2023-2024学年北师大版必修第一册4.3 对数函数 课时作业（含解析）

2023-2024学年北师大版必修第一册 对数函数 课时作业
一、选择题
1．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
2．函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
3．函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
4．已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
5．如图，函数的图像为折线ACB，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6．函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7．若函数 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
8．函数，其中，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
9．函数且恒过定点( )
A. B. C. D.
10．已知定义在R上的函数，，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
11．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
12．若函数在区间上恒为正值，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
13．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
14．函数(，且)的图像必经过的点是( )
A. B. C. D.
15．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
16．函数的图像一定过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17．函数在上是减函数，那么( )
A.在上递增且无最大值 B.在上递减且无最小值
C.在定义域内是偶函数 D.的图象关于直线对称
18．在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是( )
A.， B.，
C. D.时，
19．下列函数中是对数函数的是( )
A. B. C. D.
20．若，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D. 若，则
21．若,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
22．若函数的值域为R，则实数k的取值范围为_____________.
23．函数且的图象恒过的定点是_____________.
24．函数的定义域为_________.
25．已知函数的图像恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则 .
四、解答题
26．已知不等式的解集为M，求函数，的值域.
27．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
28．已知x满足.
（1）求x的取值范围；
（2）求函数的值域.
29．设函数，其中.
（1）证明：是上的减函数；
（2）若，求x的取值范围.
30．设全集，函数的定义域为集合A，集合.命题p：若_________，则.
从①，②，③这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中，使命题p为真命题，说明理由，并求.
31．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围.
32．求下列函数的定义域：
（1）（，且）；
（2）.
33．对于函数.
(1)若函数在上有意义,求a的取值范围;
(2)若函数在上是增函数,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由得或，
设，则当时，为增函数，此时为增函数，则为增函数，
即的单调递增区间为，
故选：D．
2．答案：C
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：解：对于函数(，且)的图象，令，求得，，可得它的图象恒过定点.
因为点在椭圆(，，)上，则，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故选：C.
5．答案：C
解析：令，作出的图像如图，则时，.又，所以由，得，故选C.
6．答案：A
解析：，在上单调递减，又函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故选A.
7．答案：D
解析：因为函数的图像恒过定点，
所以函数可以看成由函数向右平移一个单位得到，所以函数的图像恒过定点.
故选：D.
8．答案：C
解析：由，可知值域
9．答案：C
解析：令得，此时，
所以函数恒过定点．
10．答案：B
解析：时，是增函数，且，，，，，，.
11．答案：A
解析：
12．答案：B
解析：因为函数在区间上恒为正值，
当时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立；
当时，，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，所以解得.故选B.
13．答案：B
解析：由题意可得，要使函数的定义域为R，则对任意的实数x都有，故有解得或，即实数a的取值范围为.故选B.
14．答案：D
解析：令，解得，此时，，所以函数图像过点，故选D.
15．答案：D
解析：令，则关于的函数在定义域是一个单调递增函数，故要求的单调递增区间，只需使且在该区间单调递增.解，得或；的图象开口向上，对称轴为，所以时单调递增，所以的单调递增区间为，故选D.
16．答案：BCD
解析：的大致图像如图所示，所以一定过第二、三、四象限.故选BCD.
17．答案：AD
解析：由得，函数的定义域为.
设，则在上为减函数，在上为增函数，且的图象关于对称，所以的图象关于对称，D正确；由上述分析知在上递增且无最大值，A正确，B错误.又，所以C错误，故选AD.
18．答案：ABC
解析：由直线方程可知，，，故A，B不正确；而，故C不正确；而当时，，，所以，所以D正确.
19．答案：AC
解析：形如（且）的函数才是对数函数，只有A、C选项中的函数是对数函数，故选AC.
20．答案：BCD
解析：为增函数，
所以，，又时， ；时，则；
所以选BCD
21．答案：ACD
解析：由,得,则,又,,故选ACD.
22．答案：
解析：设的值域为A，的定义域为B，易知，当时，，，则，函数的值域为R，符合题意；当时，依题意得，，因此，解得或，此时k的取值范围是.综上所述，实数k的取值范围为.
23．答案：
解析：因为函数图象恒过定点，所以令函数中，得，所以，所以函数图象恒过定点.
24．答案：
解析：函数有意义必须，
即：.
25．答案：
解析：对于，令，求得，则，所以函数的图象恒过定点.
若点A也在函数的图象上，则，求得.
26．答案：
解析：不等式解得
令，则，
所以
所以函数的值域.
27．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析： （1）
由对数的定义可知：
，所以该函数的定义域为：；
（2）
由对数的定义可知：
且，所以该函数的定义域为：；
（3）
由对数的定义和二次根式的性质可知：
，
所以该函数的定义域为：
（4）
由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知：
且，所以该函数的定义域为：.
28．答案：（1），，
由于指数函数在R上单调递增，
.
因此，x的取值范围是.
（2）由（1）得，.
令，则，其中.
函数的图象开口向上，且对称轴为直线，
函数在上单调递增，
当时，y取得最大值，为0；当时，y取得最小值，为-4.
函数的值域为.
解析：
29．答案：（1）证明：任取，，不妨令，，则，.
又，，
是上的减函数.
（2），且，
，
.
，，从而.
的取值范围是.
解析：
30．答案：要使函数有意义，
只需解得，
即.
由，
得，即.
选择第②个条件：
当时，，
，满足条件.
，
.
选择第③个条件：
当时，，
，满足条件.
，
.
解析：
31．答案：因为的定义域为R，
所以恒成立，
所以，
所以.
故实数a的取值范围是.
解析：
32．答案：（1）由题意得解得.
函数的定义域是.
（2）由，得.
由指数函数的单调性得.
函数的定义域为.
解析：
33．答案：(1)函数在上有意义,
则对于恒成立,
因此保证在上的图像位于x轴上方,
所以或,即或,
解得或.
即.故a的取值范围是.
(2)令,则.
由复合函数的单调性可知,
函数在上是增函数在上是减函数,
且,对恒成立,
得,解得.故a的取值范围是.
解析：