24.2.2.2 切线的判定课件人教版数学九年级上册

(共27张PPT)
第二十四章 圆
24.2.2.2 切线的判定
Date:2024.10.28
学习目标
1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点
作圆的切线；
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理；(重点)
3. 能运用圆的切线的判定定理解决问题. （难点）
知识回顾
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
导入新课
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
A
B
C
问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？
观察：
（1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的
半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
切线的判定定理
一
O
讲授新课
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA 为⊙O 的半径
BC⊥OA 于A
BC 为⊙O 的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判一判
注意
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
O
O
【例1】(教材P98.T1)如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线．
证明：∵∠ABT＝45°，AT＝AB，　
∴∠ATB＝∠ABT＝45°.　
∴∠BAT＝90°.　
∴AT是⊙O的切线．　
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
【变式1】如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°.求证：BD是⊙O的切线．
证明：连接OD.　
∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，　
∴∠A＝∠ADO＝30°.　
∴∠DOB＝∠A＋∠ADO＝60°.　
∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠B＝90°.　
∵OD是半径，　
∴BD是⊙O的切线．　
当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
A
C
证明：连接 OC.
∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　
∴ OC⊥AB.
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
证明 AB⊥OC 即可.
【变式2】．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴MN∥OD．
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD．
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结
【变式3】如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，
作OF⊥AC于点F.　
∵△ABC为等腰三角形，
点O是底边BC的中点，　
∴AO⊥BC，
AO平分∠BAC.　
∵OD⊥AB，OF⊥AC，　
∴OF＝OD.　
∴OF为⊙O的半径．　
∴AC是⊙O的切线．　
(1) 有交点，连半径，证垂直；
证切线时辅助线的添加方法
要点归纳
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例3
例2
课堂小结
这节课，你学到了什么？
切线的判定(1) 切线的判定(2)
文字描述 若圆心到直线的距离(d)________半径(r)，则这条直线是圆的切线． 经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线．
图形 OA＝OB＝5， AB＝8， ⊙O的半径为3.
几何语言 ∵________________， ∴AB是⊙O的切线． ∵_______________________，
∴AB是⊙O的切线．
口诀 无切点，作垂直(d)，证半径(d＝r)． 有切点，连半径，证垂直．
等于　
外端　
垂直　
OC＝3　
OA是⊙O的半径，OA⊥l　
1．如图，OA是⊙O的半径，∠B＝25°，∠AOB＝65°．求证：AB是⊙O的切线．
证明：∵∠B＝25°，∠AOB＝65°，
∴∠OAB＝90°．
∴OA⊥AB．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
课堂检测
2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
3．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作⊙D．求证：OA是⊙D的切线．
证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F．
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF＝DE，即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE．
∴⊙D与OA相切．
即OA是⊙O的切线．
4．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行．求证：直线CD是⊙O的切线．
证明：如图，连接OE交AB于点F.　
∵点E是劣弧AB的中点，　
∴OE⊥AB.　
∵AB∥CD，　
∴CD⊥OE.　
∵OE是⊙O的半径，　
∴直线CD是⊙O的切线．　
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC．
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD＝DF．
∴⊙D与AC相切．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D交AB于点E．
(2)若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
解：(2)设圆的半径为r．
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB＝＝4．
∵DB＝DF，CD＝CD，
∴Rt△CDF≌Rt△CDB．
∴BC＝FC＝3．
∴AF＝AC－CF＝2．
∵AB＝4，
∴AD＝AB－BD＝4－r．
在Rt△AFD中，
(4－r)2＝r2＋22，解得r＝．
∴AE＝4－3＝1．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是AC的中点，判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线DE与⊙O相切．理由如下：　
如图，连接OD，AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴△ADC为直角三角形．
∵点E是AC的中点，
∴ED＝EA．
∴∠EAD＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠EAD＋∠OAD＝∠EDA＋∠ODA．
∴∠EDO＝∠EAO＝90°．
∴ED⊥OD．
∴DE为⊙O的切线．
作业布置
课堂练习
PS.希望大家认真细致完成作业！