, １５分
m １１ １１
所以∑ia ＝∑i×２i－６＝∑[(i－１)２i－５i －(i－２)i－６]
２０４８１
２ ＝１０×２６－(－１)×２－５＝ ． １７分
i＝１ i＝１ i＝１ ３２
【高三数学试题参考答案　第　５ 页(共６页)】
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１
１９．【解析】(１)依题意f(x)＝exlnx,f′(x)＝ex (lnx＋ ) , x １分
设 ( ) １ １ １ x－１p x ＝lnx＋ ,则p′(x)＝ － ２＝ ２ , 分x x x x ２
当０＜x＜１时,p(x)单调递减,当x＞１时,p(x)单调递增,
故p(x)≥p(１)＝１＞０,即f′(x)＞０,f(x)单调递增． ４分
(２)(
１
i)设a＝et(t≠０),则f(x)＝ tx ,telnx
则 ( e
tx etx １
f′x)＝etxlnx＋ ＝ (xlnx＋ ) ． 分tx x t ５
设g(x)＝xlnx,则g′(x)＝１＋lnx,即g(x)在 (０,１e ) 上单减,在 (
１,＋∞ ) 上单增, e ６分
当 １t＜０时,令g(x)＝－ ,由g(１)＝０,且g(t x
)在(１,＋∞)上单调递增,
故 １g(x)＝－ 仅有一个零点x０,不符合题意; 分t ７
当t＞０时,g(x)∈ ê
é １, － ＋∞ ÷ ,
ê e
①当t≤e时,则
１ １
－ ≤－ ,此时g(x)
１
t e ≥－
,f′( ) ,t x ≥０
f(x)单调递增,不符合题意; ８分
当 时,则 １ １ １② t＞e － ＜－ ＜０,此时g(x)e t ＝－
存在两个零点
t x１＜x２
,
当x∈(０,
１ １
x１)时g(x)＞－ ,t f′
(x)＞０;当x∈(x１,x２)时,g(x)＜－ , ( ) ;t f′x ＜０
当x∈(x２,＋∞)时,g(x)
１
＞－ , ( ) , ( )存在两个极值点,符合题意t f′x ＞０f x ．
综上可知,a∈(ee,＋∞)． １０分
(i)由(i)可知 (
１ １
M＝f x１),且x１∈ (０, ) ,满足e x１lnx１＝－ ,t
１
故 １M＝f(x１)＝ etx１lnx ２ －１＝－x１ (lnx１)e lnx１ , t １２
分
设r＝－lnx１∈(１,＋∞),
１－r ２ ２lnr－r＋１则M＝－er r ＝－e r , １４分
设 () １,则 () ２ １
(r－１)２
hr ＝２lnr－r＋ h′r ＝ －１－ ２＝－ ２ ＜０, 分r r r r １６
故h(r)单调递减,且h(１)＝０,则h(r)∈(－∞,０),
即M＝－e２lnr－r＋
１
r ∈(－１,０)． １７分
【高三数学试题参考答案　第　６ 页(共６页)】
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