选择必修 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 课件(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 选择必修 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 课件(共24张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-28 08:42:32 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握抛物线的简单几何性质. 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.理解抛物线离心率的定义和取值范围、通径及焦半径的应用. 2.直观想象素养素养和数学运算素养.
3.初步运用抛物线的性质解决一些应用问题. 3.数学抽象素养和数学运算素养.
温故知新
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
知新探究
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线
y2=2px(p＞0)
的哪些几何性质 如何研究这些性质
1.范围
研究方法：直观猜想
方程验证
2.对称性
3.顶点
4.离心率
知新探究
1.范围
当p>0时，由抛物线y2＝2px(p>0)方程可知，对于这条抛物线上的任意一点M(x，y)，x≥0,y∈R,当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口与x轴的正方向相同；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以代，方程 不变，所以抛物线关于轴对称．
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
知新探究
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
在方程 ()中，
当时，
因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知，.
知新探究
图形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
(0,0)
x≥0,y∈R
x轴
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
y轴
1
知新探究
【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2)，求它的标准方程．
解：
∵抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2)，
∴可设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，
∵点M在抛物线上，
∴,
解得p=2,
因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x.
知新探究
解：
∵顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2).
∴抛物线图形如图所示，
∴.
∴所求抛物线方程为.
∴．
∴设所求的抛物线方程为y2＝2px或x2＝-2py(p>0)．
顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2)的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程．
知新探究
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
⑴定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向;
⑵设方程:根据确定的焦点位置或开口方向设出相应的方程,若不能确定,则要分情况讨论;
⑶列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值;
⑷写出方程:将求出的p值代入设出的方程中,确定抛物线方程.
初试身手
1.求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，
解：
∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；
令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时,＝4，即p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时,＝2，即p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
知新探究
【例2】若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，求实数k的值.
解：
由，消去x得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上，实数k的值为0或.
知新探究
直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.
相离
相交
相切
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有1个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点；
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有1个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法1：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
解这个方程，得x1=3+2， x2=3-2 ，
代入方程①中，得y1=2+2， y2=2-2，
分析：由抛物线的方程可以得到焦点坐标，又直线l的斜率为1，可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可求出A，B两点的坐标，从而求出线段AB的长.
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
即A(3+2, 2+2 )，B(3-2, 2-2 )．
∴|AB|==8.
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
在图中，设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线的距离|AA′|.
同理|BF|=|BB′|=x2+=x2+1,
于是得|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2.
由此可见，只要求出A，B两点的横坐标之和x1+x2，就可以求出|AB|.
分析：下面介绍另外一种方法—数形结合法
由p=2,,|AA′|=x1+=x1+1,于是|AF|=x1+1,
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法2：由题意可知,p=2,，焦点F坐标为(1, 0)，准线方程为x=-1,
由抛物线的定义可知，|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
∵直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
如图，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A，B到准线的距离分别为dA,dB,
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
∴|AB|=x1+x2+2=8.
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
∴x1+x2=6，
如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于x1+x2+2吗？
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法3：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6，x1x2=1
分析：线段AB的长就等于直线l与抛物线y2=4x的相交弦的长，类比椭圆、双曲线，也可以利用相交弦的弦长公式进行求解.
∴直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
∴|AB|=
==8.
知新探究
1.焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝_________，故|AB|＝_____________.
.
x1+x2+p
上例中如果直线l不经过焦点F, |AB|的长还等于x1+x2+2吗
由上例求解过程可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
由三角形性质，得
|AB|<|AF|+|BF|=x1+x2+2.
2.一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝
______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．
初试身手
3.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. 求直线l的方程
由题意得F(1,0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
Δ＝16k2＋16>0，则x1+x2=，
解：
由,消去y,得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
则直线l的方程为y=x-1.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝=8,
解得k＝－1(舍去)或k＝1.
课堂小结
1.抛物线的几何性质:
2.利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题.
范围、对称性、顶点、离心率、焦半径
作业布置
作业：P138 练习 第2,3题
P138-139 习题3.3 第5,12题.
补充：
1.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为
A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝4y
2.抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
⑴求抛物线C的方程；
⑵求线段MN的长．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握抛物线的简单几何性质. 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.理解抛物线离心率的定义和取值范围、通径及焦半径的应用. 2.直观想象素养素养和数学运算素养.
3.初步运用抛物线的性质解决一些应用问题. 3.数学抽象素养和数学运算素养.
温故知新
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
知新探究
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线
y2=2px(p＞0)
的哪些几何性质 如何研究这些性质
1.范围
研究方法：直观猜想
方程验证
2.对称性
3.顶点
4.离心率
知新探究
1.范围
当p>0时，由抛物线y2＝2px(p>0)方程可知，对于这条抛物线上的任意一点M(x，y)，x≥0,y∈R,当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口与x轴的正方向相同；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以代，方程 不变，所以抛物线关于轴对称．
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
知新探究
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
在方程 ()中，
当时，
因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知，.
知新探究
图形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
(0,0)
x≥0,y∈R
x轴
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
y轴
1
知新探究
【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2)，求它的标准方程．
解：
∵抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2)，
∴可设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，
∵点M在抛物线上，
∴,
解得p=2,
因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x.
知新探究
解：
∵顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2).
∴抛物线图形如图所示，
∴.
∴所求抛物线方程为.
∴．
∴设所求的抛物线方程为y2＝2px或x2＝-2py(p>0)．
顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,－2)的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程．
知新探究
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
⑴定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向;
⑵设方程:根据确定的焦点位置或开口方向设出相应的方程,若不能确定,则要分情况讨论;
⑶列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值;
⑷写出方程:将求出的p值代入设出的方程中,确定抛物线方程.
初试身手
1.求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，
解：
∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；
令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时,＝4，即p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时,＝2，即p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
知新探究
【例2】若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，求实数k的值.
解：
由，消去x得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上，实数k的值为0或.
知新探究
直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.
相离
相交
相切
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有1个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点；
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有1个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法1：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
解这个方程，得x1=3+2， x2=3-2 ，
代入方程①中，得y1=2+2， y2=2-2，
分析：由抛物线的方程可以得到焦点坐标，又直线l的斜率为1，可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可求出A，B两点的坐标，从而求出线段AB的长.
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
即A(3+2, 2+2 )，B(3-2, 2-2 )．
∴|AB|==8.
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
在图中，设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线的距离|AA′|.
同理|BF|=|BB′|=x2+=x2+1,
于是得|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2.
由此可见，只要求出A，B两点的横坐标之和x1+x2，就可以求出|AB|.
分析：下面介绍另外一种方法—数形结合法
由p=2,,|AA′|=x1+=x1+1,于是|AF|=x1+1,
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法2：由题意可知,p=2,，焦点F坐标为(1, 0)，准线方程为x=-1,
由抛物线的定义可知，|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
∵直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
如图，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A，B到准线的距离分别为dA,dB,
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
∴|AB|=x1+x2+2=8.
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
∴x1+x2=6，
如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于x1+x2+2吗？
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，求线段AB的长.
解：
方法3：由抛物线的标准方程得,焦点F坐标为(1, 0)，
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6，x1x2=1
分析：线段AB的长就等于直线l与抛物线y2=4x的相交弦的长，类比椭圆、双曲线，也可以利用相交弦的弦长公式进行求解.
∴直线AB的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
∴|AB|=
==8.
知新探究
1.焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝_________，故|AB|＝_____________.
.
x1+x2+p
上例中如果直线l不经过焦点F, |AB|的长还等于x1+x2+2吗
由上例求解过程可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
由三角形性质，得
|AB|<|AF|+|BF|=x1+x2+2.
2.一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝
______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．
初试身手
3.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. 求直线l的方程
由题意得F(1,0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
Δ＝16k2＋16>0，则x1+x2=，
解：
由,消去y,得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
则直线l的方程为y=x-1.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝=8,
解得k＝－1(舍去)或k＝1.
课堂小结
1.抛物线的几何性质:
2.利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题.
范围、对称性、顶点、离心率、焦半径
作业布置
作业：P138 练习 第2,3题
P138-139 习题3.3 第5,12题.
补充：
1.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为
A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝4y
2.抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
⑴求抛物线C的方程；
⑵求线段MN的长．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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