人教A版高一数学必修1第一学期第三章3.2函数的基本性质 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
人教A版高一数学必修1第一学期第三章3.2函数的基本性质
第三章　函数的概念及性质
3.2　函数的基本性质
核心素养目标
1.数学抽象：理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．
2.直观想象：能能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3.逻辑推理：通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．
4.数学运算：能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
教学目标
教学重点：1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．
教学难点：能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．
知识讲解
函数概念的发展历程
函数概念
“function”一词最初由德国数学家莱布尼兹在1692年使用。
用“function”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。
莱布尼兹
G．W．Leibniz
1646－1716
德国数学家
知识讲解
约翰·伯努利（Bernoulli Johan）
1667-1748 瑞士数学家
强调函数要用公式表示。
知识讲解
欧拉
L．Euler
1707－1783
瑞士数学家
如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数． ————Euler
知识讲解
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数。
知识讲解
李善兰
1811－1882
清朝数学家
在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代微积拾积》中首次将“function”译做“函数”。
如果是正数，那么a＞b；如果等于0，那么a=b；如果是负数，那么a＜b.反过来也对.
知识讲解
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是"变化中的不变性，变化中的规律性"。研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？
知识讲解
为什么要研究函数的性质？什么是函数的性质？高中阶段要研究的函数性质主要有哪些？如何发现函数的性质？
高中阶段要研究的函数性质有：
单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点等
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知识讲解
艾宾浩斯遗忘曲线图
呈下降趋势
局部上升（下降）
呈上升趋势
曲线的变化趋势不同
知识讲解
函数图象的这种变化趋势，反映的就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性
注意方向
从左向右
知识讲解
观察图像（上升、下降），怎么用数学语言刻画图像呈上升或下降的趋势？
单调递增
图像在该区间从左至右呈上升趋势
——X值增大，函数值Y也增大
单调递减
图像在该区间从左至右呈下降趋势
——X值增大，函数值Y反而减小
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知识讲解
请同学们思考对于函数f(x）图像呈上升趋势即X值增，函数值Y也增大怎么用符号语言刻画？
“x增大”
用符号表示
x1 ＜ x2
“函数值f(x)也增大
用符号表示
f(x1)＜f(x2)
“x增大，函数值f(x)也增大”
用符号表示
当 x1＜x2 时，
都有f(x1)＜f(x2)
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知识讲解
一般地，设函数f(x）的定义域为I，区间D I
如果 x1,x2∈D，当x1请类比单调递增的定义给出单调递减的定义
如果 x1,x2∈D，当x1知识讲解
若x＝1，2，3，4，时，相应地y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞)上，y 随x 的增大而增大呢？
任意
知识讲解
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I
增函数
减函数
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
.
单调递增区间
单调递减区间
知识讲解
一般的，设函数f(x)的定义域为I,区间D I
如果 x ,x ∈D,当x ＜x 时，都由f(x )＜f(x ),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增
特别的，当函数f(x)在定义域上单调递增时，称为增函数
如果 x ,x ∈D,当x ＜x 时，都由f(x )＞f(x ),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
特别的，当函数f(x)在定义域上单调递减时，称为减函数
速记口诀：同号为增，异号为减
知识讲解
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知识讲解
反比例函数
1.用图像
2.用代数定义
结论：单调递减区间为
知识讲解
探究函数 的单调性
结论：
单调递增区间
单调递减区间
1.图像
2.定义
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知识讲解
因为函数在(-∞，0]上呈下降趋势，在[0,+∞)上呈上升趋势
所以我们就说当x≤0时，y随x的增大而减小.
∵函数的定义域是R
∴对任意x ,x ∈ (-∞,0],得到
且x ＜x 时，都有f(x )＞f(x )
那么说明y=x 在区间(-∞,0]上单调递减
请试说明函数y=x 在[0,+∞)的单调性
答：对任意x ,x ∈[0,+∞),都有
且当x ＞x 时，有f(x )＞f(x )
那么说明y=x 在区间[0,+∞)上单调递增
y=
知识讲解
由图像可知，二次函数y=x 的图像上有最低点(0,0)即 x∈R，都有f(x)≥f(0)
则说明，函数f(x)的图像有最低点时，就有最小值
由图像可知，二次函数y=-x 的图像有最高点(0,0)即 x∈R都有f(x)≤f(0)
则说明，函数f(x)的图像有最高点时，就有最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，若存在实数M，则满足：
(1) x∈I,都有f(x)≤M
(2) x0∈I,都有f(x0)=M
那么称M是y=f(x)的最大值
你能推出y=f(x)的最小值的定义吗？
知识讲解
函数最值与单调性的关系
1.若函数y=f(x）在区间［a,b］上单调递增，那么函数的最小值ymin=f(a),最大值ymax=f(b).
2.若函数y=f(x）在区间［a,b］上单调递减，那么函数的最小值ymin=f(b),最大值ymax=f(a)
3.若函数y=f(x）在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在区间［a,b］上一定有最值．
4.求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小）值．
知识讲解
"菊花"烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h(t)=-4.9 +14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m)
解：画出函数h(t)=-4.9 +14.7t+18的图象（如下图）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9+14.7t+18，我们有：
当t= ，函数有最大值
h=≈29
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
知识讲解
知识讲解
知识讲解
已知函数f(x)=x2-x+1.
(1）画出函数的图象；
(2）根据图象求函数在区间［-1,1］上的最大值
解析：(1）图象如图所示．
(2）由图象知，函数在［-1,1]
上的最大值是3.
知识讲解
总结：判断函数单调性的常用结论
①y= f(x）与y=- f(x）单调性相反
②y=f(x）与y=f(x)+C(C为常数）单调性相同
如y=x↑ ,y=-x↓
如y=x↑,y=x+5↑
如y=x+1↑,y=2(x+1）↑
y=-2(x+1)↓
③若f(x)>0，则y=(x)、y=与y= f(x）单调性相同
如y=x(x≥0)↑,y=(x≥0)↑, y=
④当f(x）恒为正（或者恒为负）时，y=y=f(x)单调性相反
如y=x(x>0)↑,y= (x＞0）↓
知识讲解
如f(x)=(x>0)↑,g(x)=x(x>0)↑,
y=+x(x>0) ↑
⑤
知识讲解
根据定义，研究一次函数f(x)=kx+b(k≠0）的单调性
解：
函数f(x）的定义域是R, x ,x ∈D，且x1 则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)
=k(x1-x2)----------------------提取公因式（做差）
由x10时，k(x1-x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)此时，f(x）是增函数（结论1)
2．当k>0时，k(x1-x2)>0，即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
此时，f(x）是减函数（结论2)
思考：如何利用单调性求函数的最值呢？
知识讲解
证明函数单调性4步骤：取值 做差 变号 结论
知识讲解
判断函数 f(x) = 4 x-2的单调性。
解：函数f(x) = 4x-2的定义域为(-∞，+∞).
设任意x1，x2 ∈(-∞，+∞)且x1 ＜ x2，①设元
则x1-x2<0,
②作差f(x1)-f(x2)=(4x1-2)-(4x2-2)
=4(x1-x2)<0
③变型 ④判号
即 f(x1) 因此，函数f(x)=4x-2在区间（-∞,+∞）上是增函数．
⑤结论
①设元；
②作差；
③ 变型；
④判号；
⑤结论.
知识讲解
在前部分，我们已经学习了函数图像在某个区间“上升”或“下降”的性质
请让我们继续研究其他性质
显而易见，这两个函数的图像都关于y轴对称
知识讲解
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
f(x) ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
m(x) ... 3 2 1 0 1 2 3 ...
取值后，我们得到：当x取相反数时，所得的函数值相同
例如：对于f(x)=，有：f(-3)=9=f(3)
f(-2)=4=f(2)
f(-1)=1=f(1)
那么就可以说： x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x) 此时函数f(x)=为增函数
因此我们就有一个几何概念：偶函数函数图像与y轴呈对称
知识讲解
2.观察f(x)=x-1和m(x)=x3的图像,你有什么发现？
函数图像呈中心对称
知识讲解
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
f(x) ... -1/3 -1/2 -1 不存在 1 1/2 1/3 ...
m(x) ... -27 -8 -1 0 1 8 27 ...
取值后，我们得到：当x取相反数时，y值的结果为对应x的倒数，且有定点（1,1)
例如：对于f(x)=，有：f(-3)=-27=-f(3)
f(-2)=-8=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
那么就可以说： x∈R,都有f(-x)=-x=-f(x) 此时函数f(x)=为奇函数
因此我们就有一个几何概念：奇函数的图像关于原点180°呈中心对称
知识讲解
一般的，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)
那么函数f(x)就成为偶函数
一般的，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)
那么函数f(x)就成为奇函数
思考：如何利用函数的奇偶性定义来判断函数的奇偶性呢？
知识讲解
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=
(2)f(x)=x+1/x
解:
(1)函数f(x)=的定义域为R
因为 x∈R,都有-x∈R
且 f(-x)== =f(x)
所以 函数f(x)=为偶函数
(2)函数f(x)=x+1/x的定义域为{x|x≠0}
因为 x∈{x|x≠0}
都有 -x∈{x|x≠0}
且 f(-x)=-x+1/-x=-(x+1/-x)=-f(x)
所以函数f(x)=x+1/x为奇函数
总结
求出函数的定义域，利用函数奇偶性定义即可求得函数奇偶性
知识讲解
函数的奇偶性
知识讲解
1．三个定义：函数单调性、增函数、减函数的定义；
2：判断函数单调性的方法
图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升"
减函数的图象从左到右 下降
3：数形结合方法