2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程的根是( )
A. B. C. 或 D. 或
2.若方程有实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若直线与半径为的相交，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数 中位数 众数 方差
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
5.若要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C. 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D. 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
6.抛物线与轴的交点纵坐标为( )
A. B. C. D.
7.用半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( )
A. B. C. D.
8.若等腰内接于，，，则底角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，中，交于点，，，，：：，则的长等于( )
A. B.
C. D.
10.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若是方程的一个根，则的值为______．
12.若，则______．
13.抛物线的顶点坐标是______．
14.如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速单位：千米时情况，则该时段内来往车辆的平均速度是______千米时．
15.如图，的半径是，点、、在上，若，则弧的长为______．
16.半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为______．
17.如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则______
18.记抛物线：的顶点为，抛物线：顶点是点，且与轴的正半轴交于点 当是直角三角形时，抛物线的解析式为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
解方程：．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形，点、、都是格点每个小方格的顶点叫格点，其中，，．
已知与点、、都是格点成位似图形，则位似中心的坐标是______；
外接圆半径是______；
请在网格图中画一个格点，使∽，且相似比为：．
21.本小题分
近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入单位：千元如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入千元 中位数千元 众数千元 方差千元
“美团” ______
“滴滴” ______ ______
完成表格填空；
若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
22.本小题分
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．
23.本小题分
如图，已知，与相交于点，．
求证：∽；
如果，，求的长．
24.本小题分
如图，已知四边形内接于，为的直径，，与交于点，且．
求证：；
如图，绕点逆时针旋转得到，点经过的路径为弧，若，求图中阴影部分的面积．
25.本小题分
已知在四边形中，是边上一点，且∽分别在图和图中用直尺和圆规作出所有满足条件的点保留作图痕迹，不写作法
如图，四边形是矩形；
如图，在四边形中，．
26.本小题分
某商场要经营一种新上市的文具，进价为元件．试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
商场的营销部结合上述情况，提出了、两种营销方案：
方案：该文具的销售单价高于进价且不超过元；
方案：每天销售量不少于件，且每件文具的利润至少为元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
27.本小题分
如图，在矩形中，已知，，动点从点出发，沿的方向运动到点，每秒个单位，同时点从点出发，沿的方向运动到点，每秒个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为秒．
填空：当______时，；
设的面积为，求关于的函数表达式；
当直线与以点为圆心，为半径的圆相切时，求的值．
28.本小题分
如图，直线分别与轴、轴交于、两点，二次函数的图象经过点，与直线相交于点，且：：．
求点的坐标和二次函数表达式；
过点的直线交轴于点．
当与轴的夹角等于时，请直接写出点的坐标；
当时，过抛物线上一动点不与点、重合，作的平行线交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
参考答案
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16.：
17.
18.或
19.解：原式
；
，
，
，
即．
，
，．
20.解：；
；
如图所示．

21.解：；；；
选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
22.解：画树状图为：
由树状图知，共有种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有种，
所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为．
23.证明：，，
∽；
∽，
，即，
解得．
．
，
∽，
，即，
解得．
24.证明：，，，
，
，
．
．
解：．
25.解：如图中，点，点即为所求．
如图点，点即为所求．

26.解：由题意得，销售量，
则
；
，
所以，当时，有最大值，
即销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大；
方案：由题可得，
因为，对称轴为，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，
所以，当时，取最大值为元，
方案：由题意得
解得：，
在对称轴右侧，随的增大而减小，
所以，当时，取最大值为元，
因为元元，
所以选择方案．
27.解：；
如图，过点作的垂线，分别交，于点，，
则，
∽，
，
根据矩形中，，，可得，
所以，
，，
，，
，
关于的函数表达式为：；
如图，
当直线与以点为圆心，为半径的圆相切时，
，
由知，，，
，，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
，
解得：，，
当直线与以点为圆心，为半径的圆相切时，的值为或．
28.解：当时，，
解得：，
点的坐标为．
过点作直线轴，过点作轴，交直线于点，如图所示．
轴，轴，
，，
∽，
，
．
当时，，
点的坐标为
当时，，
点的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
二次函数表达式为．
分两种情况考虑，如图所示．
当点在轴负半轴时，，
，
D.
设，则．
在中，，，，
，
解得：，
点的坐标为；
当点在轴正半轴时，，
，
点的坐标为．
综上所述：当与轴的夹角等于时，点的坐标为或．
，
，
，
，即，
，
点的坐标为．
设点的坐标为．
分两种情况考虑，如图所示．
当点在直线下方时，
点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形，
点的坐标为．
又点在直线上，
，
整理，得：，
解得：，；
当点在直线上方时，点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形，
点的坐标为．
又点在直线上，
，
整理，得：，
，
该种情况不存在．
综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为或．
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