13.4课题学习最短路径问题 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习最短路径问题 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-26 21:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
人教版 八年级数学上
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
（重点）
温故知新
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
情境导入
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造
桥选址问题”来体会如何运用所学知识选择最短路径。
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
合作探究
问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后
到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C（动点）
转化成
A
B
l
数学问题
所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
合作探究
思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
请说明理由.
A
l
B
C
理由：“两点之间，线段最短”
连接AB,与直线l相交于一点C，
点C即为所求.
合作探究
思考2：当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。
如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB=CB′？
合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
合作探究
思考3：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′，
∴AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
合作探究
点A,B分别在直线l异侧
A
l
B
C
归纳总结：
点A,B分别在直线l同侧
A
B
l
B ′
C
小试牛刀
1.如图，P、Q是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点M建一个服务中心，使PM+QM最短，下面四种选址方案符合要求的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
小试牛刀
2.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，当EF+CF取最小值时，∠EBF的度数为（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．22.5°
B
合作探究
问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
B
N
M
转化成
所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题.
B
A
b
a
合作探究
B
A
●
●
N
M
N
M
N
M
如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，那么点N在直线b的什么位置，AM+NB最小？
a
b
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把图形转化为两点在直线异侧的问题？
合作探究
B
A
A1
M
N
如图，将AM移沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到A1，则AM=A1N，AM+NB=A1N+NB.
a
b
问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A１N+NB最小？
M
N
合作探究
B
A
A1
M
N
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知：
AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
思考2：你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
合作探究
解决最短路径问题的方法:
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
小试牛刀
1.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
小试牛刀
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
实战演练
1.在平面直角坐标系中有两点A、B，要在y轴上找一点，使它到两点的距离之和最小，现在有如下四种方案，其中正确的是（ ）
D
实战演练
2.如图，点P事∠AOB内任意一点，且∠AOB=40 °，点M、N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为 .
100°
A
B
P
O
N
M
实战演练
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为600米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1200
课堂小结
本节课我们收获了哪些知识？
（畅所欲言）
“将军饮马”和”选址造桥”问题都运用到了哪些知识？
课后作业
课本教材第93页：15题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版 八年级数学上
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
（重点）
温故知新
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
情境导入
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造
桥选址问题”来体会如何运用所学知识选择最短路径。
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
合作探究
问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后
到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C（动点）
转化成
A
B
l
数学问题
所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
合作探究
思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
请说明理由.
A
l
B
C
理由：“两点之间，线段最短”
连接AB,与直线l相交于一点C，
点C即为所求.
合作探究
思考2：当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。
如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB=CB′？
合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
合作探究
思考3：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′，
∴AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
合作探究
点A,B分别在直线l异侧
A
l
B
C
归纳总结：
点A,B分别在直线l同侧
A
B
l
B ′
C
小试牛刀
1.如图，P、Q是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点M建一个服务中心，使PM+QM最短，下面四种选址方案符合要求的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
小试牛刀
2.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，当EF+CF取最小值时，∠EBF的度数为（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．22.5°
B
合作探究
问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
B
N
M
转化成
所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题.
B
A
b
a
合作探究
B
A
●
●
N
M
N
M
N
M
如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，那么点N在直线b的什么位置，AM+NB最小？
a
b
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把图形转化为两点在直线异侧的问题？
合作探究
B
A
A1
M
N
如图，将AM移沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到A1，则AM=A1N，AM+NB=A1N+NB.
a
b
问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A１N+NB最小？
M
N
合作探究
B
A
A1
M
N
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知：
AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
思考2：你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
合作探究
解决最短路径问题的方法:
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
小试牛刀
1.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
小试牛刀
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
实战演练
1.在平面直角坐标系中有两点A、B，要在y轴上找一点，使它到两点的距离之和最小，现在有如下四种方案，其中正确的是（ ）
D
实战演练
2.如图，点P事∠AOB内任意一点，且∠AOB=40 °，点M、N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为 .
100°
A
B
P
O
N
M
实战演练
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为600米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1200
课堂小结
本节课我们收获了哪些知识？
（畅所欲言）
“将军饮马”和”选址造桥”问题都运用到了哪些知识？
课后作业
课本教材第93页：15题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php