3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质 课件(共24张PPT)-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共24张PPT)
3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
问题1 椭圆的定义是什么
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆
问题2 椭圆的标准方程是什么
焦点在轴上
焦点在轴上
问题4 椭圆的顶点，长轴，短轴分别是是什么
问题3 猜想一下椭圆范围
问题5 椭圆的离心率是什么，如何理解椭圆的离心率
课前预习，思考下列问题
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
如何研究椭圆的几何性质？从哪些方面去研究？
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体上把握曲线的形状、大小和位置
思考
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
1.范围
这说明椭圆位于四条直线 x = －a ，x = a ，
y = －b ，y = b所围成的矩形内．
由椭圆的标准方程 可知，椭圆上任意一点的坐标都满足不等式：
同理可知，椭圆 位于四条直线 ，所围成的矩形内．
追问：焦点落在轴的情况呢？
1.范围
2.顶点
椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．
是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
问题4：你能写出椭圆的四个顶点坐标吗？
椭圆的长轴：线段
椭圆的短轴：线段
长为
长为
叫作长半轴长
叫作短半轴长
是椭圆的四个顶点
追问：椭圆 的四个顶点坐标呢？
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
椭圆的短轴：线段
长为
叫作长半轴长
叫作短半轴长
长为
3.对称轴与对称中心
平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是它的对称轴
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
图象是否为轴对称图形？如果是，找出对称轴．
两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴
由图可知，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫作椭圆的对称中心．
4.离心率
问题6：观察下图，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
因为，所以．
把半焦距与长半轴长的 叫作椭圆的离心率．
如图，利用信息技术，保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平. 保持不变，改变的大小，则越接近，椭圆越扁平；而当，扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
越接近，越接近，越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
注：因为，所以.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形

标准方程 ___________________
_________________
范围 ____________________ ____________________
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
知识梳理
顶点 _____________________ _____________________ _____________________
_____________________
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝____
焦点
焦距
对称性 对称轴： 　对称中心：_____
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
知识梳理
（1）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．（2）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为 ，最小值为 ． （3）通径：过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，其长为 ；过焦点最长的弦为长轴．
注 意
解:把原方程化成标准方程，得，
例4.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
四个顶点坐标分别是
两个焦点坐标分别是和
离心率.
于是，.
椭圆的长轴和短轴的长分别是和，
例题讲解
确定椭圆几何性质的四个步骤
(1)化方程:把椭圆方程化成标准方程.
(2)定位置:根据标准方程分母的大小关系确定焦点位置.
(3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值.
(4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
归纳总结
巩固训练
1.已知椭圆 ， ，则( ).
D
A.椭圆 与 的顶点相同 B.椭圆 与 的长轴长相同
C.椭圆 与 的短轴长相同 D.椭圆 与 的焦距相等
[解析] 由两个椭圆的标准方程可知，椭圆 的顶点坐标为 ，
，长轴长为 ，短轴长为4，焦距为 ；椭圆 的顶点坐标为
， ，长轴长为8，短轴长为 ，焦距为 .故选D.
扩展1 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴
长的 ，则该椭圆的离心率为( ).
B
A. B. C. D.
方法指导 根据已知条件建立方程，结合 ， ， 的关系，解方程可得结论.
[解析] 不妨设直线 过椭圆的上顶点 和左焦点 ，
， ，则直线 的方程为 .
由已知得 ，又 ，所以 ，
所以 .故选B.
例题讲解
求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法
（1）直接法：若已知 ， ，则可直接利用 求解；若已知 ，
或 ， ，则可借助 求出 或 ，再代入公式 求解.
（2）方程法：若 ， 的值不可求，则可根据条件建立 ， ， 的关系式，借助 ，转化为关于 ， 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂，得到关于 的齐次方程或不等式，即可求得 的值或取值范围.
归纳总结
巩固训练
2、已知 是椭圆 上的一点， 为椭圆的右焦点，
轴，过点 且斜率为 的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，将 代入椭圆方程得 ，
，
由题意可得 ， ，
，
， ， （负值已舍去）．
扩展2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是10，离心率是 ；
[解析] （1）设椭圆的方程为 或 .
由已知得 ，即 ，又 ， ，
， 椭圆方程为 或 .
（2）在 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
（2）依题意可设椭圆方程为 .
如图所示， 为一等腰直角三角形， 为斜边
的中线（高），且 ， ， ，
， ，故所求椭圆的方程为 .
例题讲解
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤如下：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数，列方程（组）时常用的关系式有 ， 等.
（2）在椭圆的简单几何性质中，长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
归纳总结
巩固训练
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆过点 ，离心率 ；
（2）经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率.
[解析] （1）若焦点在 轴上，则 ， ， ，
， 椭圆的标准方程为 .
若焦点在 轴上，则 ，
，解得 .
椭圆的标准方程为 .
所求椭圆的标准方程为 或 .
巩固训练
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆过点 ，离心率 ；
（2）经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率.
[解析] （2）法一 由题意知 ， ，即 .
设所求椭圆的标准方程为 或 .
将点 代入椭圆方程得 或 ，解得 或 .
故所求椭圆的标准方程为 或 .
法二 设所求椭圆方程为 或 ，
将点 的坐标代入椭圆方程可得 或 ，
解得 ， ， 故 或 ，
即所求椭圆的标准方程为 或 .
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
关于轴，轴，原点对称
关于轴，轴，原点对称
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