2024-2025学年江苏省苏州市常熟市浒浦高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市常熟市浒浦高级中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
4.命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”这句话说的便是杠杆原理，即“动力动力臂阻力阻力臂”现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D. 以上选项都有可能
7.定义二阶行列式，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.当一个非空数集满足“如果，，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：是任何数域的元素；若数域有非零元素，则；集合是一个数域；有理数集是一个数域，其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知：，则成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有( )
A. B. C. D.
11.若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合用列举法表示为______．
13.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
14.设，若时均有，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，或．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
解关于的不等式：；
解关于的不等式：；
已知，，求的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数，．
若时，不等式恒成立，求的取值范围．
解关于的不等式．
18.本小题分
已知二次函数．
若二次函数过点且它的最小值为负数，求实数的取值范围；
若二次函数的最小值为，且不等式的解集为，求实数的值；
若且，求的最小值．
19.本小题分
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在怎样解题中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
已知，求的值；
若，解方程；
若正数，满足，求的最小值．
参考答案
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15.解：当时，，
由或，得，所以；
因为，，
所以若，则有如下情况：
，此时，即；时，，，解得．
综上所述，，实数的取值范围是．
16.解：原不等式可化为，
即，即，
即，且，
解得或，
即不等式的解集为；
由题意，当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为；
设，
则，解得，
又，，
则，，
所以，
即的取值范围是．
17.解：不等式即为：，
当时，可变形为：，
即，又，
当且仅当，即时，等号成立，
，
即，
实数的取值范围是：；
不等式，即，
等价于，即，
当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，，
当时，可得，解不等式得：或；
当时，因为，解不等式得：；
当时，因为，不等式的解集为；
当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
18.解：由题意知二次函数，
过点且它的最小值为负数，
则，
解得或，
所以的范围为或；
二次函数的最小值为，即，
所以，
则，
则由可得，则，
而不等式的解集为，
即，，
所以，
可得；
且，
可得，
所以，
当且仅当时，结合，即时取等号，
故的最小值为．
19.解：，
则；
，
原方程可化为，即，
，即，解得；
，
，当且仅当，即时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
有最小值，即有最小值．
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