2024-2025学年江苏省苏州市震川、昆山市一中、常熟中学、西交大附中四校高一上学期10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省震川、昆山市一中、常熟中学、西交大附中四校高一上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
4.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
7.某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价方案乙：两次均降价，其中那么两次降价后价格最高的方案为( )
A. 甲 B. 乙
C. 甲和乙两次降价后价格相同 D. 无法判断
8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是( )
A. 或
B.
C. 或
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
10.设集合，则对任意的整数，形如，，，的数中，是集合中的元素的有( )
A. B. C. D.
11.已知实数，满足，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.所有满足的集合的个数为________．
13.已知实数，，且满足，则的最小值是 ．
14.已知集合，其中，我们把集合记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
用列举法表示集合．
若，求实数的值．
16.本小题分
已知全集，集合．
当时，求；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
我们都知道，对于，于是就有，即得到我们重要的不等关系：对于其实这是基于完全平方公式和非负数的性质数学运算得出的。事实上，我们还能得出下列结论：
请利用以上背景知识对上述“”结论加以证明．
若，，求的最大值、最小值分别是多少？
18.本小题分
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上；已知正十字形的宽和长都分别为，单位：且，若剪去的正十字形部分面积为平方分米．
请用表示，并写出的取值范围；
现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．
19.本小题分
已知二次函数，一次函数，其中，，
若且．
证明：函数必有两个不同的零点
设函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为，，求的取值范围
若，恒成立，求当取最大值时，不等式的解集．
参考答案
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15.解：解方程，得，，
集合．
集合，，
，或，
解得或或，
检验得不合题意，
或．
16.解：因为 ，
当 时， ，
则 或 ，
所以 ．
因为 ，
又 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 ．

17.证明：因为、，，，
即，即．
，
即．
．
解：，且，
即
又
当且仅当时取等号，
即，解得，当且仅当时取等号，
又，，
当或时取等号，
，当且仅当或时取等号，
最大值为，最小值为．
18.解：由题意可得：，则：，
且，即，
，
关于的解析式为，定义域为；
设正十字形的外接圆的直径为，
，
当且仅当，即时取等号，
即时，，
正十字形外接圆面积：，
即正十字形外接圆面积的最小值为：，此时．
19.解：若且，则，，
，
函数必有两个不同的零点．
因为函数的图象与的图象有两个交点，交点横坐标分别为，，
所以，，即为二次函数的两个零点，
所以，，
由，，得，，由，
由，解得，
，
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，所以，
因为对任意，恒成立，所以恒成立，
所以，
，
所以，此时，
所以，
当，，时取等号，
此时，
成立，即成立，
此时，
从而不等式，即，
即，从而不等式的解集为或．
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