11.5 二次根式及其性质（同步课件）-八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

(共36张PPT)
11.5 二次根式及其性质
数学（京改版）
八年级 上册
第十一章 实数和二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念；
2.掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题；
4.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
5.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
　
温故知新
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 (a≥0).
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0.
用 (a≥0)表示.
讲授新课
知识点一 二次根式的概念
(1) 9 的平方根是_____, 9 的算术平方根是_____,
(2) 7 的平方根是_____,7 的算术平方根是_____
(3) 0 算术平方根吗？负数有算术平方根吗？
(4) 什么叫做平方根？什么叫做算术平方根吗？
活动1 回忆算术平方根和平方根知识填空
讲授新课
归纳知识
1.如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.表示为
2.如果 x2 = a (x ≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 表示为：
3.负数没有算术平方根.
讲授新课
活动2 思考下列各式表示什么意义，其结果有什么特点？
特点： 非负数的算术平方根
讲授新课
归纳知识
二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
1.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
注意：
讲授新课
典例精析
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
讲授新课
练一练
1、判断下列式子，哪些是二次根式？
(1) (2) (3) (4) (5)
(1)(3)(5)均是二次根式，其中x2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.
(2)(4)均不是二次根式.
讲授新课
知识点二 二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列根式有意义？
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
解：(1)由x2≥0，得x≥；
(2)由-2x+1≥0，得x≤ .
讲授新课
解：由x2≥0，得x是任意实数，
∴当x为任意实数时， 都有意义.
思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
由x3≥0，得x≥0，
∴当x≥0 时， 有意义.
讲授新课
典例精析
【例2】当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
讲授新课
练一练
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
1、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解（1）由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
讲授新课
1.单个二次根式如 有意义的条件：
2.多个二次根式相加如 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件：
4.二次根式与分式的和如 或 有意义的条件：
A≥0
A＞0
A≥0且B≠0
讲授新课
1.当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什
么？
x为任意实数时， 都有意义；当x≥0时， 有意义.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
二次根式的双重非负性
讲授新课
1、若 ，求a-b+c的值.
解：因为
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
讲授新课
2、已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
讲授新课
知识点三 二次根式的化简求值
根据算术平方根的意义填空：
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数.因此有 .
同理， 分别是2，，0的算术平方根，因此有 ， ，
.
4
2
0
讲授新课
根据算术平方根的意义填空：
4
2
0
一般地，
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
讲授新课
典例精析
【例3】计算：
解：
整式的运算性质在实数范围内都适用
讲授新课
练一练
1、计算：
解：
讲授新课
一般地，根据算术平方根的意义，
即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)
-a (a＜0)
讲授新课
化简：
解：
讲授新课
化简：
解：
讲授新课
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意 义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
讲授新课
典例精析
【例3】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简．
解：由数轴可得：，，，
原式
．
讲授新课
练一练
1、如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简．
解：由数轴可知，
，，
∴，，，
∴
．
当堂检测
1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
2.使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
A
B
当堂检测
3.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.成立的条件是（　 ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
5.若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
D
C
A
当堂检测
6．已知，的平方根是（ ）
A．16 B．8 C． D．
7．若、为实数，且，则的值（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-1
C
D
8．若，则________.
2021
当堂检测
9.计算与化简:
(-2)2; (2); (3)(x>0);
(4)(x≥3); (5)()2+
解:(1)原式=(-2)2×()2=4×5=20；
(2)原式=
(3)原式==2x；
(4)原式==x-3；
(5)原式=11+13=24.
当堂检测
10.若，化简：.
解：∵，
∴，，，
．
当堂检测
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x 2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x=
答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm.
当堂检测
12.已知a、b满足求ab的值.
解：∵，
∴
∴
∴当时，
则 解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
课堂小结
带有二次根号
建立不等式求出其解集
被开方数为非负数
多个二次根式
二次根式+分式
分母≠0 并且 被开数≥0
性质
定义
有意义
算术平方根
分式
二次根式
谢 谢~